生活中的优化问题举例课件

3.4生活中的优化问题举例高二数学选修1-1

第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例高二数学选修1-1知识回顾一、如何判断函数函数的单调性？f(x)为增函数f(x)为减函数

设函数y=f(x)在

某个区间内可导，二、如何求函数的极值与最值？求函数极值的一般步骤（1）确定定义域（2）求导数f’(x)（3）求f’(x)=0的根（4）列表（5）判断求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值；(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b）比较,从而确定函数的最值。知识回顾一、如何判断函数函数的单调性？f(x)为增函数f(x2、求最大（最小）值应用题的一般方法:(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步;(2)确定函数定义域，并求出极值点;(3)比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实际，确定最值或最值点.1、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来:首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质;其次，建立相应的数学模型,将应用问题转化为数学问题,再解.生活中的优化问题2、求最大（最小）值应用题的一般方法:(1)分析实际问题中各例1：海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？图3.4-1

分析：已知版心的面积，你能否设计出版心的高，求出版心的宽，从而列出海报四周的面积来？例1：海报版面尺寸的设计图3.4-1分析：已知版

你还有其他解法吗？因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。你还有其他解法吗？因此，x=16是函数S(x)的极小值解法二：由解法(一)得解法二：由解法(一)得2、若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0

，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最大值或最小值.说明1、设出变量找出函数关系式；确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义2、若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0，问题2:

饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?问题2:

饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?你是否注意过,市规格（L）21.250.6价格（元）5.14.52.5例2：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？规格（L）21.250.6价格（元）5.14.52.5例2：

某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，(１)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？r(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+减函数↘增函数↗-1.07p∴每瓶饮料的利润：背景知识解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的当半径r＞２时，f’(r)>0它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r＜２时，f’(r)<0它表示f(r)单调递减，

即半径越大，利润越低．1.半径为２cm时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值２．半径为６cm时，利润最大1.半径为２cm时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还231、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)<0,2、当半径为6cm时，利润最大。从图中可以看出:从图中，你还能看出什么吗？231、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)<0,2、当问题3、磁盘的最大存储量问题(1)你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？(2)你知道磁盘的结构吗？(3)如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息？问题3、磁盘的最大存储量问题(1)你知道计算机是如何存储、Rr例3：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环行区域。是不是r越小，磁盘的存储量越大？(2)r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？Rr例3：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R解：存储量=磁道数×每磁道的比特数

设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必须大于m，且最外面的磁道不存储人何信息，所以磁道最多可达又由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到所以，磁道总存储量（1）它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大.解：存储量=磁道数×每磁道的比特数设存储区的半(2)为求的最大值，计算令解得因此，当时，磁道具有最大的存储量，最大存储量为(2)为求的最大值，计算令解得因此，当由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。课堂小结建立数学模型解决数学模型作答由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路

P104习题3.4A组NO.1、2作业：P104习题3.4A组NO.1、2练习：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？练习：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积

V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积令练习1:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积

V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.

答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积16000cm3.练习：练习1:在边长为60cm的正方形铁皮解:设箱底边长为x,则练习2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?Rh解设圆柱的高为h,底面半径为R.则表面积为S(R)=2πRh+2πR2.又V=πR2h(定值),即h=2R.可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.答罐高与底的直径相等时,所用材料最省.练习2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半xy练习3如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形的最大面积.解:设B(x,0)(0<x<2),则

A(x,4x-x2).从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).令,得所以当时,因此当点B为时,矩形的最大面积是xy练习3如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴1答案例4：如图,铁路线上AB段长100km,工厂C到铁路的距离CA=20km.现在要在AB上某一处D,向C修一条公路.已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?BDAC解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=km.又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为1答案例4：BD令,在的范围内有唯一解x=15.所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省.注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离不超过15千米时,所选D点与B点重合.解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=km.又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为BDAC令已知:某商品生产成本Ｃ与产量q的函数关系式为,价格p与产量q的函数关系式为

求产量q为何值时，利润L最大？,价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时，利润

(课本第37页B组第1题)某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为１８０元时，房间会全部住满；房间的单价每增加１０元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费２０元的各种维修费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？解:设宾馆定价为(180＋10x)元时，宾馆的利润Ｗ最大

(课本第37页B组第1题)解:设宾馆定价为(180＋10x练习5:证明不等式:证:设则令,结合x>0得x=1.而0<x<1时,;x>1时,,所以x=1是f(x)的极小值点.所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.从而当x>0时,f(x)≥1恒成立,即:

成立.练习5:证明不等式:证:设则令,结合3.4生活中的优化问题举例高二数学选修1-1

第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例高二数学选修1-1知识回顾一、如何判断函数函数的单调性？f(x)为增函数f(x)为减函数

设函数y=f(x)在

某个区间内可导，二、如何求函数的极值与最值？求函数极值的一般步骤（1）确定定义域（2）求导数f’(x)（3）求f’(x)=0的根（4）列表（5）判断求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值；(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b）比较,从而确定函数的最值。知识回顾一、如何判断函数函数的单调性？f(x)为增函数f(x2、求最大（最小）值应用题的一般方法:(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步;(2)确定函数定义域，并求出极值点;(3)比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实际，确定最值或最值点.1、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来:首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质;其次，建立相应的数学模型,将应用问题转化为数学问题,再解.生活中的优化问题2、求最大（最小）值应用题的一般方法:(1)分析实际问题中各例1：海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？图3.4-1

分析：已知版心的面积，你能否设计出版心的高，求出版心的宽，从而列出海报四周的面积来？例1：海报版面尺寸的设计图3.4-1分析：已知版

你还有其他解法吗？因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。你还有其他解法吗？因此，x=16是函数S(x)的极小值解法二：由解法(一)得解法二：由解法(一)得2、若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0

，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最大值或最小值.说明1、设出变量找出函数关系式；确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义2、若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0，问题2:

饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?问题2:

饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?你是否注意过,市规格（L）21.250.6价格（元）5.14.52.5例2：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？规格（L）21.250.6价格（元）5.14.52.5例2：

某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，(１)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？r(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+减函数↘增函数↗-1.07p∴每瓶饮料的利润：背景知识解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的当半径r＞２时，f’(r)>0它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r＜２时，f’(r)<0它表示f(r)单调递减，

即半径越大，利润越低．1.半径为２cm时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值２．半径为６cm时，利润最大1.半径为２cm时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还231、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)<0,2、当半径为6cm时，利润最大。从图中可以看出:从图中，你还能看出什么吗？231、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)<0,2、当问题3、磁盘的最大存储量问题(1)你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？(2)你知道磁盘的结构吗？(3)如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息？问题3、磁盘的最大存储量问题(1)你知道计算机是如何存储、Rr例3：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环行区域。是不是r越小，磁盘的存储量越大？(2)r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？Rr例3：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R解：存储量=磁道数×每磁道的比特数

设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必须大于m，且最外面的磁道不存储人何信息，所以磁道最多可达又由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到所以，磁道总存储量（1）它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大.解：存储量=磁道数×每磁道的比特数设存储区的半(2)为求的最大值，计算令解得因此，当时，磁道具有最大的存储量，最大存储量为(2)为求的最大值，计算令解得因此，当由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。课堂小结建立数学模型解决数学模型作答由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路

P104习题3.4A组NO.1、2作业：P104习题3.4A组NO.1、2练习：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？练习：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积

V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积令练习1:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积

V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.

答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积16000cm3.练习：练习1:在边长为60cm的正方形铁皮解:设箱底边长为x,则练习2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?Rh解设圆柱的高为h,底面半径为R.则表面积为S(R)=2πRh+2πR2.又V=πR2h(定值),即h=2R.可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.答罐高与底的直径相等时,所用材料最省.练习2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半xy练习3如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形的最大面积.解:设B(x,0)(0<x<2),则

A(x,4x-x2).从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).令,得所以当时,因此当点B为时,矩形的最大面积是xy练习3如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴1答案例4：如图,铁路线上AB段长100km,工厂C到铁路的距离CA=20km.现在要在AB上某一处D,向C修一条公路.已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?BDAC解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km