理论力学习题课件4

4.1一等腰直角三角形OAB在其自身平面内以匀角速绕定点O转动，某一点P以相对速度沿AB边运动，当三角形转了一周时，P点走过了AB，如已知，试求P点在A时的绝对速度与绝对加速度。解：如图建立坐标系，P点的牵连速度和相对速度为：绝对速度为：4.1一等腰直角三角形OAB在其自身平面内以匀角1与三角形斜边的夹角。绝对速度的大小为：与三角形斜边的夹角。绝对速度的大小为：2在平面转动参照系中，质点的绝对加速度为：

（是一恒矢量）

在平面转动参照系中，质点的绝对加速度为：

（是一恒矢量3与三角形斜边的夹角。

其加速度的大小为：与三角形斜边的夹角。其加速度的大小为：4

4．2

一直线以匀角速度在一固定平面内绕其一端o转动，当直线位于ox的位置时，有一质点P开始从o点沿该直线运动，如欲使此点的绝对速度的量值为常数。问此质点应按何种规律沿此直线运动？

解：质点相对速度大小：

牵连速度大小：

方向如图所示绝对速度大小：

4．2一直线以匀角速度在一固定平面内5质点运动规律为：

积分质点运动规律为：积分6

4．3P

点离开圆锥顶点o，以速度沿母线作匀速运动，此圆锥则以匀角速绕其轴转动，求开始t秒后P点绝对加速度的量值，假定圆锥体的半顶角为.解：在空间转动参照系中，设质点t时刻在母线P处，位矢为，质点的绝对加速度为：方向指向转动轴（在母线和转动轴构成的平面内）4．3P点离开圆锥顶点o，以速度7方向与母线和转动轴构成的平面垂直方向指向转动轴（在母线和转动轴构成的平面内）方向与母线和转动轴构成的平面垂直方向指向转动轴（在母线和转动8

4．4小环重W，穿在曲线的光滑钢丝上，此曲线通过坐标原点，并绕竖直轴oy以匀角速转动，如欲使小环在曲线上任何位置均处于相对平衡状态，求此曲线的形状及曲线对小环的约束反力。

解：将小环放在曲线上任意位置，受力分析如图所示，小环处于相对平衡时满足：其投影形式为：

(1)(2)联立得：4．4小环重W，穿在曲线9小环所受约束反力为：利用，对上式积分得曲线为抛物线：小环所受约束反力为：利用，10

4．5在一光滑水平直管中，有一质量m为的小球，此管以恒定角速度绕通过管子一端的竖直轴转动，如开始时，球距转动轴的距离为a，球相对于管子的速度为零，而管的总长则为2a，求小球刚离开管口时的相对速度与绝对速度，并求小球从开始运动到离开管口所需的时间。

解：如图建立坐标系，小球受力分析如图所示，对平面转动参照系而言，质点相对运动微分方程为：（是恒矢量）小球相对管的运动微分方程为：4．5在一光滑水平直管中，有一质量m为的小11积分：

两边乘：

所以相对速度为：

牵连速度为：积分：两边乘：所以相对速度为：牵连速度为：12由小球相对管的运动微分方程：

积分：

即：

绝对速度为：绝对速度大小为：由小球相对管的运动微分方程：积分：即：绝对速度为：绝对13再积分：

再积分：14

4、6一光滑细管可沿铅直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速转动，其中有一质量为m的质点，开始时，细管取水平方向，质点距转轴的距离为a，质点相对于管的速度为，试求质点相对于管的运动规律。

解：对平面转动参照系而言，质点相对运动微分方程为：质点沿管方向的运动微分方程为：如图建立坐标系，质点受力分析如图所示.4、6一光滑细管可沿铅直平面内绕通过其一端15设（1）式非齐次特解为：(1)式齐次方程的通解为：即：上式代入（1）得：所以（1）式的通解为：设（1）式非齐次特解为：(1)式齐次方程的通解为：即：16上式对时间求导得：利用初始条件：代入上两式得：上式对时间求导得：利用初始条件：17即：故质点相对于管的运动规律为：即：故质点相对于管的运动规律为：18

4．7质量分别为m及的两个质点，用一固有长度为a的弹性绳相连，绳的倔强系为，

如将此系统放在光滑的水平管中，管子绕管上某点以匀角速转动，试求任意瞬时两质点间的距离。设开始时，质点相对于管子是静止的。

解：在管子上建立动坐标系，受力分析如图所示，由平面转动参照系的运动微分方程：4．7质量分别为m及的两个质点，用19设任一时刻两质点间的距离为s

得：

T为弹性力将代入上式并化简得：设任一时刻两质点间的距离为s得：T为弹性力将20由初始条件：

任意瞬时两质点之间的距离为：

上式的解为：由初始条件：任意瞬时两质点之间的距离为：上式的解为：21

4．8轴为竖直而顶点向下的抛物线形金属丝，以匀角速绕竖直轴转动。另有一质量为m的小环套在此金属丝上，并沿金属丝滑动，试求小环运动的微分方程。已知抛物线的方程为，式中a为常数，计算时可忽略摩擦阻力。解：建立固连在金属丝上的转动坐标系，受力分析如图所示。z方向受力没画。由空间转动参照系中的动力学方程：其分量式为：

4．8轴为竖直而顶点向下的抛物线形金属丝，以匀角22⑴、⑵两式消去N得：

由得：⑶、⑷两式联立得：即：

⑴、⑵两式消去N得：由得：⑶、⑷两式23由得：将代入⑸得：由得：将代入⑸得：24小环相对运动微分方程为：小环相对运动微分方程为：254．9上题中，试用两种方法求小球相对平衡的条件。解：方法1，选取转动参照系o—xyz，相对平衡时：小环受力分析如图所示。得小环处于相对平衡时满足：其投影形式为：

（1）（2）联立得：由相对平衡方程：4．9上题中，试用两种方法求小球相对平衡的条件。26故小环处于相对平衡时满足：代入上式得：由得：（1）（2）联立得：

故小环处于相对平衡时满足：代入上式得：由27

方法2：选取惯性参照系，小环相对金属丝静止，则小环相对惯性系作匀速圆周运动，小环受力分析如图所示，其所受向心力为：其投影形式为：（1）（2）联立得：方法2：选取惯性参照系，小环相对金属丝静止，则小环28故小环处于相对平衡时满足：代入上式得：由得：故小环处于相对平衡时满足：代入上式得：由29

4．10质量为m的小环，套在半径为a的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动，圆圈在水平面内以匀角速绕圈上某点o转动，试求小环沿圆周切线方向的运动微分方程。解：选取圆圈为平面转动参照系，则小环运动微分方程为：

小环受力如图所示：重力：，约束反力：（图中未画）牵连惯性力大小：

科氏力的大小：

方向如图所示。

4．10质量为m的小环，套在半径为a的30即：小环切向运动微分方程为：即：小环切向运动微分方程为：31

补充题1、M点在杆OA上按规律x=2+3t2(厘米)运动，同时杆OA绕O轴以匀角速度=2rad/s转动。如图所示，求当t=1s时，M点的科氏加速度的大小。解：科氏加速度：其科氏加速度大小为：补充题1、M点在杆OA上按规律x=2+32

补充题2、矩形板绕其一边以匀角速转动，动点沿另一边以相对匀速度vr运动（如图所示），求动点在图示位置时，科氏加速度的大小。科氏加速度：

补充题3、飞机飞越北极上空，其相对速度为100m/s，若飞机质量为kg，求飞机受到的科里奥利力的大小。科里奥利力：

科里奥利力的大小为：补充题2、矩形板绕其一边以匀角速转动，33

补充题4、如图所示的机构在其所在平面内运动，滑块M在曲柄O1A与O2A相接处，且可沿BO2杆滑动。M以相对速度vr如图示方向运动，则科氏加速度的方向为：（）A、ac垂直于vr

沿MO1指向O1

；B、ac垂直于vr

沿O1M背离O1

C、ac垂直于vr

方向不定；

D、ac=0选

B补充题4、如图所示的机构在其所在平面内运动34

补充题5、一水平圆盘绕一过盘心且垂直于盘面之轴转动，角速度为恒矢量，一质点M以相对速度u自圆盘上一弦之中点开始沿弦运动，弦心矩为b，当质点离弦中点为x时，求质点绝对速度的大小，绝对加速度的大小。

解：如图所示，建立转动坐标系o1—xy,质点相对速度为：

质点牵连速度为：

质点的绝对速度为

补充题5、一水平圆盘绕一过盘心且垂直于盘面35质点的绝对速度的大小为

质点的绝对速度的大小为36求质点的绝对加速度的大小：

方向如图所示。平面转动参照系中质点的加速度为求质点的绝对加速度的大小：方向如图所示。平面转动参照系中质37质点的绝对加速度的大小为：其中：质点的绝对加速度的大小为：其中：38

补充题6、质点以不变的速率vr沿管子运动，如图所示。此管中部弯成半径为R的半圆周，并绕AB轴以匀角速转动，在质点由C运动至D的时间内，管绕AB轴转过半周，求质点的绝对加速度大小（表示为角的函数）。空间转动参照系中质点的加速度为解：如图所示，建立转动坐标系O—xyz补充题6、质点以不变的速率vr沿管子运动，39牵连加速度大小相对加速度大小科里奥利加速度的大小方向如图所示牵连加速度大小相对加速度大小科里奥利加速度的大小方向如40质点的绝对加速度为：质点的绝对加速度的大小为：其中质点的绝对加速度为：质点的绝对加速度的大小为：其中41

补充题7、圆筒以匀角速绕铅直轴转动，筒内液体随筒转动，求相对平衡时，液体自由表面的形状。解：选取转动参照系o—xyz相对平衡时,液面上任一质点受力分析如图所示。由相对平衡方程：

得小环处于相对平衡时满足：其投影形式为：

补充题7、圆筒以匀角速绕铅直轴转动，筒内液42——抛物线利用，对上式积分得曲线形状为：（1）（2）联立得：——抛物线利用，对上式积分得曲线43

补充题8、水平圆盘绕垂直盘面且通过盘心的竖直轴以匀角速度转动，盘上有一光滑直槽，离转动轴的距离为b，质量为m的小球沿槽运动，求小球相对槽的运动规律及槽对小球的横向作用力。

设t=0时，x=a,，如图所示。解：如图所示，建立转动坐标系O—xyz，小球受力分析如图所示，惯性离心力：科里奥利力：约束力:

补充题8、水平圆盘绕垂直盘面且通过盘心的竖直轴44得小球运动微分方程的分量形式为：由平面转动参照系的动力学方程：得小球运动微分方程由平面转动参照系的动力学方程：45（1）式的通解：

利用初始条件：得：

即：

（1）式的通解：利用初始条件：得：即：46槽对小球的横向作用力为：小球相对槽的运动规律为：槽对小球的横向作用力为：小球相对槽的运动规律为：47

4.1一等腰直角三角形OAB在其自身平面内以匀角速绕定点O转动，某一点P以相对速度沿AB边运动，当三角形转了一周时，P点走过了AB，如已知，试求P点在A时的绝对速度与绝对加速度。解：如图建立坐标系，P点的牵连速度和相对速度为：绝对速度为：4.1一等腰直角三角形OAB在其自身平面内以匀角48与三角形斜边的夹角。绝对速度的大小为：与三角形斜边的夹角。绝对速度的大小为：49在平面转动参照系中，质点的绝对加速度为：

（是一恒矢量）

在平面转动参照系中，质点的绝对加速度为：

（是一恒矢量50与三角形斜边的夹角。

其加速度的大小为：与三角形斜边的夹角。其加速度的大小为：51

4．2

一直线以匀角速度在一固定平面内绕其一端o转动，当直线位于ox的位置时，有一质点P开始从o点沿该直线运动，如欲使此点的绝对速度的量值为常数。问此质点应按何种规律沿此直线运动？

解：质点相对速度大小：

牵连速度大小：

方向如图所示绝对速度大小：

4．2一直线以匀角速度在一固定平面内52质点运动规律为：

积分质点运动规律为：积分53

4．3P

点离开圆锥顶点o，以速度沿母线作匀速运动，此圆锥则以匀角速绕其轴转动，求开始t秒后P点绝对加速度的量值，假定圆锥体的半顶角为.解：在空间转动参照系中，设质点t时刻在母线P处，位矢为，质点的绝对加速度为：方向指向转动轴（在母线和转动轴构成的平面内）4．3P点离开圆锥顶点o，以速度54方向与母线和转动轴构成的平面垂直方向指向转动轴（在母线和转动轴构成的平面内）方向与母线和转动轴构成的平面垂直方向指向转动轴（在母线和转动55

4．4小环重W，穿在曲线的光滑钢丝上，此曲线通过坐标原点，并绕竖直轴oy以匀角速转动，如欲使小环在曲线上任何位置均处于相对平衡状态，求此曲线的形状及曲线对小环的约束反力。

解：将小环放在曲线上任意位置，受力分析如图所示，小环处于相对平衡时满足：其投影形式为：

(1)(2)联立得：4．4小环重W，穿在曲线56小环所受约束反力为：利用，对上式积分得曲线为抛物线：小环所受约束反力为：利用，57

4．5在一光滑水平直管中，有一质量m为的小球，此管以恒定角速度绕通过管子一端的竖直轴转动，如开始时，球距转动轴的距离为a，球相对于管子的速度为零，而管的总长则为2a，求小球刚离开管口时的相对速度与绝对速度，并求小球从开始运动到离开管口所需的时间。

解：如图建立坐标系，小球受力分析如图所示，对平面转动参照系而言，质点相对运动微分方程为：（是恒矢量）小球相对管的运动微分方程为：4．5在一光滑水平直管中，有一质量m为的小58积分：

两边乘：

所以相对速度为：

牵连速度为：积分：两边乘：所以相对速度为：牵连速度为：59由小球相对管的运动微分方程：

积分：

即：

绝对速度为：绝对速度大小为：由小球相对管的运动微分方程：积分：即：绝对速度为：绝对60再积分：

再积分：61

4、6一光滑细管可沿铅直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速转动，其中有一质量为m的质点，开始时，细管取水平方向，质点距转轴的距离为a，质点相对于管的速度为，试求质点相对于管的运动规律。

解：对平面转动参照系而言，质点相对运动微分方程为：质点沿管方向的运动微分方程为：如图建立坐标系，质点受力分析如图所示.4、6一光滑细管可沿铅直平面内绕通过其一端62设（1）式非齐次特解为：(1)式齐次方程的通解为：即：上式代入（1）得：所以（1）式的通解为：设（1）式非齐次特解为：(1)式齐次方程的通解为：即：63上式对时间求导得：利用初始条件：代入上两式得：上式对时间求导得：利用初始条件：64即：故质点相对于管的运动规律为：即：故质点相对于管的运动规律为：65

4．7质量分别为m及的两个质点，用一固有长度为a的弹性绳相连，绳的倔强系为，

如将此系统放在光滑的水平管中，管子绕管上某点以匀角速转动，试求任意瞬时两质点间的距离。设开始时，质点相对于管子是静止的。

解：在管子上建立动坐标系，受力分析如图所示，由平面转动参照系的运动微分方程：4．7质量分别为m及的两个质点，用66设任一时刻两质点间的距离为s

得：

T为弹性力将代入上式并化简得：设任一时刻两质点间的距离为s得：T为弹性力将67由初始条件：

任意瞬时两质点之间的距离为：

上式的解为：由初始条件：任意瞬时两质点之间的距离为：上式的解为：68

4．8轴为竖直而顶点向下的抛物线形金属丝，以匀角速绕竖直轴转动。另有一质量为m的小环套在此金属丝上，并沿金属丝滑动，试求小环运动的微分方程。已知抛物线的方程为，式中a为常数，计算时可忽略摩擦阻力。解：建立固连在金属丝上的转动坐标系，受力分析如图所示。z方向受力没画。由空间转动参照系中的动力学方程：其分量式为：

4．8轴为竖直而顶点向下的抛物线形金属丝，以匀角69⑴、⑵两式消去N得：

由得：⑶、⑷两式联立得：即：

⑴、⑵两式消去N得：由得：⑶、⑷两式70由得：将代入⑸得：由得：将代入⑸得：71小环相对运动微分方程为：小环相对运动微分方程为：724．9上题中，试用两种方法求小球相对平衡的条件。解：方法1，选取转动参照系o—xyz，相对平衡时：小环受力分析如图所示。得小环处于相对平衡时满足：其投影形式为：

（1）（2）联立得：由相对平衡方程：4．9上题中，试用两种方法求小球相对平衡的条件。73故小环处于相对平衡时满足：代入上式得：由得：（1）（2）联立得：

故小环处于相对平衡时满足：代入上式得：由74

方法2：选取惯性参照系，小环相对金属丝静止，则小环相对惯性系作匀速圆周运动，小环受力分析如图所示，其所受向心力为：其投影形式为：（1）（2）联立得：方法2：选取惯性参照系，小环相对金属丝静止，则小环75故小环处于相对平衡时满足：代入上式得：由得：故小环处于相对平衡时满足：代入上式得：由76

4．10质量为m的小环，套在半径为a的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动，圆圈在水平面内以匀角速绕圈上某点o转动，试求小环沿圆周切线方向的运动微分方程。解：选取圆圈为平面转动参照系，则小环运动微分方程为：

小环受力如图所示：重力：，约束反力：（图中未画）牵连惯性力大小：

科氏力的大小：

方向如图所示。

4．10质量为m的小环，套在半径为a的77即：小环切向运动微分方程为：即：小环切向运动微分方程为：78

补充题1、M点在杆OA上按规律x=2+3t2(厘米)运动，同时杆OA绕O轴以匀角速度=2rad/s转动。如图所示，求当t=1s时，M点的科氏加速度的大小。解：科氏加速度：其科氏加速度大小为：补充题1、M点在杆OA上按规律x=2+79

补充题2、矩形板绕其一边以匀角速转动，动点沿另一边以相对匀速度vr运动（如图所示），求动点在图示位置时，科氏加速度的大小。科氏加速度：

补充题3、飞机飞越北极上空，其相对速度为100m/s，若飞机质量为kg，求飞机受到的科里奥利力的大小。科里奥利力：

科里奥利力的大小为：补充题2、矩形板绕其一边以匀角速转动，80

补充题4、如图所示的机构在其所在平面内运动，滑块M在曲柄O1A与O2A相接处，且可沿BO2杆滑动。M以相对速度vr如图示方向运动，则科氏加速度的方向为：（）A、ac垂直于vr

沿MO1指向O1

；B、ac垂直于vr

沿O1M背离O1

C、ac垂直于vr

方向不定；

D、ac=0选

B补充题4、如图所示的机构在其所在平面内运动81

补充题5、一水平圆盘绕一过盘心且垂直于盘面之轴转动，角速度为恒矢量，一质点M以相对速度u自圆盘上一弦之中点开始沿弦运动，弦心矩为b，当质点离弦中点为x时，求质点绝对速度的大小，绝对加速度的大小。

解：如图所示，建立转动坐标系o1—xy,质点相对速度为：

质点牵连速度为：

质点的绝对速度为

补充题5、一水平圆盘绕一过盘心且垂直于盘面82质点的绝对速度的大小为

质点的绝对速度的大小为83求质点的绝对加速度