(最新整理)复合函数的单调性专题讲座课件

(最新整理)复合函数的单调性专题讲座2021/7/261(最新整理)复合函数的单调性专题讲座2021/7/261复合函数单调性专题讲座高中数学教师欧阳文丰制作2021/7/262复合函数单调性专题讲座高中数学教师欧阳文丰制作2021/7/复合函数的概念的定义：如果y是u的函数,u又是x的函数，即ｙ=f(ｕ),ｕ=g(ｘ),那么ｙ关于ｘ的函数ｙ＝ｆ[ｇ(ｘ)］叫做函数y=f(ｕ)和u=g(x)的复合函数，u叫做中间变量，x叫自变量，y叫函数值。2021/7/263复合函数的概念的定义：如果y是u的函数,u又是x的函数，20复合函数：y=f[g(x)]令u=g(x)则y=f(u)内函数外函数y=f[g(x)]原函数以x为自变量以u为自变量以x为自变量复合函数的结构2021/7/264复合函数：y=f[g(x)]令u=g(x)则y=复合函数的单调性复合函数的单调性由两个函数共同决定；引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)<g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1<u2，且u1,u2(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)<f(u2),即y=f[g(x1)]<y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。2021/7/265复合函数的单调性复合函数的单调性由两个函数共同决定；引理1：复合函数的单调性引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)>g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2，且u1,u2(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)<f(u2),即y=f[g(x1)]<y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。2021/7/266复合函数的单调性引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g复合函数y=f[g(x)]单调性

增函数增函数增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数法则同增异减规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。2021/7/267复合函数y=f[g(x)]单调性

增函数增函数增函数增函数增类型1：外层函数为幂函数的复合函数2021/7/268类型1：外层函数为幂函数的复合函数2021/7/268

复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数,u=g(x)称为内层函数;(2)确定函数的定义域；(3)分别确定分解成的两个函数的单调性；若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]

为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]

为减函数。复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。2021/7/269复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：将复合函解：由1-9x2≥0得：-1/3≤x≤1/3当-1/3≤x≤0,x增大时，1-9x2增大，f(x)减小当0<x≤1/3，x增大时，1-9x2减小，f(x)增大∴函数的单调区间是[-1/3，0]，[0，1/3]。2021/7/2610解：由1-9x2≥0得：-1/3≤x≤1/32021/7/22021/7/26112021/7/2611变式练习(-∞,1][5,+∞)[-1/2,5/4][5/4,3]2021/7/2612变式练习(-∞,1][5,+∞)[-1/2,5/4][5/4小结：考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定义域，在定义域范围内求函数的单调性。类型2：外层函数为指数函数的复合函数2021/7/2613小结：考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定义域，在定义域范围2021/7/26142021/7/26142021/7/26152021/7/2615变式练习（5）、已知函数在（1，4）上是减函数，求实数a的取值。

2021/7/2616变式练习（5）、已知函数类型3：外层函数为对数函数的复合函数2021/7/2617类型3：外层函数为对数函数的复合函数2021/7/26172021/7/26182021/7/26182021/7/26192021/7/2619（6）若函数y=loga(2–ax)在[0,1]上是减函数,求a的取值范围1＜a＜2变式练习2021/7/2620（6）若函数y=loga(2–ax)在[0,1]1＜a＜2变（7）.求函数y=log0.3(x2-4x+3)的单调区间解：∵x2

–4x+3>0∴x>3或x<1∴函数y=log0.3(x2-4x+3)在（–∞，１)上递增,在（３，+∞

）上递减．

y=log0.3tt=x2-4x+3(0,+∞)(-∞,1)(3,+∞

)(-∞,1)(3,+∞)2021/7/2621（7）.求函数y=log0.3(x2-4x+3)的单调区间解（8）.若函数y=

–log2(x2–2ax+a)在(–∞

,–1)上是增函数，求a的取值范围．解：令u=g(x)=x2–2ax+a,∵

函数y=–log2u为减函数∴

u=g(x)=x2–2ax+a在(–∞

,–1)为减函数,且满足u>0,∴a≥–1

g(–1)≥0解得：

a≥

-１／3所以a的取值范围为[–1／3,+∞）2021/7/2622（8）.若函数y=–log2(x2–2ax+a)在(–已知函数y=loga(x2-4ax+2)在区间(1，4)上是减函数，求实数a的取值范围答案：补充练习2021/7/2623已知函数y=loga(x2-4ax+2)在区间(1，4)上答类型4：外层函数为二次函数的复合函数2021/7/2624类型4：外层函数为二次函数的复合函数2021/7/2624类型4：外层函数为二次函数的复合函数2021/7/2625类型4：外层函数为二次函数的复合函数2021/7/2625小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。总结：复合函数的单调性判断原则

增函数增函数增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数2021/7/2626小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定义域，要注复合函数的单调性解题步骤复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：

(1)将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数,u=g(x)称为内层函数;(2)确定函数的定义域；

(3)分别确定分解成的两个函数的单调性；

(4)若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为增函数；

(5)若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为减函数。复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。2021/7/2627复合函数的单调性解题步骤复合函数y=f[g(x)]的单调性可2021/7/26282021/7/2628(最新整理)复合函数的单调性专题讲座2021/7/2629(最新整理)复合函数的单调性专题讲座2021/7/261复合函数单调性专题讲座高中数学教师欧阳文丰制作2021/7/2630复合函数单调性专题讲座高中数学教师欧阳文丰制作2021/7/复合函数的概念的定义：如果y是u的函数,u又是x的函数，即ｙ=f(ｕ),ｕ=g(ｘ),那么ｙ关于ｘ的函数ｙ＝ｆ[ｇ(ｘ)］叫做函数y=f(ｕ)和u=g(x)的复合函数，u叫做中间变量，x叫自变量，y叫函数值。2021/7/2631复合函数的概念的定义：如果y是u的函数,u又是x的函数，20复合函数：y=f[g(x)]令u=g(x)则y=f(u)内函数外函数y=f[g(x)]原函数以x为自变量以u为自变量以x为自变量复合函数的结构2021/7/2632复合函数：y=f[g(x)]令u=g(x)则y=复合函数的单调性复合函数的单调性由两个函数共同决定；引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)<g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1<u2，且u1,u2(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)<f(u2),即y=f[g(x1)]<y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。2021/7/2633复合函数的单调性复合函数的单调性由两个函数共同决定；引理1：复合函数的单调性引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)>g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2，且u1,u2(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)<f(u2),即y=f[g(x1)]<y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。2021/7/2634复合函数的单调性引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g复合函数y=f[g(x)]单调性

增函数增函数增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数法则同增异减规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。2021/7/2635复合函数y=f[g(x)]单调性

增函数增函数增函数增函数增类型1：外层函数为幂函数的复合函数2021/7/2636类型1：外层函数为幂函数的复合函数2021/7/268

复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数,u=g(x)称为内层函数;(2)确定函数的定义域；(3)分别确定分解成的两个函数的单调性；若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]

为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]

为减函数。复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。2021/7/2637复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：将复合函解：由1-9x2≥0得：-1/3≤x≤1/3当-1/3≤x≤0,x增大时，1-9x2增大，f(x)减小当0<x≤1/3，x增大时，1-9x2减小，f(x)增大∴函数的单调区间是[-1/3，0]，[0，1/3]。2021/7/2638解：由1-9x2≥0得：-1/3≤x≤1/32021/7/22021/7/26392021/7/2611变式练习(-∞,1][5,+∞)[-1/2,5/4][5/4,3]2021/7/2640变式练习(-∞,1][5,+∞)[-1/2,5/4][5/4小结：考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定义域，在定义域范围内求函数的单调性。类型2：外层函数为指数函数的复合函数2021/7/2641小结：考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定义域，在定义域范围2021/7/26422021/7/26142021/7/26432021/7/2615变式练习（5）、已知函数在（1，4）上是减函数，求实数a的取值。

2021/7/2644变式练习（5）、已知函数类型3：外层函数为对数函数的复合函数2021/7/2645类型3：外层函数为对数函数的复合函数2021/7/26172021/7/26462021/7/26182021/7/26472021/7/2619（6）若函数y=loga(2–ax)在[0,1]上是减函数,求a的取值范围1＜a＜2变式练习2021/7/2648（6）若函数y=loga(2–ax)在[0,1]1＜a＜2变（7）.求函数y=log0.3(x2-4x+3)的单调区间解：∵x2

–4x+3>0∴x>3或x<1∴函数y=log0.3(x2-4x+3)在（–∞，１)上递增,在（３，+∞

）上递减．

y=log0.3tt=x2-4x+3(0,+∞)(-∞,1)(3,+∞

)(-∞,1)(3,+∞)2021/7/2649（7）.求函数y=log0.3(x2-4x+3)的单调区间解（8）.若函数y=

–log2(x2–2ax+a)在(–∞

,–1)上是增函数，求a的取值范围．解：令u=g(x)=x2–2ax+a,∵

函数y=–log2u为减函数∴

u=g(x)=x2–2ax+a在(–∞

,–1)为减函数,且满足u>0,∴a≥–1

g(–1)≥0解得：

a≥

-１／3所以a的取值范围为[–1／3,+∞）2021/7/2650（8）.若函数y=–log2(x2–2ax+a)在(–已