工学弹塑性力学及其应用03-0课件

第3章弹性与塑性应力应变关系概述广义胡克定律Tresca和Mises屈服条件塑性应力应变关系Drucker公设第3章弹性与塑性应力应变关系概述13-1概述拉伸和压缩时的应力应变曲线（低碳钢）线弹性范围轴向拉伸（压缩）时的胡克定律3-1概述拉伸和压缩时的应力应变曲线（低碳钢）线弹性范围2Bauschinger效应材料按弹性规律进行卸载J.Bauschinger(德国)发现具有强化性质的材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向上提高，而在相反方向上降低。一般认为是由多晶材料晶界间的残余应力引起的。Bauschinger效应使材料具有各向异性性质。Bauschinger效应材料按弹性规律进行卸载J.Bau3真实应力和真实应变塑性变形较大时，σ-ε曲线不能真正反映加载和变形的状态。例如颈缩阶段，σ-ε曲线上试件的应变增加而应力反而减小，与实际情况不符。颈缩后，由于局部的实际横截面积的减小，局部拉应力仍在增加。真实应力和真实应变塑性变形较大时，σ-ε曲线不能真正反映加4真实应力A—瞬时截面积真实应变l—瞬时杆长ε—名义应变对数应变材料不可压缩σ—名义应力真实应力A—瞬时截面积真实应变l—瞬时杆长ε—名义应变对数应5弹塑性力学中常用的简化力学模型对于不同的材料，不同的应用领域，应该采用不同的变形体模型。选取力学模型的原则符合材料的实际情况；数学表达时足够简单。弹塑性力学中常用的简化力学模型对于不同的材料，不同的应用领6①理想弹塑性模型o②线性强化弹塑性模型o③③理想刚塑性模型④线性强化刚塑性模型①②④韧性材料塑性成形阶段，忽略弹性应变①理想弹塑性模型o②线性强化弹塑性模型o③③理想刚塑性模型④7⑤幂强化力学模型n—幂强化系数，介于0与1之间on=01n=0.5n=1★其它力学模型等向强化模型，随动强化模型以上五种模型中，理想弹塑性力学模型、理想刚塑性力学模型、幂强化力学模型应用最为广泛。⑤幂强化力学模型n—幂强化系数，介于0与1之间on=01n=83-2广义胡克定律 1678年，R.Hooke发表了固体受力后应力和应变关系的定律—胡克定律。“有多大伸长，就有多大力” 对于各向同性材料，根据实验结果可知，在小变形的情况下，正应力只与线应变有关；剪应力只与剪应变有关。3-2广义胡克定律 1678年，R.Hooke发表了固体9体应变体应力体应变体应力10在弹性变形阶段，应力圆和应变圆是成比例的。在弹性变形阶段，应力圆和应变圆是成比例的。11各向同性体的胡克定律还可以用应变表示应力。Lamé弹性常数体积弹性模量体积胡克定律各向同性体的胡克定律还可以用应变表示应力。Lamé弹性常数12

例题3-1图示橡皮立方体放在同样大小的铁盒内，其上用铁盖封闭，铁盖上受压力q的作用。设铁盖与铁盒可以作为刚体看待，假设橡皮与铁盒之间无摩擦阻力。试求铁盒内侧面受的压力，橡皮块的体积应变和橡皮块中最大的剪应力。qqxzy解：铁盒视为刚体例题3-1图示橡皮立方体放在同样大小的铁盒内，其上用铁盖封13代入空间问题的胡克定律橡皮和铁盒之间无摩擦力代入空间问题的胡克定律橡皮和铁盒之间无摩擦力143-3Tresca和Mises屈服条件 研究塑性变形和作用力之间的关系及在塑性变形后物体内部应力分布规律的学科称为塑性力学。

塑性力学问题的特点应力与应变之间的关系（本构关系）是非线性的，其非线性性质与具体材料有关；应力与应变之间没有一一对应的关系，它与加载历史有关；在变形体中有弹性变形区和塑性变形区，而在求解问题时需要找出弹性区和塑性区的分界线；3-3Tresca和Mises屈服条件 研究塑性变形和作用15 由此可见，塑性力学要比弹性力学更为复杂，问题求解更为困难，因而更需要和实验相联系。需要区分是加载过程还是卸载过程，在塑性区，加载过程中要使用塑性的应力应变关系，而卸载过程中则应使用广义胡克定律。 由此可见，塑性力学要比弹性力学更为复杂，问题求解更为困难，16

屈服条件（塑性条件）：它是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶段的准则。屈服条件简单应力状态（单向）弹性状态塑性状态复杂应力状态（二、三向） 在应力空间中，屈服条件将表示一个曲面。

（弹性区和塑性区的分界面）

应力空间：以应力为坐标轴的空间。在应力空间中的每一点都代表一个应力状态。 应力点位于曲面内f<0 应力点位于曲面上f=0弹性状态塑性状态 屈服条件（塑性条件）：它是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性17Tresca屈服条件 1864年，H.Tresca(法国)

在做了一系列金属挤压实验的基础上，发现了在变形的金属表面有很细的痕纹，而这些痕纹的方向很接近最大剪应力的方向。金属的塑性变形是由剪应力引起晶体滑移而形成的如果不知道主应力的大小和次序只要有一个式子成立，材料便已进入屈服状态Tresca屈服条件 1864年，H.Tresca(法18Tresca屈服条件的几何表示：oo’通过坐标原点o的等倾面—平面o平面上的屈服曲线为正六边形主应力空间中的屈服曲面为正六边形柱面Tresca屈服条件的几何表示：oo’通过坐标原点o的19平面应力状态：o单向拉伸实验k值的确定：纯剪切实验多数材料，近似成立平面应力状态：o单向拉伸实验k值的确定：纯剪切实验多数材料，20Tresca屈服条件的局限性：需要知道主应力的大小和次序，否则其形式非常复杂，没有实用价值；没有考虑中间主应力对屈服条件的影响。Tresca屈服条件的局限性：需要知道主应力的大小和次序，21Mises屈服条件 1913年，R.VonMises(德国)

指出，在等倾面上，Tresca六边形的六个顶点是由实验(拉伸实验)得来的，但连接这六个点直线却具有假设的性质。ooMises屈服条件 1913年，R.VonMises22平面上的屈服曲线为圆主应力空间中的屈服曲面为圆柱面Mises屈服条件的几何表示：空间应力状态平面上的屈服曲线为椭圆平面应力状态平面上的屈服曲线为圆主应力空间中的屈服曲面为圆柱面Mises23ooo’AAo’oooo’AAo’o24单向拉伸实验纯剪切实验R值的确定：Mises屈服条件：平面应力状态空间应力状态多数材料，符合较好单向拉伸实验纯剪切实验R值的确定：Mises屈服条件：平面应25两种屈服条件的实验验证(1)FFp 1925年Lode曾在软钢、铜和镍的薄壁筒上做过试验，使薄壁筒受轴向力和内压的作用。Lode应力参数两种屈服条件的实验验证(1)FFp 1925年Lode曾在26Tresca屈服条件：Mises屈服条件：代入Mises屈服条件MisesTresca-1.01.01.151.0Tresca屈服条件：Mises屈服条件：代入Mises屈服27两种屈服条件的实验验证(2) 1931年G.I.Taylor和H.Quinney曾用软钢、铜和铝制成的薄壁筒做拉扭联合试验。FTFT主应力：两种屈服条件的实验验证(2) 1931年G.I.Tay28Tresca屈服条件：Mises屈服条件：00.50.58TrescaMises

结论：对于韧性材料，Mises屈服条件比Tresca屈服条件更能接近于实验结果。二者相对偏差不会超过15.5%。Tresca屈服条件：Mises屈服条件：00.50.58T29

例题3-2已知两端封闭的薄壁圆管，平均半径为r0，管的厚度为t0，受内压p的作用。试分别按Tresca和Mises屈服条件写出此薄壁圆管在屈服时p的表达式。解：根据薄壁圆管的平衡条件有代入Tresca屈服条件代入Mises屈服条件例题3-2已知两端封闭的薄壁圆管，平均半径为r0，管的厚度303-4塑性应力应变关系增量理论 在塑性变形阶段，应力和应变的关系是非线性的，应变不仅和应力状态有关，还和变形历史有关。 考虑应变历史，研究应力和应变增量之间的关系，以这种关系为基础的理论称为增量理论。

为了确定塑性状态中应力和应变增量之间的关系，需要以实验为基础找出它们之间的关系。塑性力学中的基本理论(流动理论)3-4塑性应力应变关系增量理论 在塑性变形阶段，应力和应31 1925年，Lode做薄壁筒受轴向力和内压联合作用实验时，所采用的参数为Lode应力参数Lode应变增量参数 由算出的应力主值可以得到的值；通过实验得到，从而可以得到的值。-1.0-1.01.01.0 1925年，Lode做薄壁筒受轴向力和内压联合作用实验时32Lévy-Mises本构方程应变增量的主轴和应力偏量的主轴是重合的。Lévy-Mises本构方程应变增量的主轴和应力偏量的主轴是33Drucker公设的正交性法则Lévy-Mises本构方程：Lévy-Mises理论中包含的假设：材料是不可压缩的；材料是理想刚塑性的；材料满足Mises屈服条件。Drucker公设的正交性法则Lévy-Mises本构方程：34 在某些情况下，弹性应变是不能忽略的。例如在某些弹塑性问题中，需要考虑弹性回弹和残余应力，这时必须考虑弹性应变。 在某些情况下，弹性应变是不能忽略的。例如在某些弹塑性问题中35Prandtl-Reuss本构方程 Prandtl-Reuss理论中虽然只增加了弹性变形一项，但在计算中却比没有这一项要复杂很多，因此至今仍只有少数简单的问题获得了解析解。Prandtl-Reuss本构方程 Prandtl-Reus36比例系数dλ的确定：应力强度塑性应变增量强度比例系数dλ的确定：应力强度塑性应变增量强度37全量理论 在塑性力学中，有一种特殊的变形情况，即各应变分量由始至终都按同一比例增加或减少，这种情况称为比例变形。 在此情况下，应变强度增量可以积分并求得应变强度，从而建立了全量理论的应力-应变关系。 这一理论首先由Hencky提出，后来由伊柳辛将它整理的更为完善，问题提的更为明确，并给出了使用条件，因此这个理论亦称为亨奇-伊柳辛理论。(形变理论)全量理论 在塑性力学中，有一种特殊的变形情况，即各应变分量38比例变形时，推导过程参照教材 比例变形的必要条件是比例加载，而在比例加载的条件下，各应力分量都是按比例增长的。Prandtl-Reuss本构方程比例变形时，推导过程参照教材 比例变形的必要条件是比例加载，39弹性应变塑性应变Henkcy本构方程 伊柳辛将Henkcy形变理论的适用条件作了明确的规定，并证明了简单加载定理。

提出：在小弹塑性变形的情况下，总应变与应力偏量成比例。弹性应变塑性应变Henkcy本构方程 伊柳辛将Henkcy形40伊柳辛本构方程弹性应变塑性应变伊柳辛本构方程弹性应变塑性应变41形变理论应满足的条件：外载荷按比例加载，变形体处于主动变形过程；（不出现中间卸载的情况）材料的体积是不可压缩的，泊松比μ=0.5；材料的应力-应变曲线具有幂强化的形式；满足小弹塑性变形的各项条件。塑性变形与弹性变形属于同一量级简单加载条件避免区分弹性区和塑性区形变理论应满足的条件：简单加载条件避免区分弹性区和塑性区42

例题3-3时，试按如下加载路径计算圆管中的应力。已知由不可压缩弹塑性材料做成的薄圆管，受轴向力及扭矩的作用。当变形为FTFTo①②③例题3-3时，试按如下加载路径计算圆管中的应力。已知由不可43解：薄圆管的应力状态分析代入Mises屈服条件设有阶梯形加载路径oabca点：b点：ab段：bc段：解：薄圆管的应力状态分析代入Mises屈服条件设有阶梯形加载44(1)按增量理论计算（Prandtl-Reuss本构方程）无量纲化(1)按增量理论计算（Prandtl-Reuss本构方程）无45a点：ab段：b点：bc段：a点：ab段：b点：bc段：46(2)按全量理论计算（伊柳辛本构方程）对于理想弹塑性材料无量纲化(2)按全量理论计算（伊柳辛本构方程）对于理想弹塑性材料无量47(3)加载路径对计算结果的影响o①②③路径①无量纲化按增量理论计算o①②③11BACB点的初始条件C点处(3)加载路径对计算结果的影响o①②③路径①无量纲化按增量理48路径②按增量理论计算A点的初始条件C点处o①②③11BACo①②③无量纲化(3)加载路径对计算结果的影响路径②按增量理论计算A点的初始条件C点处o①②③11BACo49(3)加载路径对计算结果的影响路径③按增量理论计算o①②③11BAC到达D点时进入屈服D点应力比例加载D屈服后应力不再增加按全量理论计算C点处C点应力与D点应力相等(3)加载路径对计算结果的影响路径③按增量理论计算o①②③150

例题3-4一受轴向力作用的薄壁圆筒，其内半径为r，壁厚为t。若圆筒保持直径不变，只产生轴向伸长，材料不可压缩，试求达到塑性状态时需要多大的内压。解：在塑性变形过程中，薄壁圆筒的直径保持不变，周向应变薄壁圆筒的伸长只能由筒壁变薄产生，FFp例题3-4一受轴向力作用的薄壁圆筒，其内半径为r，壁厚为t51为了将应力偏量分量表示成应力分量，引进由于比和小很多，因此可取屈服条件为了将应力偏量分量表示成应力分量，引进由于比523-5Drucker公设 50年代初期，Drucker(美国)提出了关于材料稳定性的公设。稳定材料非稳定材料稳定材料非稳定材料3-5Drucker公设 50年代初期，Drucker(53这里只考虑稳定材料， 阴影部分的面积代表附加应力在所作的塑性功。

对于稳定材料，该塑性功应该为正功。应力循环Drucker将以上公式推广到复杂应力状态：这里只考虑稳定材料， 阴影部分的面积代表附加应力在所作的塑性54Drucker公设的几何意义：（将应力空间和塑性应变空间的坐标轴叠合）屈服面是凸形的；塑性应变增量沿屈服面的外法线方向；正交性法则Drucker公设的几何意义：（将应力空间和塑性应变空间的坐55加载准则：强化材料加载面

中性变载—当应力增量沿加载面的切线方向变化而加载面并不扩大时，不产生新的塑性变形。—变化的屈服曲面。加载准则：强化材料加载面 中性变载—当应力增量沿加载面的切56理想塑性材料没有中性变载的情况加载中性变载卸载理想塑性材料没有中性变载的情况加载中性变载卸载57

例题3-5设一点的应力状态为当它变为或若材料为理想塑性材料，是加载还是卸载。解：以Mises屈服条件为判断依据屈服函数例题3-5设一点的应力状态为当它变为或若材料为理想塑性材料58①卸载②加载①卸载②加载59END...END...60第3章弹性与塑性应力应变关系概述广义胡克定律Tresca和Mises屈服条件塑性应力应变关系Drucker公设第3章弹性与塑性应力应变关系概述613-1概述拉伸和压缩时的应力应变曲线（低碳钢）线弹性范围轴向拉伸（压缩）时的胡克定律3-1概述拉伸和压缩时的应力应变曲线（低碳钢）线弹性范围62Bauschinger效应材料按弹性规律进行卸载J.Bauschinger(德国)发现具有强化性质的材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向上提高，而在相反方向上降低。一般认为是由多晶材料晶界间的残余应力引起的。Bauschinger效应使材料具有各向异性性质。Bauschinger效应材料按弹性规律进行卸载J.Bau63真实应力和真实应变塑性变形较大时，σ-ε曲线不能真正反映加载和变形的状态。例如颈缩阶段，σ-ε曲线上试件的应变增加而应力反而减小，与实际情况不符。颈缩后，由于局部的实际横截面积的减小，局部拉应力仍在增加。真实应力和真实应变塑性变形较大时，σ-ε曲线不能真正反映加64真实应力A—瞬时截面积真实应变l—瞬时杆长ε—名义应变对数应变材料不可压缩σ—名义应力真实应力A—瞬时截面积真实应变l—瞬时杆长ε—名义应变对数应65弹塑性力学中常用的简化力学模型对于不同的材料，不同的应用领域，应该采用不同的变形体模型。选取力学模型的原则符合材料的实际情况；数学表达时足够简单。弹塑性力学中常用的简化力学模型对于不同的材料，不同的应用领66①理想弹塑性模型o②线性强化弹塑性模型o③③理想刚塑性模型④线性强化刚塑性模型①②④韧性材料塑性成形阶段，忽略弹性应变①理想弹塑性模型o②线性强化弹塑性模型o③③理想刚塑性模型④67⑤幂强化力学模型n—幂强化系数，介于0与1之间on=01n=0.5n=1★其它力学模型等向强化模型，随动强化模型以上五种模型中，理想弹塑性力学模型、理想刚塑性力学模型、幂强化力学模型应用最为广泛。⑤幂强化力学模型n—幂强化系数，介于0与1之间on=01n=683-2广义胡克定律 1678年，R.Hooke发表了固体受力后应力和应变关系的定律—胡克定律。“有多大伸长，就有多大力” 对于各向同性材料，根据实验结果可知，在小变形的情况下，正应力只与线应变有关；剪应力只与剪应变有关。3-2广义胡克定律 1678年，R.Hooke发表了固体69体应变体应力体应变体应力70在弹性变形阶段，应力圆和应变圆是成比例的。在弹性变形阶段，应力圆和应变圆是成比例的。71各向同性体的胡克定律还可以用应变表示应力。Lamé弹性常数体积弹性模量体积胡克定律各向同性体的胡克定律还可以用应变表示应力。Lamé弹性常数72

例题3-1图示橡皮立方体放在同样大小的铁盒内，其上用铁盖封闭，铁盖上受压力q的作用。设铁盖与铁盒可以作为刚体看待，假设橡皮与铁盒之间无摩擦阻力。试求铁盒内侧面受的压力，橡皮块的体积应变和橡皮块中最大的剪应力。qqxzy解：铁盒视为刚体例题3-1图示橡皮立方体放在同样大小的铁盒内，其上用铁盖封73代入空间问题的胡克定律橡皮和铁盒之间无摩擦力代入空间问题的胡克定律橡皮和铁盒之间无摩擦力743-3Tresca和Mises屈服条件 研究塑性变形和作用力之间的关系及在塑性变形后物体内部应力分布规律的学科称为塑性力学。

塑性力学问题的特点应力与应变之间的关系（本构关系）是非线性的，其非线性性质与具体材料有关；应力与应变之间没有一一对应的关系，它与加载历史有关；在变形体中有弹性变形区和塑性变形区，而在求解问题时需要找出弹性区和塑性区的分界线；3-3Tresca和Mises屈服条件 研究塑性变形和作用75 由此可见，塑性力学要比弹性力学更为复杂，问题求解更为困难，因而更需要和实验相联系。需要区分是加载过程还是卸载过程，在塑性区，加载过程中要使用塑性的应力应变关系，而卸载过程中则应使用广义胡克定律。 由此可见，塑性力学要比弹性力学更为复杂，问题求解更为困难，76

屈服条件（塑性条件）：它是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶段的准则。屈服条件简单应力状态（单向）弹性状态塑性状态复杂应力状态（二、三向） 在应力空间中，屈服条件将表示一个曲面。

（弹性区和塑性区的分界面）

应力空间：以应力为坐标轴的空间。在应力空间中的每一点都代表一个应力状态。 应力点位于曲面内f<0 应力点位于曲面上f=0弹性状态塑性状态 屈服条件（塑性条件）：它是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性77Tresca屈服条件 1864年，H.Tresca(法国)

在做了一系列金属挤压实验的基础上，发现了在变形的金属表面有很细的痕纹，而这些痕纹的方向很接近最大剪应力的方向。金属的塑性变形是由剪应力引起晶体滑移而形成的如果不知道主应力的大小和次序只要有一个式子成立，材料便已进入屈服状态Tresca屈服条件 1864年，H.Tresca(法78Tresca屈服条件的几何表示：oo’通过坐标原点o的等倾面—平面o平面上的屈服曲线为正六边形主应力空间中的屈服曲面为正六边形柱面Tresca屈服条件的几何表示：oo’通过坐标原点o的79平面应力状态：o单向拉伸实验k值的确定：纯剪切实验多数材料，近似成立平面应力状态：o单向拉伸实验k值的确定：纯剪切实验多数材料，80Tresca屈服条件的局限性：需要知道主应力的大小和次序，否则其形式非常复杂，没有实用价值；没有考虑中间主应力对屈服条件的影响。Tresca屈服条件的局限性：需要知道主应力的大小和次序，81Mises屈服条件 1913年，R.VonMises(德国)

指出，在等倾面上，Tresca六边形的六个顶点是由实验(拉伸实验)得来的，但连接这六个点直线却具有假设的性质。ooMises屈服条件 1913年，R.VonMises82平面上的屈服曲线为圆主应力空间中的屈服曲面为圆柱面Mises屈服条件的几何表示：空间应力状态平面上的屈服曲线为椭圆平面应力状态平面上的屈服曲线为圆主应力空间中的屈服曲面为圆柱面Mises83ooo’AAo’oooo’AAo’o84单向拉伸实验纯剪切实验R值的确定：Mises屈服条件：平面应力状态空间应力状态多数材料，符合较好单向拉伸实验纯剪切实验R值的确定：Mises屈服条件：平面应85两种屈服条件的实验验证(1)FFp 1925年Lode曾在软钢、铜和镍的薄壁筒上做过试验，使薄壁筒受轴向力和内压的作用。Lode应力参数两种屈服条件的实验验证(1)FFp 1925年Lode曾在86Tresca屈服条件：Mises屈服条件：代入Mises屈服条件MisesTresca-1.01.01.151.0Tresca屈服条件：Mises屈服条件：代入Mises屈服87两种屈服条件的实验验证(2) 1931年G.I.Taylor和H.Quinney曾用软钢、铜和铝制成的薄壁筒做拉扭联合试验。FTFT主应力：两种屈服条件的实验验证(2) 1931年G.I.Tay88Tresca屈服条件：Mises屈服条件：00.50.58TrescaMises

结论：对于韧性材料，Mises屈服条件比Tresca屈服条件更能接近于实验结果。二者相对偏差不会超过15.5%。Tresca屈服条件：Mises屈服条件：00.50.58T89

例题3-2已知两端封闭的薄壁圆管，平均半径为r0，管的厚度为t0，受内压p的作用。试分别按Tresca和Mises屈服条件写出此薄壁圆管在屈服时p的表达式。解：根据薄壁圆管的平衡条件有代入Tresca屈服条件代入Mises屈服条件例题3-2已知两端封闭的薄壁圆管，平均半径为r0，管的厚度903-4塑性应力应变关系增量理论 在塑性变形阶段，应力和应变的关系是非线性的，应变不仅和应力状态有关，还和变形历史有关。 考虑应变历史，研究应力和应变增量之间的关系，以这种关系为基础的理论称为增量理论。

为了确定塑性状态中应力和应变增量之间的关系，需要以实验为基础找出它们之间的关系。塑性力学中的基本理论(流动理论)3-4塑性应力应变关系增量理论 在塑性变形阶段，应力和应91 1925年，Lode做薄壁筒受轴向力和内压联合作用实验时，所采用的参数为Lode应力参数Lode应变增量参数 由算出的应力主值可以得到的值；通过实验得到，从而可以得到的值。-1.0-1.01.01.0 1925年，Lode做薄壁筒受轴向力和内压联合作用实验时92Lévy-Mises本构方程应变增量的主轴和应力偏量的主轴是重合的。Lévy-Mises本构方程应变增量的主轴和应力偏量的主轴是93Drucker公设的正交性法则Lévy-Mises本构方程：Lévy-Mises理论中包含的假设：材料是不可压缩的；材料是理想刚塑性的；材料满足Mises屈服条件。Drucker公设的正交性法则Lévy-Mises本构方程：94 在某些情况下，弹性应变是不能忽略的。例如在某些弹塑性问题中，需要考虑弹性回弹和残余应力，这时必须考虑弹性应变。 在某些情况下，弹性应变是不能忽略的。例如在某些弹塑性问题中95Prandtl-Reuss本构方程 Prandtl-Reuss理论中虽然只增加了弹性变形一项，但在计算中却比没有这一项要复杂很多，因此至今仍只有少数简单的问题获得了解析解。Prandtl-Reuss本构方程 Prandtl-Reus96比例系数dλ的确定：应力强度塑性应变增量强度比例系数dλ的确定：应力强度塑性应变增量强度97全量理论 在塑性力学中，有一种特殊的变形情况，即各应变分量由始至终都按同一比例增加或减少，这种情况称为比例变形。 在此情况下，应变强度增量可以积分并求得应变强度，从而建立了全量理论的应力-应变关系。 这一理论首先由Hencky提出，后来由伊柳辛将它整理的更为完善，问题提的更为明确，并给出了使用条件，因此这个理论亦称为亨奇-伊柳辛理论。(形变理论)全量理论 在塑性力学中，有一种特殊的变形情况，即各应变分量98比例变形时，推导过程参照教材 比例变形的必要条件是比例加载，而在比例加载的条件下，各应力分量都是按比例增长的。Prandtl-Reuss本构方程比例变形时，推导过程参照教材 比例变形的必要条件是比例加载，99弹性应变塑性应变Henkcy本构方程 伊柳辛将Henkcy形变理论的适用条件作了明确的规定，并证明了简单加载定理。

提出：在小弹塑性变形的情况下，总应变与应力偏量成比例。弹性应变塑性应变Henkcy本构方程 伊柳辛将Henkcy形100伊柳辛本构方程弹性应变塑性应变伊柳辛本构方程弹性应变塑性应变101形变理论应满足的条件：外载荷按比例加载，变形体处于主动变形过程；（不出现中间卸载的情况）材料的体积是不可压缩的，泊松比μ=0.5；材料的应力-应变曲线具有幂强化的形式；满足小弹塑性变形的各项条件。塑性变形与弹性变形属于同一量级简单加载条件避免区分弹性区和塑性区形变理论应满足的条件：简单加载条件避免区分弹性区和塑性区102

例题3-3时，试按如下加载路径计算圆管中的应力。已知由不可压缩弹塑性材料做成的薄圆管，受轴向力及扭矩的作用。当变形为FTFTo①②③例题3-3时，试按如下加载路径计算圆管中的应力。已知由不可103解：薄圆管的应力状态分析代入Mises屈服条件设有阶梯形加载路径oabca点：b点：ab段：bc段：解：薄圆管的应力状态分析代入Mises屈服条件设有阶梯形加载104(1)按增量理论计算（Prandtl-Reuss本构方程）无量纲化(1)按增量理论计算（Prandtl-Reuss本构方程）无105a点：ab段：b点：bc