极限运算法则课件

第一章

一、极限的四则运算法则

三、复合函数的极限运算法则第五节极限运算法则二、求极限方法举例1第一章一、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运一、极限的四则运算法则则有证:

因则有(其中为无穷小)

于是因为也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理1.

若2一、极限的四则运算法则则有证:因则有(其中为无穷小)于推论:

若且则利用保号性定理证明.说明:

定理1可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:令定理2

.

若则有提示:

利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明.说明:

定理2可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.(C为常数

)推论2.(n为正整数)3推论:若且则利用保号性定理证明.说明:定理1可推广为无穷小(详见P44)定理3.

若且

B≠0,则有证:

因有其中设无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理,得为无穷小,4为无穷小(详见P44)定理3.若且B≠0,则有证注意：1.必须是在有限个函数，且每个函数的极限都存在的前提下应用公式2.两层含义5注意：1.必须是在有限个函数，且每个函数的极限都存在的前提下二、求极限方法举例例1.解:求6二、求极限方法举例例1.解:求6小结:说明:

1.设n次多项式则2.设且则有若则商的法则不能应用.7小结:说明:1.设n次多项式则2.设且则有若则商的法解:商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例2.

x=3时分母为0!例3.求8解:商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例2.x=解:例4.(消去零因子法)求分子，分母的极限都是零.时，先约去不为零的无穷小因子后再求极限.有理函数求极限：（1）分母不等于零,直接用法则；（2）分母等于零,分子不等于零,无穷大（3）分母等于零,分子等于零,消去零因子,极限有可能存在9解:例4.(消去零因子法)求分子，分母的极限都是零.时，先约解:例5.已知求原式10解:例5.已知求原式10例6.

求极限解:通分11例6.求极限解:通分11例7.

解:(无穷小因子分出法)分子,分母的极限都是无穷大.时，先用去除分子分母，分出无穷小，再求极限.求12例7.解:(无穷小因子分出法)分子,分母的极限都是无穷一般有如下结果：为非负常数)无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.13一般有如下结果：为非负常数)无穷小分出法:以分母中自变量的例8.解:左右极限存在且相等,设求是函数的分段点，两个单侧极限为故14例8.解:左右极限存在且相等,设求是函数的分段点，两个单侧极三、复合函数的极限运算法则定理7.

设且x满足时,又则有证:

当时,有当时,有对上述取则当时故①因此①式成立.15三、复合函数的极限运算法则定理7.设且x满足时,又定理7.

设且x满足时,又则有说明:1.若定理中则类似可得2.此定理是用变量替换求极限的理论基础，其中条件是不能省去的。16定理7.设且x满足时,又则有说明:1.若定理中则思考设求（1）（2）（3）问能否用定理7求=1=1=0不能17思考设求（1）（2）（3）问能否用定理7求=1=1例9.

求极限解:（分子有理化）例10.

求极限解:

原式（分子分母同时有理化）18例9.求极限解:（分子有理化）例10.求极限解:原式例11.求极限解:有理化19例11.求极限解:有理化19例12.解:练习：设函数问a为何值时，存在。讨论极限令当时，当时，20例12.解:练习：设函数问a为何值时，存在。讨论极限令当时，练习1.讨论下列极限是否存在.2.求极限21练习1.讨论下列极限是否存在.2.求极限21内容小结1.

极限运算法则(1)极限四则运算法则(2)复合函数极限运算法则2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂(2)复合函数极限求法设中间变量时,型,无极限5)利用无穷小运算性质求极限;6)利用左右极限求分段函数极限.1)2)3)4)22内容小结1.极限运算法则(1)极限四则运算法则(2)复思考及练习1.是否存在?为什么?答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,矛盾.解:2.问原式原式23思考及练习1.是否存在?为什么?答:不存在.否则由3.求解法1

原式=解法2

令则原式=243.求解法1原式=解法2令则原式=244.试确定常数a使解:令则故因此254.试确定常数a使解:令则故因此25作业P481（5），（7），（9），（12），（14）2（1），（3）3（1）426作业26备用题

设解:利用前一极限式可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故27备用题设解:利用前一极限式可令再利用后一极限式,得一、填空题:练习题

28一、填空题:练习题28二、求下列各极限:29二、求下列各极限:293030

第一章

一、极限的四则运算法则

三、复合函数的极限运算法则第五节极限运算法则二、求极限方法举例31第一章一、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运一、极限的四则运算法则则有证:

因则有(其中为无穷小)

于是因为也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理1.

若32一、极限的四则运算法则则有证:因则有(其中为无穷小)于推论:

若且则利用保号性定理证明.说明:

定理1可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:令定理2

.

若则有提示:

利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明.说明:

定理2可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.(C为常数

)推论2.(n为正整数)33推论:若且则利用保号性定理证明.说明:定理1可推广为无穷小(详见P44)定理3.

若且

B≠0,则有证:

因有其中设无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理,得为无穷小,34为无穷小(详见P44)定理3.若且B≠0,则有证注意：1.必须是在有限个函数，且每个函数的极限都存在的前提下应用公式2.两层含义35注意：1.必须是在有限个函数，且每个函数的极限都存在的前提下二、求极限方法举例例1.解:求36二、求极限方法举例例1.解:求6小结:说明:

1.设n次多项式则2.设且则有若则商的法则不能应用.37小结:说明:1.设n次多项式则2.设且则有若则商的法解:商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例2.

x=3时分母为0!例3.求38解:商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例2.x=解:例4.(消去零因子法)求分子，分母的极限都是零.时，先约去不为零的无穷小因子后再求极限.有理函数求极限：（1）分母不等于零,直接用法则；（2）分母等于零,分子不等于零,无穷大（3）分母等于零,分子等于零,消去零因子,极限有可能存在39解:例4.(消去零因子法)求分子，分母的极限都是零.时，先约解:例5.已知求原式40解:例5.已知求原式10例6.

求极限解:通分41例6.求极限解:通分11例7.

解:(无穷小因子分出法)分子,分母的极限都是无穷大.时，先用去除分子分母，分出无穷小，再求极限.求42例7.解:(无穷小因子分出法)分子,分母的极限都是无穷一般有如下结果：为非负常数)无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.43一般有如下结果：为非负常数)无穷小分出法:以分母中自变量的例8.解:左右极限存在且相等,设求是函数的分段点，两个单侧极限为故44例8.解:左右极限存在且相等,设求是函数的分段点，两个单侧极三、复合函数的极限运算法则定理7.

设且x满足时,又则有证:

当时,有当时,有对上述取则当时故①因此①式成立.45三、复合函数的极限运算法则定理7.设且x满足时,又定理7.

设且x满足时,又则有说明:1.若定理中则类似可得2.此定理是用变量替换求极限的理论基础，其中条件是不能省去的。46定理7.设且x满足时,又则有说明:1.若定理中则思考设求（1）（2）（3）问能否用定理7求=1=1=0不能47思考设求（1）（2）（3）问能否用定理7求=1=1例9.

求极限解:（分子有理化）例10.

求极限解:

原式（分子分母同时有理化）48例9.求极限解:（分子有理化）例10.求极限解:原式例11.求极限解:有理化49例11.求极限解:有理化19例12.解:练习：设函数问a为何值时，存在。讨论极限令当时，当时，50例12.解:练习：设函数问a为何值时，存在。讨论极限令当时，练习1.讨论下列极限是否存在.2.求极限51练习1.讨论下列极限是否存在.2.求极限21内容小结1.

极限运算法则(1)极限四则运算法则(2)复合函数极限运算法则2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂(2)复合函数极限求法设中间变量时,型,无极限5)利用无穷小运算性质求极限;6)利用左右极限求分段函数极限.1)2)3)4)52内容小结1.极限运算法则(1)极限四则运算法则(2)复思考及练习1.是否存在?为什么?答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,矛盾.解:2.问原式原式53思考及练习1.是否存在?为什么?答:不存在.否则由3.求解法1

原式=解法2

令则原式=543.求解法1原式=解法2令则原式=244.试确定常数a使解:令则故因此554.试确定常