第四章 指数函数与对数函数 知识手册-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章指数函数与对数函数课标要求:本章在研究指数幂和对数的基础上，以研究函数概念与性质的一般方法，指导借鉴研究幂函数的过程与方法，学习指数函数和对数函数，帮助学生学会用函数图像和代数运算的方法研究它们的性质，理解这两类函数中蕴含的变化规律，运用函数思想方法，探索用二分法求方程的近似解。通过建立指数函数对数函数模型，解决简单的实际应用，体会指数函数对数函数在解决实际问题的作用，从而进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，提升数学核心素养。内容包括:指数指数函数对数对数函数函数的应用(二)(1)指数①掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中②理解分数指数幂的概念.掌握无理指数幂的运算性质.③会对根式、分数指数幂进行互化.(2)指数函数①通过具体实例了解指数函数的实际意义.②理解指数函数的概念.③根据函数图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点.④能够应用指数函数的图象和性质解决相关问题.(3)对数①掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算.②能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数.(4)对数函数①理解对数函数的定义，会求对数函数的定义域；②了解对数函数与指数函数之间的联系，③了解对数函数在生产实际中的简单应用.④了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型，能根据具体问题选择构建函数模型求解问题(5)函数的应用(二)①了解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程的根的关系.②.掌握函数零点的判断方法，会判断函数零点的个数及其所在区间.③通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件会用二分法求一个函数在给定区间内的零点近似值.④.会通过具体的函数模型分析实际问题.⑤.能够对问题进行分析，建立合适的数学模型，并对不同数学模型的契合度进行比较，择优选择.知识梳理：教材《必修第一册》1.指数（教材P104-P110）(1)n次方根①．a的n次方根的定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的，其中n>1，且n∈N*.②.a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数eq\r(n,a)Rn为偶数±eq\r(n,a)[0，＋∞)③.根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做，a叫做．(2)根式的性质根式的性质是化简根式的重要依据①没有偶次方根．②0的任何次方根都是0，记作eq\r(n,0)＝.③)(eq\r(n,a))n＝(n∈N*，且n>1)．④eq\r(n,an)＝(n为大于1的奇数)．⑤eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数)．(3)分数指数幂①.规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．②.规定正数的负分数指数幂的意义是：＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)．③.0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂(4)有理数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：①.aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．②.(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．③.(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．④拓展：eq\f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)．(5)无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．2.指数函数（教材P111-P120）(1)指数函数的概念一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做，其中x是自变量，定义域是R(2)指数型函数模型在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长y，则y=N(1+p)x(x∈N).形如y=k(3)指数函数的图象和性质0<a<1a>1图像定义域值域性质过定点，即x=时，y=减函数增函数3.对数（教材P122-P128）(1)对数的概念①.对数：一般地，如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_______，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．②.常用对数：通常我们将以_______为底的对数叫做常用对数，并把记为lgN．③.自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2．71828……为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把记为lnN．(2)．对数与指数的关系当a>0，且a≠1时，．即(3)．对数的性质根据对数的概念，知对数具有以下性质：①.负数和零没有对数，即；②.1的对数等于0，即；③.底数的对数等于1，即．(4)对数的运算①.基本性质若，则_________；_________．②.对数的运算性质如果，那么：；；．(5)换底公式及公式的推广①．对数的换底公式．②．公式的推广（其中a>0且；b>0且）；（其中a>0且；b>0）；（其中a>0且；b>0）；（其中a>0且；b>0）；（其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0）．4.对数函数（教材P130-P141）（1）对数函数的概念一般地，函数_____________叫做对数函数，其中____是自变量，对数函数的定义域是_____．提示:EQ\o\ac(○,1)在函数的定义中，要限定＞0且≠1．EQ\o\ac(○,2)对数函数的定义域是EQ\o\ac(○,3)对数函数的值域是R(2)对数函数的图像与性质0<a<1a>1图象定义域值域性质过定点，即x=1时，y=0减函数(3)反函数一般地，指数函数与对数函数y=logax（a>0(4)三种常见函数模型的增长差异函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增减性图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随x的增大匀速上升增长速度y＝ax的增长y＝kx的增长，y＝kx的增长y＝logax的增长增长后果会存在一个x0，当x>x0时，有5.函数的应用(二)（教材P142-P156）(1)函数的零点对于一般函数y=f(x)，我们把的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)函数的零点、方程的根、函数图像之间的关系函数y=f(x)的就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图像与x轴的公共点.所以方程f(x)=0⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图像与x轴有公共点.(3)函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条的曲线，且有，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内零点，即存在c∈(a,b)，使得，这个c也就是方程f(x)=0的解.(4)二分法对于在区间[a,b]上图象且的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(5)用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数y=f(x)零点x0①确定零点x0的初始区间[a,b]，验证②求区间(a,b)的中点c.③.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：若f(c)=0（此时x0=c），则若f(a)f(c)<0（此时x0∈），则令若f(c)f(b)<0（此时x0∈，则令④.判断是否达到精确度ε：若|a−b|<ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤2~4.(6)常见的几类函数模型①一次函数模型：（为常数，），②二次函数模型：（为常数，）；或（为常数，）．③指数函数模型：（通常为常数，，且）．④对数函数模型：（通常为常数，，且）．⑤幂函数模型：（为常数，）．⑥反比例函数模型：（为常数，）．⑦分段函数模型：用来描述在不同区间上有不同变化规律的实际问题．(7)解答应用问题的基本思想和程序①解答应用问题的基本思想②解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即：审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；求模：求解数学模型，得出数学结论；还原：将数学结论还原为实际应用问题的结论．参考答案:n次方根根指数被开方数负数0aaeq\r(n,am)没有意义实数．2.y=ax(a>0，且a≠1)指数函数xR0<a<1a>1图像定义域R值域②(0,+∞)性质过定点(0,1)，即x=0时，y=1减函数增函数3.10NblogaM+logaN4.y=logax（a>0，且0<a<1a>1图象定义域(0,+∞)值域R性质过定点(1,0)，即x=1时，y=0减函数增函数y=ax（a>0，且函数性质y＝ax(a>