矫正散光的透镜课件

第三章矫正散光的透镜

第三章矫正散光的透镜1第一节柱面和柱面透镜

1、柱面透镜将一条直线绕另一条直线平行等距离旋转就可以得到一圆柱体。为圆柱的轴，两条线之间距为圆柱的曲率半径，与轴垂直的方向有最大的曲率。

第一节柱面和柱面透镜1、柱面透镜将一条直线绕另一条直2由于柱面透镜在与轴平行的方向上曲率为零（没有弯曲），所以光线通过柱面透镜在这个方向上没有曲折，柱面透镜在与轴垂直的方向上有最大的曲率，所以光线通过柱面透镜在这个方向上受到最大的屈光力。平行光通过柱面透镜后汇聚到焦点，焦点集合成一直线称为焦线（图4-4）（图4-5），焦线与轴平行。

由于柱面透镜在与轴平行的方向上曲率为零（没有弯曲），所以光线32、柱面透镜的屈光力

柱面透镜沿轴方向的曲率为零，与轴垂直方向有最大的曲率，该方向的屈光力为柱镜的屈光力。

公式

2、柱面透镜的屈光力 公式4皇冠玻璃的折射率，柱面最大曲率的半径为，则该柱面的屈光力为？

皇冠玻璃的折射率，柱面最大曲率的半径为53、柱面透镜的视觉像移

顺动、逆动以柱面透镜的中心为轴进行旋转时，通过透镜可观察到“”字的两条线在随着透镜的旋转进行“张开”继而又“合拢”状的移动。这种现象称之为“剪刀运动”3、柱面透镜的视觉像移6第二节正交柱镜的性质

正交柱镜有以下性质：

1．轴向相同的两柱镜叠加，其效果等于一个柱镜，其屈光力为两个透镜屈光力的代数和。

()

()

第二节正交柱镜的性质正交柱镜有以下性质：()(7矫正散光的透镜课件82．两相同轴向、相同屈光力但正负不同的柱面迭加，结果互相中和。

()

3．两相同屈光力且轴互相垂直的柱镜叠加，效果为一球面透镜。且球面镜的屈光力等于柱面镜的屈光力。

()

()

2．两相同轴向、相同屈光力但正负不同的柱面迭加，结果互相中和9矫正散光的透镜课件104．一个柱面镜可由一相同屈光力的球面镜与一个屈光力相同但符号相反且轴向垂直的柱镜叠加所代替。

()

5．两轴互相垂直屈光力不等的柱面叠加可等效为一球面与一柱面的叠加。

4．一个柱面镜可由一相同屈光力的球面镜与一个屈光力相同但符号11第三节球柱面透镜

柱面镜只能矫正一个主子午线的屈光不正，但多数散光眼是两条主子午线都需要矫正。球柱面透镜就可以解决这样的问题。薄透镜的总屈光力是前后两面屈光力之和，将透镜的一面制成为球面，另一面制成柱面，两面之和就得到一个球柱面透镜

第三节球柱面透镜柱面镜只能矫正一个主子午线的屈光不正，121、球柱面透镜

一个球柱面透镜的前表面屈光力为，后表面屈光力为，两面之和为球柱面透镜总屈光力，有。

1、球柱面透镜一个球柱面透镜的前表面屈光力为，后表132、散光镜片的表示形式

表示一散光镜片，要将其分解为球面及柱面成分（三种）

2、散光镜片的表示形式表示一散光镜片，要将其分解为球面及14实际应用中，①球面负柱面的表示形式最为常见，即不论球面值为正值还是为负值，柱面都以“负”柱面的形式表示。

实际应用中，①球面负柱面的表示形式最为常见，即不论球面值为正153、散光透镜的处方转换

方法一：“球面+负柱面”与“球面+正柱面”之间的转换

1）原球面与柱面的代数和为新球面；2）将原柱面的符号改变，为新柱面；3）

新轴与原轴垂直。以上方法可归纳为：代数和、变号、转轴

3、散光透镜的处方转换16（1）

方法二：“球面+柱面”变为“柱面+柱面”1）原球面为一新柱面，其轴与原柱面轴垂直；2）原球面与柱面的代数和为另一柱面，轴为原柱面轴。

（1）

方法二：“球面+柱面”变为“柱面+柱面17（3）

方法三：“柱面＋柱面”变为“球面＋柱面”1）设两柱面分别为A和B；2）若选A为新球面，则B减A为新柱面，轴为B轴；3）若选B为新球面，则A减B为新柱面，轴为A轴。

（3）

方法三：“柱面＋柱面”变为“球面＋柱面18第四节散光透镜的成像

1．散光透镜的成像——像散光束

散光透镜各方向的屈光力不同，且在互相垂直的两方向上有最大及最小的屈光力，这就使得光线通过散光透镜后不能像球面透镜那样成一点像。图4-13为一正散光透镜所形成的像散光束，称为史氏光锥

第四节散光透镜的成像1．散光透镜的成像——像散光束19矫正散光的透镜课件20由扁椭圆过渡为长椭圆的过程中一定会有一个圆形，称为最小弥散圆

前焦线与后焦线的间隔称为Sturm间隔，它的大小表示了散光的大小。由扁椭圆过渡为长椭圆的过程中一定会有一个圆形，称为最小弥散圆212．散光光束中各参数的计算

透镜到前焦线的距离为；透镜到后焦线的距离为；透镜到最小弥散圆的距离为；为前焦线长度；为后焦线长度；透镜直径为，为Sturm间距。根据图中的关系，焦线长度，分别为:

2．散光光束中各参数的计算透镜到前焦线的距离为；透镜到22焦线的位置及可据及求出

由此可得镜片至最小弥散圆的距离：

该距离以屈光度的形式表示为：

最小弥散圆的直径为：

焦线的位置及可据及23一散光透镜，直径，求透镜前的物点发出的光经透镜后所成焦线及最小弥散圆的位置及大小。

解：已知，，（轴向），（轴向），所以：垂直线

水平线

直径

一散光透镜，直径24第五节环曲面和环曲面透镜

1、环曲面

“环曲面”一词来自拉丁文“Torus”，指古希腊建筑中石柱下的环形石。环曲面有互相垂直的两个主要的曲率半径，形成两个主要的曲线弧。其中曲率小的圆弧称作基弧(basecurve)，基弧的曲率半径以表示。曲率大的圆弧称作正交弧(crosscurve)，正交弧的曲率半径以表示。

第五节环曲面和环曲面透镜1、环曲面25矫正散光的透镜课件262、环曲面透镜

透镜的两个表面一面是环曲面，另一面是球面为环曲面透镜(toriclens)。与球柱面透镜相比，环曲面透镜无论在外观上还是在成像质量上都优于球柱面透镜。

2、环曲面透镜27矫正散光的透镜课件28将环曲面制作在透镜的外表面（内表面为球面），称为外环曲面，通常眼镜行业称之为外散镜片。

将环曲面制作在透镜的内表面（外表面为球面），称为内环曲面，通常眼镜行业称之为内散镜片。

因为内环曲面透镜的外表面是球面，所以外观比外环曲面镜片好看，更主要的是内环曲面透镜在消像差及提高成像质量等方面都明显优于外环曲面。

将环曲面制作在透镜的外表面（内表面为球面），称为外环曲面，通29第六节散光透镜的轴向

1、标准标记法

现在国际上普遍采用的是标准标记法，又称TABO标记法

标准标记法中规定：由水平方向起，从被检者的左向右逆时针旋转为～。在这样的规定下，垂直子午线称为子午线，水平子午线习惯称为子午线，度数符号“°”可以省略，这样可以避免使误认为是100。

第六节散光透镜的轴向1、标准标记法标准标记法中规定：30矫正散光的透镜课件312、旧的轴位标记法

前采用的轴位标记法中主要是鼻侧标记法，即以鼻侧为内，以颞侧为外，两眼均是从内向外旋转180这种表示方法，右眼镜片的轴位表示与标准标记法相同，只是左眼轴位表示与标准标记法差902、旧的轴位标记法323、环曲面透镜的识别

(1)环曲面透镜与球面透镜的区别：

球面透镜的前后表面都是球面，所以透镜的边缘厚度是一样的。环曲面透镜则与球面透镜不同，由于环曲面有两个互相垂直且不同的曲率，这就使得环曲面镜的边缘厚度不同。曲率大的方向厚度薄，相反曲率小的方向厚度厚。

(2)内环曲面透镜与外环曲面透镜的区别：

3、环曲面透镜的识别33第七节环曲面透镜的片形转换和识别

将一已知的散光处方（球柱面镜形式的一种）转换成所要求的片形，按要求的基弧转换片形的步骤如下：

①

将原处方中柱面符号转变为与基弧相同的符号；②

将转换后处方中的球面减去基弧，其差值为环曲面镜片的球弧值；③

基弧为要求的值，轴向与转换后处方中柱面的轴垂直；④

转换后处方中的柱面加基弧为正交弧，其轴向与基弧轴向垂直；写出环曲面镜片片形。

第七节环曲面透镜的片形转换和识别将一已知的散光处方（球34书写环曲面透镜的片形时，通常把正面屈光力写在横线上方，背面屈光力写在下方；基弧写在前面，正交弧写在后面。因此，环曲面透镜可写成：

或

如基弧已知，则：正交弧=基弧＋柱面成分球弧=球面成分

－

基弧

若要从环面形式转回原球柱形处方，则：球面=基弧＋球弧柱面=正交弧

－

基弧（轴与正交弧相同）

书写环曲面透镜的片形时，通常把正面屈光力写在横线上方，背面屈35将处方转换为基弧的环曲面形式。

有时因需要，会要求以一定的球弧设计环曲面镜片的片形，方法如下：设透镜的球面屈光力，柱面屈光力，处方为：

()

①

将原处方加减一球面值

②

将另一球面分解为两正交柱面，轴分别为及；

③

将柱面合并；

④

写出处方。

将处方转换为基弧36第八节斜交柱镜

第八节斜交柱镜37(一)斜交柱镜1、柱镜中间方向的屈光力式中θ为该方向与柱镜轴之夹角，F为柱镜的最大屈光力

因为，所以，若为与最大屈光力（F）方向夹角时，

(一)斜交柱镜1、柱镜中间方向的屈光力式中θ为该方向382、球柱面镜中间方向的屈光力

散光透镜可以用球部与柱部的和来表示。

2、球柱面镜中间方向的屈光力39该公式是柱面轴向为的一个特例，若散光透镜的柱面轴为任意方向的时，则方向的屈光力为：

式中S为透镜的球面值，C为透镜柱面值，为柱面轴向，为任意方向

该公式是柱面轴向为的一个特例，若散光透镜的柱面轴为任意方向的40

透镜在方向的屈光力为多少？

41(二)斜交柱镜的叠加

1.公式法

将两个柱镜片，和，合成为一新的镜片，新镜片由球部S，柱部C与轴组成，即()

(二)斜交柱镜的叠加1.公式法将两个柱镜片，42矫正散光的透镜课件43两个柱镜片中间方向的屈光力分别表示为：

两柱镜片叠加为一新镜片:公式4-11

两个柱镜片中间方向的屈光力分别表示为：两柱镜片叠加为一新镜44其中

从前面的矢量关系可以看出，其中

将公式4-13，4-14代回公式4-12中：

公式4-15

其中从前面的矢量关系可以看出，其中将公式4-13，4-145将公式4-15代入公式4-11，则：

故叠加后的镜片表示为：

根据公式4-13，4-14可得到

将公式4-15代入公式4-11，则：故叠加后的镜片表示为：46公式4-16，4-17，4-18为柱镜叠加公式，计算时可先利用公式4-17将已知量代入求得叠加后的柱镜轴，再利用式（4-18）求得叠加后的柱镜值，最后利用式（4-16）求出叠加后的球面值。

若原来的透镜本来有球面成分：

①()

②()

叠加后在式（4-16）中将原有的球面加上即可

若有n枚散光透镜叠加：

散光透镜叠加后的、、、可由下式求出：

公式4-16，4-17，4-18为柱镜叠加公式，计算时可先利47求两透镜-1.00DC×与-1.00DC×叠加后的透镜。

求两透镜-1.00DC×与-1.00DC×叠加后的48例4-17试叠加下列两柱镜

例4-17试叠加下列两柱镜492.斜交柱镜的矢量法

矢量是有大小、有方向的量。散光透镜S(),若不考虑球面S值,其柱面C可以矢量形式表示：其大小为C的量值，方向为轴向的二倍，即（与横轴之夹角为），如图4-22所示：

2.斜交柱镜的矢量法50在进行矢量叠加时，为避免柱镜符号混淆，将各镜片的柱镜符号统一为“负”值，即进行“负”柱镜的矢量叠加。因此，对正柱镜要通过处方转换变为负柱镜。

在进行矢量叠加时，为避免51

在坐标上表示出镜片的矢量

解：该矢量长度为1，偏角为在坐标上表示出镜片的矢量解：该矢量长度52（2）斜交柱镜叠加的矢量方法：先规定矢量的单位长度（如1cm代表1D）；

根据柱镜C的大小及偏角（二倍轴向）在坐标上分别作出各自的矢量；

进行矢量叠加（将矢量首尾相连）；

叠加后矢量终点与原点连线的长度为叠加后柱镜的量值，与横轴偏角的二分之一为柱镜轴向；

球镜值可利用式（4-19）求得。

（2）斜交柱镜叠加的矢量方法：球镜值可利用式（4-19）求得53例4-19用矢量法叠加下列两镜片

解：是长度为1，偏角为的矢量；是长度为1.5，偏角为的矢量；

,其长度量得为2.4，轴向为；

所以叠加后的柱镜为，其球镜为：

叠加后镜片为()

例4-19用矢量法叠加下列两镜片解：是长度为1，偏54例4-20用矢量法叠加下面两透镜

解：镜片②是正柱镜，进行处方转换变为负柱镜

即是长度为2，偏角为的矢量；是长度为2，偏角为的矢量。叠加后矢量长度为，与横轴夹角为（），故为

例4-20用矢量法叠加下面两透镜解：镜片②是正柱镜，进55(三)残余散光

1、残余屈光不正

2、残余散光

(三)残余散光1、残余屈光不正56

第三章矫正散光的透镜

第三章矫正散光的透镜57第一节柱面和柱面透镜

1、柱面透镜将一条直线绕另一条直线平行等距离旋转就可以得到一圆柱体。为圆柱的轴，两条线之间距为圆柱的曲率半径，与轴垂直的方向有最大的曲率。

第一节柱面和柱面透镜1、柱面透镜将一条直线绕另一条直58由于柱面透镜在与轴平行的方向上曲率为零（没有弯曲），所以光线通过柱面透镜在这个方向上没有曲折，柱面透镜在与轴垂直的方向上有最大的曲率，所以光线通过柱面透镜在这个方向上受到最大的屈光力。平行光通过柱面透镜后汇聚到焦点，焦点集合成一直线称为焦线（图4-4）（图4-5），焦线与轴平行。

由于柱面透镜在与轴平行的方向上曲率为零（没有弯曲），所以光线592、柱面透镜的屈光力

柱面透镜沿轴方向的曲率为零，与轴垂直方向有最大的曲率，该方向的屈光力为柱镜的屈光力。

公式

2、柱面透镜的屈光力 公式60皇冠玻璃的折射率，柱面最大曲率的半径为，则该柱面的屈光力为？

皇冠玻璃的折射率，柱面最大曲率的半径为613、柱面透镜的视觉像移

顺动、逆动以柱面透镜的中心为轴进行旋转时，通过透镜可观察到“”字的两条线在随着透镜的旋转进行“张开”继而又“合拢”状的移动。这种现象称之为“剪刀运动”3、柱面透镜的视觉像移62第二节正交柱镜的性质

正交柱镜有以下性质：

1．轴向相同的两柱镜叠加，其效果等于一个柱镜，其屈光力为两个透镜屈光力的代数和。

()

()

第二节正交柱镜的性质正交柱镜有以下性质：()(63矫正散光的透镜课件642．两相同轴向、相同屈光力但正负不同的柱面迭加，结果互相中和。

()

3．两相同屈光力且轴互相垂直的柱镜叠加，效果为一球面透镜。且球面镜的屈光力等于柱面镜的屈光力。

()

()

2．两相同轴向、相同屈光力但正负不同的柱面迭加，结果互相中和65矫正散光的透镜课件664．一个柱面镜可由一相同屈光力的球面镜与一个屈光力相同但符号相反且轴向垂直的柱镜叠加所代替。

()

5．两轴互相垂直屈光力不等的柱面叠加可等效为一球面与一柱面的叠加。

4．一个柱面镜可由一相同屈光力的球面镜与一个屈光力相同但符号67第三节球柱面透镜

柱面镜只能矫正一个主子午线的屈光不正，但多数散光眼是两条主子午线都需要矫正。球柱面透镜就可以解决这样的问题。薄透镜的总屈光力是前后两面屈光力之和，将透镜的一面制成为球面，另一面制成柱面，两面之和就得到一个球柱面透镜

第三节球柱面透镜柱面镜只能矫正一个主子午线的屈光不正，681、球柱面透镜

一个球柱面透镜的前表面屈光力为，后表面屈光力为，两面之和为球柱面透镜总屈光力，有。

1、球柱面透镜一个球柱面透镜的前表面屈光力为，后表692、散光镜片的表示形式

表示一散光镜片，要将其分解为球面及柱面成分（三种）

2、散光镜片的表示形式表示一散光镜片，要将其分解为球面及70实际应用中，①球面负柱面的表示形式最为常见，即不论球面值为正值还是为负值，柱面都以“负”柱面的形式表示。

实际应用中，①球面负柱面的表示形式最为常见，即不论球面值为正713、散光透镜的处方转换

方法一：“球面+负柱面”与“球面+正柱面”之间的转换

1）原球面与柱面的代数和为新球面；2）将原柱面的符号改变，为新柱面；3）

新轴与原轴垂直。以上方法可归纳为：代数和、变号、转轴

3、散光透镜的处方转换72（1）

方法二：“球面+柱面”变为“柱面+柱面”1）原球面为一新柱面，其轴与原柱面轴垂直；2）原球面与柱面的代数和为另一柱面，轴为原柱面轴。

（1）

方法二：“球面+柱面”变为“柱面+柱面73（3）

方法三：“柱面＋柱面”变为“球面＋柱面”1）设两柱面分别为A和B；2）若选A为新球面，则B减A为新柱面，轴为B轴；3）若选B为新球面，则A减B为新柱面，轴为A轴。

（3）

方法三：“柱面＋柱面”变为“球面＋柱面74第四节散光透镜的成像

1．散光透镜的成像——像散光束

散光透镜各方向的屈光力不同，且在互相垂直的两方向上有最大及最小的屈光力，这就使得光线通过散光透镜后不能像球面透镜那样成一点像。图4-13为一正散光透镜所形成的像散光束，称为史氏光锥

第四节散光透镜的成像1．散光透镜的成像——像散光束75矫正散光的透镜课件76由扁椭圆过渡为长椭圆的过程中一定会有一个圆形，称为最小弥散圆

前焦线与后焦线的间隔称为Sturm间隔，它的大小表示了散光的大小。由扁椭圆过渡为长椭圆的过程中一定会有一个圆形，称为最小弥散圆772．散光光束中各参数的计算

透镜到前焦线的距离为；透镜到后焦线的距离为；透镜到最小弥散圆的距离为；为前焦线长度；为后焦线长度；透镜直径为，为Sturm间距。根据图中的关系，焦线长度，分别为:

2．散光光束中各参数的计算透镜到前焦线的距离为；透镜到78焦线的位置及可据及求出

由此可得镜片至最小弥散圆的距离：

该距离以屈光度的形式表示为：

最小弥散圆的直径为：

焦线的位置及可据及79一散光透镜，直径，求透镜前的物点发出的光经透镜后所成焦线及最小弥散圆的位置及大小。

解：已知，，（轴向），（轴向），所以：垂直线

水平线

直径

一散光透镜，直径80第五节环曲面和环曲面透镜

1、环曲面

“环曲面”一词来自拉丁文“Torus”，指古希腊建筑中石柱下的环形石。环曲面有互相垂直的两个主要的曲率半径，形成两个主要的曲线弧。其中曲率小的圆弧称作基弧(basecurve)，基弧的曲率半径以表示。曲率大的圆弧称作正交弧(crosscurve)，正交弧的曲率半径以表示。

第五节环曲面和环曲面透镜1、环曲面81矫正散光的透镜课件822、环曲面透镜

透镜的两个表面一面是环曲面，另一面是球面为环曲面透镜(toriclens)。与球柱面透镜相比，环曲面透镜无论在外观上还是在成像质量上都优于球柱面透镜。

2、环曲面透镜83矫正散光的透镜课件84将环曲面制作在透镜的外表面（内表面为球面），称为外环曲面，通常眼镜行业称之为外散镜片。

将环曲面制作在透镜的内表面（外表面为球面），称为内环曲面，通常眼镜行业称之为内散镜片。

因为内环曲面透镜的外表面是球面，所以外观比外环曲面镜片好看，更主要的是内环曲面透镜在消像差及提高成像质量等方面都明显优于外环曲面。

将环曲面制作在透镜的外表面（内表面为球面），称为外环曲面，通85第六节散光透镜的轴向

1、标准标记法

现在国际上普遍采用的是标准标记法，又称TABO标记法

标准标记法中规定：由水平方向起，从被检者的左向右逆时针旋转为～。在这样的规定下，垂直子午线称为子午线，水平子午线习惯称为子午线，度数符号“°”可以省略，这样可以避免使误认为是100。

第六节散光透镜的轴向1、标准标记法标准标记法中规定：86矫正散光的透镜课件872、旧的轴位标记法

前采用的轴位标记法中主要是鼻侧标记法，即以鼻侧为内，以颞侧为外，两眼均是从内向外旋转180这种表示方法，右眼镜片的轴位表示与标准标记法相同，只是左眼轴位表示与标准标记法差902、旧的轴位标记法883、环曲面透镜的识别

(1)环曲面透镜与球面透镜的区别：

球面透镜的前后表面都是球面，所以透镜的边缘厚度是一样的。环曲面透镜则与球面透镜不同，由于环曲面有两个互相垂直且不同的曲率，这就使得环曲面镜的边缘厚度不同。曲率大的方向厚度薄，相反曲率小的方向厚度厚。

(2)内环曲面透镜与外环曲面透镜的区别：

3、环曲面透镜的识别89第七节环曲面透镜的片形转换和识别

将一已知的散光处方（球柱面镜形式的一种）转换成所要求的片形，按要求的基弧转换片形的步骤如下：

①

将原处方中柱面符号转变为与基弧相同的符号；②

将转换后处方中的球面减去基弧，其差值为环曲面镜片的球弧值；③

基弧为要求的值，轴向与转换后处方中柱面的轴垂直；④

转换后处方中的柱面加基弧为正交弧，其轴向与基弧轴向垂直；写出环曲面镜片片形。

第七节环曲面透镜的片形转换和识别将一已知的散光处方（球90书写环曲面透镜的片形时，通常把正面屈光力写在横线上方，背面屈光力写在下方；基弧写在前面，正交弧写在后面。因此，环曲面透镜可写成：

或

如基弧已知，则：正交弧=基弧＋柱面成分球弧=球面成分

－

基弧

若要从环面形式转回原球柱形处方，则：球面=基弧＋球弧柱面=正交弧

－

基弧（轴与正交弧相同）

书写环曲面透镜的片形时，通常把正面屈光力写在横线上方，背面屈91将处方转换为基弧的环曲面形式。

有时因需要，会要求以一定的球弧设计环曲面镜片的片形，方法如下：设透镜的球面屈光力，柱面屈光力，处方为：

()

①

将原处方加减一球面值

②

将另一球面分解为两正交柱面，轴分别为及；

③

将柱面合并；

④

写出处方。

将处方转换为基弧92第八节斜交柱镜

第八节斜交柱镜93(一)斜交柱镜1、柱镜中间方向的屈光力式中θ为该方向与柱镜轴之夹角，F为柱镜的最大屈光力

因为，所以，若为与最大屈光力（F）方向夹角时，

(一)斜交柱镜1、柱镜中间方向的屈光力式中θ为该方向942、球柱面镜中间方向的屈光力

散光透镜可以用球部与柱部的和来表示。

2、球柱面镜中间方向的屈光力95该公式是柱面轴向为的一个特例，若散光透镜的柱面轴为任意方向的时，则方向的屈光力为：

式中S为透镜的球面值，C为透镜柱面值，为柱面轴向，为任意方向

该公式是柱面轴向为的一个特例，若散光透镜的柱面轴为任意方向的96

透镜在方向的屈光力为多少？

97(二)斜交柱镜的叠加

1.公式法

将两个柱镜片，和，合成为一新的镜片，新镜片由球部S，柱部C与轴组成，即()

(二)斜交柱镜的叠加1.公式法将两个柱镜片，98矫正散光的透镜课件99两个柱镜片中间方向的屈光力分别表示为：

两柱镜片叠加为一新镜片:公式4-11

两个柱镜片中间方向的屈光力分别表示为：两柱镜片叠加为一新镜100其中

从前面的矢量关系可以看出，其中

将公式4-13，4-14代回公式4-12中：

公式4-15

其中从前面的矢量关系可以看出，其中将公式4-13，4-1101将公式4-15代入公式4-11，则：

故叠加后的镜片表示为：

根据公式4-13，4-14可得到

将公式4-15代入公式4-11，则：故叠加后的镜片表示为：102公式4-16，4-17