压杆的稳定性问题

关于压杆的稳定性问题第一页，共三十七页，2022年，8月28日10.1压杆稳定的基本概念

压杆在轴向压力F作用下处于直线的平衡状态。1.稳定平衡

当干扰力撤消后杆件仍能恢复到原来的直线平衡状态

2.不稳定平衡

3.临界力

使压杆直线形式的平衡由稳定转变为不稳定时的轴向压力称为临界力，用Fcr表示。

10.1.1平衡状态的稳定性和不稳定性第二页，共三十七页，2022年，8月28日(1)狭长矩形截面梁在横向力超过一定数值时，会突然发生侧向弯曲和扭转。

其他形式的工程构件的失稳问题

(2)承受外压的薄壁圆筒当外压达到一定数值时，会突然失稳变成椭圆形。第三页，共三十七页，2022年，8月28日失稳

不稳定的平衡物体在任意微小的外界干扰下的变化或破坏过程。稳定性

平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。稳定平衡随遇平衡不稳定平衡（临界状态）小球平衡的三种状态第十章压杆稳定第四页，共三十七页，2022年，8月28日10.1.2临界状态与临界荷载

受压杆满足强度要求，即不产生破坏，安全短粗杆产生突然的横向弯曲而丧失承载能力长细杆失去稳定性最大工作应力小于材料的极限应力建立不同的准则，即稳定性条件，确保压杆不失稳工作最大值

<

临界值第五页，共三十七页，2022年，8月28日10.1.3三种类型压杆的不同临界状态第六页，共三十七页，2022年，8月28日第七页，共三十七页，2022年，8月28日10.2

细长杆的临界载荷—欧拉临界力mmFM(x)=-FwxyBmxmwBxylF临界力概念：干扰力去除后，杆保持微弯状态。从挠曲线入手，求临界力。10.2.1两端铰支的细长压杆第八页，共三十七页，2022年，8月28日该截面的弯矩杆的挠曲线近似微分方程压杆任一x截面沿y

方向的位移（a)令

(b)式的通解为（A、B为积分常数）(b)得

mmxyBFM(x)=-Fw第九页，共三十七页，2022年，8月28日边界条件

由公式(c)讨论：

若

mxmwBxylF则必须第十页，共三十七页，2022年，8月28日

这就是两端铰支等截面细长受压直杆临界力的计算公式（欧拉公式）。令n=1,得当时，挠曲线方程为挠曲线为半波正弦曲线.mxmwBxylF第十一页，共三十七页，2022年，8月28日10.2.2其它刚性支承细长压杆临界载荷的通用公式1.细长压杆的形式两端铰支一端自由一端固定一端固定一端铰支两端固定第十二页，共三十七页，2022年，8月28日2.其它支座条件下的欧拉公式lFcr2lFcrl0.3l0.7lFcrl—长度因数—相当长度欧拉公式lFcrl/4l/4l/2l第十三页，共三十七页，2022年，8月28日两端铰支一端固定，另一端铰支两端固定一端固定，另一端自由表10-1各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式

支承情况临界力的欧拉公式长度因数

=1=0.7=0.5=2欧拉公式的统一形式（为压杆的长度因数）第十四页，共三十七页，2022年，8月28日5.讨论

为长度因数

l

为相当长度（1）相当长度l

的物理意义

压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长度l.

l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度.第十五页，共三十七页，2022年，8月28日zyx取Iy，Iz中小的一个计算临界力.

若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力.I为其相应中性轴的惯性矩.

即分别用Iy，Iz

计算出两个临界压力.然后取小的一个作为压杆的临界压力.（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩I

若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则I应取最小的形心主惯性矩.第十六页，共三十七页，2022年，8月28日10.3.1长细比的定义域概念——临界应力的欧拉公式——压杆的柔度（长细比）——惯性半径压杆容易失稳柔度是影响压杆承载能力的综合指标。10-3长细比的概念三类不同压杆的判断第十七页，共三十七页，2022年，8月28日10.3.2三类不同压杆的区分压杆的分类（1）大柔度杆（2）中柔度杆（3）小柔度杆第十八页，共三十七页，2022年，8月28日式中，为压杆横截面对中性轴的惯性半径。

10.3.3三类压杆的临界应力公式

临界力Fcr除以横截面面积A，即得压杆的临界应力

引入符号

λ称为压杆的柔度欧拉公式的另一形式。

第十九页，共三十七页，2022年，8月28日

只有在临界应力小于比例极限的情况下，压杆的失稳属于弹性失稳，欧拉公式才能成立。

欧拉公式的适用范围为

或写成

令通常将λ≥λp的压杆称为大柔度杆或细长杆。

第二十页，共三十七页，2022年，8月28日

λp为能够应用欧拉公式的压杆柔度的低限值，它取决于材料的力学性能。

例如对于Q235钢，E=206GPa，σp=200MPa，可得因而用Q235钢制成的压杆，只有当柔度λ≥100时才能应用欧拉公式计算临界应力。

第二十一页，共三十七页，2022年，8月28日小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图。slPl细长压杆。——直线型经验公式中柔度杆粗短杆大柔度杆10.3.4临界应力总图第二十二页，共三十七页，2022年，8月28日细长杆—发生弹性屈曲(p)中长杆—发生弹塑性屈曲(s<p)粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服(<s)

粗短杆中长杆细长杆第二十三页，共三十七页，2022年，8月28日（1）确定临界载荷

（2）稳定性安全校核（3）根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷。10.4

压杆的稳定性计算10.4.1压杆的稳定性计算内容第二十四页，共三十七页，2022年，8月28日

压杆的临界压力与实际工作压力之比，称为工作安全系数。

10.4.2安全因数法与稳定安全条件1.工作安全系数2.稳定安全系数

nst

3.稳定条件第二十五页，共三十七页，2022年，8月28日（1）计算最大的柔度系数max；

（2）根据max选择公式计算临界应力；（3）根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷。10.4.3压杆的稳定性计算过程第二十六页，共三十七页，2022年，8月28日10.5压杆稳定性计算示例例10−1图所示托架中的杆CD为圆截面杆，材料为Q235钢，直径d=80mm，F=40kN。若规定的稳定安全系数nst=6，试校核托架的稳定性。

解考虑杆AB的平衡

杆CD截面的惯性半径

杆CD的柔度

第二十七页，共三十七页，2022年，8月28日杆CD属于大柔度杆，可用欧拉公式计算临界力

其工作安全系数

托架满足稳定性要求。

第二十八页，共三十七页，2022年，8月28日

例题10-2千斤顶如图，已知丝杠长度l=375mm，有效直径

d=45mm，材料为45号钢，所受最大轴向压力Fmax=80kN，规定的稳定安全系数为nst=4.试校核丝杠的稳定性。丝杠可简化为一端固定、一端自由解：=2截面为圆形属于中柔度杆1）计算丝杠柔度长度因数查表得

丝杠柔度第二十九页，共三十七页，2022年，8月28日丝杠的临界应力丝杠的工作安全因数2）计算临界力用直线公式，查表得：a=461MPab=2.568MPa丝杠的临界力3）稳定性校核

故丝杠稳定性满足要求。第三十页，共三十七页，2022年，8月28日例题10-3磨床液压装置的活塞杆如图，已知液压缸内径D=65mm，油压p=1.2MPa.活塞杆长度l=1250mm，材料为35钢，s

=220MPa，E=210GPa，nst

=6。试确定活塞杆的直径。第三十一页，共三十七页，2022年，8月28日解：活塞杆承受的轴向压力为活塞杆承受的临界压力为把活塞的两端简化为铰支座。pD活塞杆活塞d第三十二页，共三十七页，2022年，8月28日用试算法求直径（1）先由欧拉公式求直径求得d=24.6mm.取d=25mm（2）用求得直径计算活塞杆柔度由于

>P，所以前面用欧拉公式进行试算是正确的。第三十三页，共三十七页，2022年，8月28日(1)选用优质钢材并不能提高细长压杆的稳定性。

10.6结论与讨论10.6.1

稳定性计算的重要性(2)可以提高中、小柔度杆的临界力。

10.6.2影响承载能力的因素压杆约束愈强，其稳定性愈好。

第三十四页，共三十七页，2022年，8月28日1、选择合理的截面形状：2、改变压杆的约束形式：约束越牢固3、选择合理的材料：但是对于各种钢材来讲，弹性模量的数值相差