专题十五与三角形中内、外角有关计算

专题(十五)与三角形中内、外角的有关计算北师版三角形内角和定理及其推论为我们提供了角与角之间的等量关系，角与角之间的不等关系．三角形的外角性质反映的是外角与它不相邻的内角之间的关系，而外角与和它相邻的内角是互补关系．类型、利用三角形内角和定理及推论求角度1.如图，∠B＋∠C＋∠D＋∠E－∠A等于()A．360°B．300°C．180°D．240°C2.如图，在△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2等于()A．360°B．250°C．180°D．140°B3.如图，在△ABC中，∠A＝96°，延长BC到点D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为()A．19.2°B．8°C．6°D．3°D4.将一幅直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D.已知∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC，∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF＝_______.25°5.如图，∠A＝50°，∠B＝30°，∠BDC＝110°，求∠C的度数．解：延长CD交AB于点E，在△BDE中，∠BDC＝∠B＋∠BED，∴∠BED＝∠BCD－∠B＝80°，在△ACE中，∠BED＝∠A＋∠C，∴∠C＝∠BED－∠A＝30°6.如图①，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图①的图形称之为“8字形”，试解答下列问题：(1)在图①中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系______________________________；(2)在图②中，若∠D＝40°，∠B＝36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N，利用(1)的结论，试求∠P的度数；(3)如果图②中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系？并说明理由．∠A＋∠D＝∠C＋∠B解：(2)如图，由(1)可知，∠1＋∠D＝∠P＋∠3①，∠4＋∠B＝∠2＋∠P②，∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由①＋②得：∠1＋∠D＋∠4＋∠B＝∠P＋∠3＋∠2＋∠P，即2∠P＝∠D＋∠B，又∵∠D＝40°，∠B＝36°，∴∠P＝38°(3)∠P与∠D，∠B之间存在的关系为2∠P＝∠D＋∠B.证法同(2)7.如图，在△ABC中，∠BAC＝50°.(1)若点I是∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，则∠BIC＝_______°；(2)若点D是∠ABC，∠ACB的外角平分线的交点，则∠BDC＝______°；(3)若点E是∠ABC，∠ACG的平分线的交点，探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由；(4)在(3)的条件下，若CE∥AB，求∠ACB的度数．115658.如图，将△ABC纸片沿DE折叠成图①，此时点A落在四边形BCED内部，则∠A与∠1，∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由．(1)若折成图②或图③，即点A落在BD或CE上时，分别写出∠A与∠2；∠A与∠1之间的关系；(2)若折成图④，写出∠A与∠1，∠2之间的关系式；(3)若折成图⑤，写出∠A与∠1，∠2之间的关系式．解：延长BD，CE，交于点P，则△BCP即为折叠前的三角形，由折叠的性质知：∠DAE＝∠DPE.在图①中，连接AP，由三角形的外角性质知：∠1＝∠DAP＋∠DPA，∠2＝∠EAP＋∠EPA；则∠1＋∠2＝∠DAE＋∠DPE＝2∠DAE，即∠1＋∠2＝2∠A.(1)图②中，∠2＝2∠A；图③中，∠1＝2∠A.在图②中，由三角形的外角性质知：∠2＝∠DPE＋∠DAE＝2∠DAE，即∠2＝2∠A.在图③中，∠1＝2∠A，证法同图②(2)图④中，∠2－∠1＝2∠A.在图④中，由三角形