初中数学人教九年级上册第二十四章 圆 圆周角-PPT

旧知回放:1.圆心角的定义?相等.顶点在圆心的角2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系?3、如图，⊙O中，∠AOB=100º，则AB弧的度数为______，AnB弧的度数为______。AOB

n100º260º4、判断题：

(1)相等的圆心角所对的弧相等。

(2)等弦对等弧。

(3)等弧对等弦。

(4)长度相等的两条弧是等弧。

(5)平分弦的直径垂直于弦。√××××一个周角是360º.把圆周平均分成360份，每一份叫做1°的弧.

1°的弧是指任何一个圆来说的,跟圆的半径的大小无关.

如图,∠AOB=90º,所以AB是90º的弧,A´B´也是90º.都是周角的四分之一.⌒⌒但AB并不等于A´B´,因为它们所在圆的半径不等.所以相等的弧和度数相等的弧意义是不同的.⌒⌒旧知回放:

旧知回放:圆心角的定义？oAB顶点在圆心的角叫圆心角。oABC思考：你能仿照圆心角的定义，给下图中象∠ACB这样的角下个定义吗？顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.问题探讨：判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。PPPP不是是不是不是顶点不在圆上。顶点在圆上，两边和圆相交。两边不和圆相交。有一边和圆不相交。有何发现？探究活动1:画一画画一个圆，在圆中作出同一条弧对的圆周角和圆心角。同一条弧对的圆心角只有1个，对的圆周角有无数个。OCB探究活动2：量一量同一条弧所对的圆周角∠BAC与圆心角∠BOC有什么大小关系？量一量。发现：

同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。CABOABCOCOAB探究活动3：证一证如图，在圆O中，求证∠BAC=∠BOCCABOABCOCOAB

圆心在圆周角一边上圆心在圆周角内圆心在圆周角外

同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。验证发现：分析论证：

圆周角和圆心角的关系1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角的一条边上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，●OABC∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.即∠ABC=∠AOC.你能写出这个命题吗?同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

分析论证圆周角和圆心角的关系如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?2.当圆心(O)在圆周角的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?提示你:能否转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:●O∴∠ABC=∠AOC.你能写出这个命题吗?同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.ABCD∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,●OABC分析论证圆周角和圆心角的关系3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?老师提示:能否也转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:●O∴∠ABC=∠AOC.你能写出这个命题吗?同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.D∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,ABC●OABC通过3个分析论证如图，在圆O中，求证∠BAC=∠BOCCABOABCOCOAB

圆心在圆周角一边上圆心在圆周角内圆心在圆周角外结论：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

圆周角定理：ABCO∵∠ACB和∠AOB都对应AB⌒几何语言表示：∴∠ACB=∠AOB一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

圆周角定理：思考：圆周角定理的证明过程中，用到了什么数学方法？分类讨论的方法知识扩展理解：

在同圆或等圆中，同弧或等弧，所对的圆周角相等，都等于该弧或等弧所对的圆心角的一半；

反之，相等的圆周角所对的弧也相等。

∠ACB=

；

∠ADB=

；∠

=∠.

如图：∵有ACBADB推论1:同弧或等弧所对的圆周角都相等思考？如图，线段AB是⊙O的直径，

点C是⊙O上任意一点（除点A、B），

那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.

想想看，∠ACB会是怎么样的角？

∵OA＝OB＝OC，

∴△AOC、△BOC都是等腰三角形，

∴∠OAC＝∠OCA，

∠OBC＝∠OCB.又∵∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，∴

∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝＝90°.

如图：推论2:半圆或直径所对的圆周角都是直角=90°反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径。因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B）∠ACB总等于90°，如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径

∠AOB=2∠BOC.∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？.证明：∠ACB=∠AOB12AOBC∠ACB=2∠BAC新知应用：∠AOB=2∠BOC∠BAC=∠BOC21

规律:在解决圆周角和圆心角的计算或证明问题时,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理。分析:AB所对圆周角是∠ACB,圆心角是∠AOB.则∠ACB=∠AOB同理：∠BAC=∠BOC⌒21___21___例2:已知：如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,求证：⌒⌒BD=DE证明：连结AD.∵AB是圆的直径，点D在圆上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，∴⌒⌒BD=DE（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。ABCDE（推论2）如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？ABCD12345678∠1=∠4∠5=∠8∠2=∠7∠3=∠6方法点拔：由同弧来找相等的圆周角

随堂练习在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？?思考在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等．因为，在同圆或等圆中，如果圆周角相等，那么它所对的圆心角也相等，因此它所对的弧也相等．·CBOAFGE（（方法归纳：归纳：在同圆或等圆中,如果

①两个圆心角,

②两个圆周角③两条弧,

④

两条弦,

⑤两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；用于找相等的角同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。用于找相等的弧半圆（或直径）所对的圆周角是直角；用于判断某个圆周角是否是直角90°的圆周角所对