初二作辅助线题型

作辅助线按定义添加:如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍按基本图形添加:.平行线:当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的第三条直线 （便有了同位角内错角同旁内角等 ,可运用平行线的判定和性质 ）.线段:相等--结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理相加减--结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法.三角形:中线--有底边中点连接作中线 ,有腰中点连接作中位线 （则有中位线定理,反过来知道中位线可判断平行及中点）,直角三角形有斜边中点连接作中线 （等于斜边一半 ）.常利用中位线角平分线--常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题.平行四边形 （包括矩形,正方形,菱形）:平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：①连对角线或平移对角线：②过顶点作对边的垂线构造直角三角形③连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线④过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等 ..梯形:梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：①在梯形内部平移一腰。②梯形内平移两腰③延长两腰④过梯形上底的两端点向下底作高⑤平移对角线⑥连接梯形一顶点及一腰的中点⑦过一腰的中点作另一腰的平行线⑧作中位线练习

ABCft两点,求证:AB+AOBD.已知如图1-1:口ABCft两点,求证:AB+AOBD+D曰CE..如图2,AABC中，AD是中线，延长AD至ijE,使DE=ADDF是ADCE的中线。已知AABC的面积为2,求：ACDF的面积。AD的中点,.如图3,在四边形ABC师，AB=CDE、F分别是AD的中点,BACD的延长线分别交EF的延长线GH。求证：/BGEWCHE.如图6,已知梯形ABCM,AB图1-2,AB图2-4,/AOPMBOP=15,PCCD的长.DC8.如图，在梯形ABCM,AD知：梯形ABCD中，AD图所示，四边形ABC师，AD不平行于BGAC=BQAD=BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.DC11.在等腰梯形ABC前，AD梯形ABCD^,AD//BQ/BAD=90,E是DC上的中点，连接AE和BE,求/AEB=2CBE13.如图6,在直角梯形ABCW,AD1长补短）证明:（法一）将DE两边延长分别交ARAC于MN,BEFC在△AMN^,Al\^AN>MdD日NE;(1)在△BDK,MB^MD>BR(2)在△CEN=^,CNrNE>CE(3)由(1)+(2)+(3)得：AMMrANTMB^MDkCWNE>MDHD曰N曰BACEAB+AOBD+D日EC（法二：）如图1-2,延长BD交AC于F,延长CE交BF于G在z\AB可口△GFCffiz\GD即有：AB+AF>BD+DG^GF（三角形两边之和大于第三边）（1）G斗FOG日CE（同上） （2）DUGE>DE（同上） （3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+G斗FODGrGE>BADG^GRG日C曰DEAB+AOBD+D曰EC2..（中线分面积为相等的2半）解：因为A渥AABC勺中线，所J.£以S>AACD=」S>AABC=-X2=1,又因C渥AACE勺中线，故Sacde=S“c户1,J.£ £因DF是ACDE勺中线，所以Sacdf=2Sacde=^X1=N。・•.ACDF的面积为-。2.（利用中位线）证明：连结BR并取BD的中点为M连结MEMF.ME是ABCD的中位线，mE/，C口/MEFhCHE=2.MF是AABD的中位线，M或;AB,，/MFEhBGE,.AB=CDME=MF，/MEFWMFE从而/BGEWCHE.（直角三角形斜边中线）证明：取AB的中点E,连结DECE,则DECE分另为RtAABDRtAABC斜边AB上的中线,故DE=CE=AB,因此/CDENDCE2■「AB角平分线截取）在此题中可在长线段BC上截取BF=AB再证明CF=CD从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。.（角平分线上的点到角两边距离）C

BEDC.（平移一腰）解：过点D作DE//BC交AB于点E.BEDC又AB/ZCQ所以四边形BCD里平行四边形.所以DE=BG=17,CD=BE.在Rtz\DAE4\由勾股定理，得AE2=DE—AD,即AE=172-152=64.所以AE=8.所以B&AB-A&16—8=8.即CD=8..（平移2月^）解：过点E分别作ABCD勺平行线，交BC于点GH,可得/EGI+/EHG=B+/C=90则△EGK直角三角形因为E、F分别是ADBC的中点，容易证得F是GH的中点1 1所以EFGH(BCBGCH)2 2.（平移对角线）解：如图，作DE//AG交BC的延长线于E点..「AD/ZBC..四边形ACE诞平行四边形BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5,DE=AC=4•.在ADBE中，BD=3DE=4BE=5./BDE=90.作DHLBC于作DHLBC于H,贝UDHBDEDBE125弓125一5弓125一52示.E/EC(ADBC)DHS^形ABCD2.(延长腰)四边形ABC虚等腰梯形.证明：延长ADBC相交于点E,如图所•.AC=BD,AD=BGAB=BA,「.△DABCBA.「./DAB=/CBA;EA=EB.又AD=BQ.•.DE=CEE,/EDC=/ECD.而/E+/EA打/EBA=/E+/EDGD=180,・•./EDC=/EAB..DC//AB.又AD不平彳f于BG•二四边形ABC堡等腰梯形..（作高）解：作AE±BC于E,DF±BC于F,又「AD//BG「•四边形AEF虚矩形，EF=AD=3cm1BEFC—(BCEF)1cm;AB=DC 2..在Rt^ABE中，/B=60,BE=1cm.AB=2BE=2cmAE、3BE3cm0 (ADBC)AE…2S梯形abcd 43cm2.（中点延长）解：分别延长AE与BG并交于F点「/BAD=90且AD//BC./FBA=180—/BAD=90又「AD//BC「•/DAEhF（两直线平行内错角相等）/AEDWFEC（对顶角相等）DE=EC（E点是CDW中点）•.△AD国AFCE（AASAE=FE在^ABF中/FBA=90且AE=FE•.BE=FE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）...在△FEB中/EBF之FEB/AEBhEBF吆FEB=2/CBE.解：连结BD,由AD值定值问题（一）最值：在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数） 的最大值或最小值问题，称为最值问题。最值问题的解决方法通常有两种 :（在此介绍符合当前所学过知识的一种解法）应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④特殊位置与极端位置法----特殊位置与极端位置是指：（1）中点处、垂直位置关系等；（2）端点处、临界位置等.⑤数形结合法：一次函数，反比例函数（二）定值：几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明..如图，已知AB=1QP是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APCffi等边4BPD贝UCDfe度的燃.如图，正方形ABCD勺边长为1,点P为边BC上/^B点或C点重合），分别过RC、D作射线AP的垂线：毒鬼将刎镇BB'、C'、D',则BB+CC+DD的最大值为，最小值为..如图，圆柱的轴截面ABC星边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是（）A.212B,2142C,412D,2.42.如图、已知矩形ABCDR,P户分别是DCBC上的点，E,F分别是ARRP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减小C.线段EF的长不改变D.线段EF的长不能确定.（数形结合一次函数）某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少.一名工人一天能生产某种玩具3至5个，若每天须生产这种玩具00个，那么须招聘工人多少名（最少多少最多多少）（三）最短路线问题在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线.像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法.、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P,使PA+PEft小.如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报.在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来..长方体ABC>ABCD'中，AB=4AA=2',AD=1有一只小虫从顶点D'出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短.已知定点A(1,2),B(3,4)，在x轴的点巳使点P至UA、B两点距离之和最短，求P点坐标。.三角形ABC的边长为2,M是AB边上的中点，P是边BC上任意一点，PA+PM勺最大值和最小值分别记为S和t则S2t2= 答案1.思路点拨如图，作CC，AB于C,DD，AB于D',DOLCC,cD=d(Q+c(Q,DQ』AB一常数，当CQ1小，CM小，本伤J也可设AP=x,则2PB=I0X,从代数角度探求CD的最小值.嫌皿脚端依m瞅朋叫然牖叫肺把圆柱侧面展开平行且等于1/2AR解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线.作点A关于河岸的对称点A',即作AA'垂直于河岸，与河岸交于点C,且使AC=AC,连接AB交河岸于一点P,这时P点就是饮马的最好位置，连接PA,此时PLPB就是侦察员应选择的最短路线.证明：设河岸上还有异于P点的另一点P',连接P'A,P'B,P'A'.•・P'A+PB=P'A+P'B>AB=PA+PB=PA+PB而这里不等式PA+P'B>AB成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以PA+P股最短路线.此例利用对称性把折线AP也成了易求的另一条最短路线即直线段AB,所以这种方法也叫做化直法.解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含 D'、B两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的

平面上D'B间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从 D'点出发，到B点共有六条路线供选择.①从D'点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在一个平面上，这时在这个平面上D'、B间的最短路线距离就是连接D'、B两点的直线段，它是直角三角形ABD的斜边，根据勾股定理，DB2=D'A2+AB=(1+2)2+42=25,..D'B=5②容易知道，从D'出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5.B'由此例可以推广到般性的结论：想求相邻B'由此例可以推广到般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线.这种方法叫做旋转法，翻折法..解:如图2作A(1,2)关于x轴的对称点A(1,-2)则过点A(1,-2)、B(3,4)两点的直线解析为：y3x5,该直线与x轴交点坐标为(5,0)即为所求P点坐标。.分析：本题比上例更有一定的难度，S还好求，因为PA<AQPMCCM所以PAPMCACM2J3,当点P为顶点C时，等号成立，所以S2<3。关键在于T,以BC为边作正三角形ABC,如图5,作M关于BC所在的直线对称点M,连结PM、AM,因为ABCCBA,所以M在BA上，且BMBM1,PM=PM,PA+PM=PA+M>AM,连结CM,则ACM900,所以AM VAC2CM2443”所以t77。所以S2t2(273)2(<7)24v3.解:设招聘甲种工种的工人为x人，则乙种工种的工人为(150x)人，由题意得：150x2x所以0x50设所招聘的工人共需付月工资y元，则有：y600x1000(150x)400x150000(0x50)因为y随x的增大而减小，所以当x50时，ymin130000(元).分析：这是一道反比例函数模型的应用题，这里400是常量。设每人每天生产x个玩具，需要工人y名。则有y400。(3xx5,且X为整数)•••当X0时，y随X的增大而减小，.•.竺0y”即80y13315 3 3••.y为正整数，y取80至134。即须招聘工人为80至134人。四.动态问题分类：题型一点动型，线动型，面动型运动形式---平移,旋转,翻折,滚动.单动点型：解决此类动点几何问题常常用的是“类比发现法”，也就是通过对两个或几个相类似的数学研究对象的异同，进行观察和比较，从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手，去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质，从而获得相关结论。类比发现法大致可遵循如下步骤：(1)根据已知条件，先从动态的角度去分析观察可能出现的情况；(2)结合某一相应图形，以静制动，运用所学知识(常见的有三角形全等、三角形相似等)得出相关结论。(3)类比猜想出其他情况中的图形所具有的性质。.如图，在△ABCK点。是AC边上的一个动点，过点O作直线MN//BC设MN&/BCA勺角平分线于点E,交/BCA勺外角平分线于点F.(1)求证：E3FO(2)当点。运动到何处时，四边形AEC匿矩形并证明你的结论.

.双动点型:.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AD3,DC5,BC10,梯形的高为4.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t（秒）.（1）当MN//AB时，求t的值；（2）试探究：t为何值时，4MNC为等腰三角形..线平移型：.如图20,在平面直角坐标系中，四边形OABO矩形，点B的坐标为（4,3）.平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC勺两边分别交于点MN,直线m运动的时间为t（秒）.（1）点A的坐标是,点C的坐标是一⑵当t二秒或秒时，MN2AC; 产2⑶设AOMN勺面积为S,求S与t的函数关系式;cr-以下3种通常利用全等三角形，判断运动方式”以下3种通常利用全等三角形，判断运动方式”装化,确定改变的量和不变的量，根据题意证明A中， 中， ab=1,bc=图20ABAC 、5.线旋转型：已知，如图YabcdGFGF对角线AGB应于。点，将直线A璘点0顺时针旋转，分别交BCADJT点E、F（1）证明;当旗转角为/90°时，四边形ABE恩平行四边形;（2寸金项J退过/中，线段AFWEH、保持相等；（第24题图）.面旋转型（见练习题第一页24）:.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F,连接DF,G为DF中点，连接EG,CG.（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；（2）将图1中BEF绕B点逆时针旋转45,如图2所示，取DF中点G,连接EG,CG,.你在（1）中得到的结论是否发生变化写出你的猜想并加以证明..面翻折型：解决此类问题的关键是找出隐藏的条件（翻折前后的线段相等，角相等）.如图，在直角梯形纸片ABCD中，AB//DC,A90o,CDAD,将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF.连接EF并展开纸片.（1）求证：四边形ADEF是正方形;CD,试说明四边形（2）取线段AF的中点G,连接EG,如果BGCD,试说明四边形GBCE是等腰梯形.

答案.解：(1)证明：・•.C评分BAC, 1 2,又.MNZBC」.13, 「.3 2,/.EOCO.同理，FOCO./.EOFO.⑵当点函动到AC勺中点时，四边形AECF矩形.•••eofo,点OAC勺中点..•・四边形AEC是平行四边形.又「1 2, 4 5/.2 4；180 90,即ECF90四边形AECF是矩形.2.［题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间］,就本题而言，M,N是在动，意味着BM,MCZ及DN,NClB是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BCfc度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以MNMNMNMNtDDE//ABBCEABED