高中数学圆锥曲线知识点总结

高中数学知识点大全一圆锥曲线、考点〔限考〕概要:1、椭圆:〔1〕轨迹定义:两定点是焦点，定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆,两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为：何莎两=3XF皆鮎耳迟为定点｝；定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数 e,那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数 e是离心率。用集合表示为:7 <1F为定点，丛为动点到定直线的距离〔2〕标准方程和性质:标苗右程召+話=1「十 N_Ib 口t◎A右AQ)fy#一亠一r1/ y( I.也、-尸i -5 毋J •■召L>、A对療1主空刖柿團胞=刘城屮心=原虽：如称轴*坐栋轴—B三工三孕*—b工，V3—口三¥三空*—再三占吗丄一亠口〕.A马〔0・-占〕・七(5—*吗92」耳乩0,^(£>,0)c.OJ牟〔0F「码2尹、a、由fc关忝—3s ,Li> >0=也5a0J|昂為|=2占C&>0>建足巨1斷-2c； £g>0〉"才4L一［空jC0<«?<13t=士—— (. 1卜1jz=±-—(下去卜7F>■j j y| j_口—4 口一凸 〔球關到怯绩旳距离〕0 G f注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。r-cScosBy-bsm8〔3〕参数方程： 〔B为参数〕；3、双曲线：〔1〕轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线,两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为：巩一丹0<2® 血耳为定点〕②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数 e,那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数 e是离心率。*尸|^^=乞raL 定点，d为动点到定直线的距离〉用集合表示为:

〔2〕标准方程和性质:标准方程~5护-丄(a>Q,b>0)，+2=1bafa>0上>01卷1•场V[y 屮ft//九|：亠4 J1 Jfc马y\5Jjf//#A对称性全对和萄特i*寸坡甲心一疫，耳：时柞轴一坐标轴在宦娃丁=土纟x为边畀飽区内&在育绒吉巴齐錮边畀常区域內b顶点摆标4HJ,0h珂皿卫〕J\(Qa)>珂(0*o)持姝点.岛〔6坤,禺〔2〕屍f0〞耳｛g隹專坐标耳NY卫〕，昌〔瑤Q〕Ry,為(S口、3、C关系匕上!=/+!?’i»>0. >0实辅I州吗|=24(4>0)怜屈|=2b(6>0)焦距|/J^|=2c(c>0)篦心潘(?>1).by=±—jtay=士一xb准娃方稈x= —〔左觅右正〕cy=+—｛下罚上讦?c燻養数卫 /■疋h1p厶y= 耳〔焦点看准鏈的距葛〕c c c注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。(封等细収曲護上二直/「门取曲娃当(山>03?CH的蔚曲疑有程冷ai行｝#Wr^z=±-z=±^x(i>0)的蚊曲轴准育理为一一上丁M±l<*>0b氐 七a 4feiIIJebI⑹中坐标铀迭对,隸铿的抽赴幾3/理亍昔对^+^-114、抛物线:〔1〕轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数 p。用集合表示为［尸护=1,F为定点.*为动点到准线的距离，〔2〕标准方程和性质：*=稣疋(/>>0>7^二辺。不(.p>0)H=2py(p>0)^-~2py(p>0>LJ1i.开□方向左上T板卓塑标(0.0)肘称轴X辎右侧，轴庄测T轴上方兔轴陌方离心辜攪物堆上的携乌燦电的距离和它到虐裟的距离之比］«-1襪线方程x=-Z焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致；标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像;、复习点睛:1、平面解析几何的知识结构:城与育IYL占艸式L-1PXC住*Lt卫e找粋'一一呑smii的亞恵一■■「竇働rR«住 i.ffl呦-一Ifil*MBffTEX-轩唯禅图的眾艮.#»驰总■側距齢创住刚比拟i-JHhM3E%声沏m>G珈离蛊方理的■丈瞅点勾同¥创〔E〕比拟«*?的比荻知卜<£_―方氐・几win収曲mm£x,亦ah.nmnK曲U的宣交tig廉哥的・*^v髓静拆恼乂忏旳

方用、几何性務方用、几何性囲2、椭圆各参数间的关系请记熟 六点六线，一个三角形〞，即六点：四个顶点，两个焦点;六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ;三角形：焦点三角形。那么椭圆的各性质〔除切线外〕均可在这个图中找到。3、椭圆形状与e的关系：当et0,cT0,椭圆t圆，直至成为极限位置的圆，那么认为圆是椭圆在e=0时的特例。当eH,c^a椭圆变扁，直至成为极限位置的线段 ，此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。4、利用焦半径公式计算焦点弦长：假设斜率为 k的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB，创可小卜$也仍〕A、B两点的坐标分别为 ，那么弦长这里表达了解析几何设而不求〞的解题思想。5、假设过椭圆左〔或右〕焦点的焦点弦为 AB，那么乂二加+£〔耳1+龙2〕・或|丿国二勿一&佃+X』；；6、结合以下图熟记双曲线的： 四点八线，一个三角形〞即:四点：顶点和焦点；八线:实轴、虚轴、准线、渐进线、焦点弦、垂线PQ。三角形：焦点三角形的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。 由此可知，双曲线的离实轴、虚轴、准线、渐进线、焦点弦、垂线PQ。三角形：焦点三角形的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。8、双曲线an8、双曲线的焦点到渐近线的距离为 bo9、共轭双曲线：以双曲线的实轴为虚轴， 虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三常数 a、b、c中a、b不同〔互换〕c相同，它们共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将 1变为一1。—j——y—1〔灯> 3>■0〕10、 过双曲线「厂 外一点P〔x,y丨的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：〔1〕P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；〔2〕P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；〔3〕P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；〔4〕P为原点时不存在这样的直线；11、结合图形熟记抛物线： 两点两线，一个直角梯形〞，即:两点：顶点和焦点；两线：准线、焦点弦；梯形：直角梯形 ABCD。D(\r、C1F f\1y1=±2戸;r ,2p0?12、 对于抛物线上' * € '的点的坐标可设为I尸丿，以简化计算；13、抛物线'罕―的焦点弦〔过焦点的弦〕为AB,且■'H那么有如下结论：〔1〕R引二丙十乜十尹=辽〕Wa-~P，两心二一?

14、过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线;15、处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法： 即设人屛心凤心旳〕为曲线上不同的两点,“ 14、过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线;15、处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法： 即设人屛心凤心旳〕为曲线上不同的两点,“ 1'11是的中点，那么可得到弦中点与两点间关系:(1)〔2〕tffiS—+—y二1(口 心饱二■!ab aJ33 y双曲线牛一务二1(a>0・£>>0)rJ魅阳二一jah(3)抛物銭h (7?>0 %w勿16、当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，即把直线方程代入曲线方程，消元后，用韦达定理求相关参数〔即设而不求〕；二是点差法，即设出交点坐标，然后把交点坐标代入曲线方程，两式相减后，再求相关参数。在利用点差法时，必须检验条件△>0是否成立。5、圆锥曲线：〔1〕统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集： I 」，其中F为定点，d为点P到定直线的I距离，’’■「’,e为常数，如图。d F〔2〕当0vev1时，点P的轨迹是椭圆；当e>1时，点P的轨迹是双曲线；当e=1时,点P的轨迹是抛物线。〔3〕圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的、固有的性质，不因为位置的改变而改变。①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上i椭圆及双曲线：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；ii椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴为轴对称，关于中心为中心对称;iii抛物线的对称轴是坐标轴，对称中心是原点。〔4〕圆锥曲线的标准方程及解析量〔随坐标改变而变〕以焦点在x轴上的方程为例:

wa1 収脱抛脱 |标師程<a>&>(=1))7'?"11fitA0*4A0)71-2严；>0)(/>>0)顶点时餉.0•Hg(a,Q)切0,—占i,巧*in片■為Ou冯y』，|QCh(左负右正、22中心iW-頁界性\y虫0z0戸&.必，为圆雄曲徒上一点.片.碍分剧为左、右儒点|7^|=j+仇|略卜口爭尸在右支咼“十总曲|略卜P十弧1闻l=p-吒I昭卜4-%〞2坷|/^/r|―