龙岩市重点中学2022-2023学年高一数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．已知圆：与圆：，则两圆的公切线条数为A.1条 B.2条C.3条 D.4条2．在中，若，且，则的形状为A.等边三角形 B.钝角三角形C.锐角三角形 D.等腰直角三角形3．已知条件，条件，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4．对于实数x，“0＜x＜1”是“x＜2”的（）条件A.充要 B.既不充分也不必要C.必要不充分 D.充分不必要5．设，，定义运算“△”和“”如下：，.若正数，，，满足，，则（）A.△，△ B.，C.△， D.，△6．已知角是第四象限角，且满足，则（）A. B.C. D.7．已知集合，，则（）A. B.C. D.8．将的图象向右平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，则A. B.C. D.9．已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（）A.（0，1） B.（-2，1）C.（0，） D.（0，2）10．不等式的解集是（）A B.C.或 D.或11．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，且满足，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.12．某公司位员工的月工资（单位：元）为，，…，，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为A.， B.，C， D.，二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知幂函数的图象过点，则______.14．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________15．已知，则函数的最大值为__________.16．已知函数的部分图像如图所示，则_______________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．求下列各式的值（1）；（2）18．袋子里有6个大小、质地完全相同且带有不同编号的小球，其中有1个红球，2个白球，3个黑球，从中任取2个球.（1）写出样本空间；（2）求取出两球颜色不同的概率；（3）求取出两个球中至多一个黑球的概率.19．筒车是我国古代发哪的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今还在农业生产中得到使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了筒车的工作原理．如图1是一个半径为R（单位：米），有24个盛水筒的筒车，按逆时针方向匀速旋转，转一周需要120秒，为了研究某个盛水筒P离水面高度h（单位，米）与时间t（单位：秒）的变化关系，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy．已知时P的初始位置为点（此时P装满水）.（1）P从出发到开始倒水入槽需要用时40秒，求此刻P距离水面的高度（结果精确到0.1）；（2）记与P相邻的下一个盛水筒为Q，在简车旋转一周的过程中，求P与Q距离水面高度差的最大值（结果精确到0.1）参考数据：，，，20．已知函数，它的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的值域.21．已知关于的函数.（1）若函数是偶函数，求实数的值；（2）当时，对任意，记的最小值为，的最大值为，且，求实数的值.22．已知关于x，y的方程C：（1）当m为何值时，方程C表示圆；（2）在（1）的条件下，若圆C与直线l：相交于M、N两点，且|MN|＝，求m的值.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、D【解析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距判断两圆外离，公切线有4条【详解】圆C1：x2+y2﹣2x＝0化为标准形式是（x﹣1）2+y2＝1，圆心是C1（1，0），半径是r1＝1；圆C2：x2+y2﹣4y+3＝0化为标准形式是x2+（y﹣2）2＝1，圆心是C2（0，2），半径是r2＝1；则|C1C2|r1+r2，∴两圆外离，公切线有4条故选D【点睛】本题考查了两圆的一般方程与位置关系应用问题，是基础题2、D【解析】由条件可得A为直角，结合，可得解.【详解】，=，又，为等腰直角三角形，故选D.【点睛】本题考查了向量数量积表示两个向量的垂直关系，考查了三角形的形状，属于基础题.3、B【解析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断【详解】由，得，即，由，得，即推不出，但能推出，∴p是q的必要不充分条件.故选：B4、D【解析】从充分性和必要性的定义，结合题意，即可容易判断.【详解】若，则一定有，故充分性满足；若，不一定有，例如，满足，但不满足，故必要性不满足；故“0＜x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件.故选：.5、D【解析】根据所给运算，取特殊值检验即可排除ACB，得到答案.【详解】令满足条件，则，可排除A,C；令满足。则，排除B;故选：D6、A【解析】直接利用三角函数的诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可【详解】由，得，即，∵角是第四象限角，∴，∴故选：A7、B【解析】化简集合A，由交集定义直接计算可得结果.【详解】化简可得，又所以.故选：B.8、A【解析】由三角函数图象的平移变换及伸缩变换可得：将的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象向左平移个单位，即可得到的图象，得解【详解】解：将的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍得到，再把所得图象向左平移个单位，得到，故选A【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换及伸缩变换，属于简单题9、A【解析】根据函数的单调性进行求解即可.【详解】因为在定义域上是减函数，所以由，故选：A10、D【解析】将分式不等式移项、通分，再转化为等价一元二次不等式，解得即可；【详解】解：∵，，即，等价于且，解得或，∴所求不等式的解集为或，故选：D.11、D【解析】先作函数和的图象，利用特殊值验证A错误，再结合对数函数的性质及二次函数的对称性，计算判断BCD的正误即可.【详解】作函数和的图象，如图所示：当时，，即，解得，此时，故A错误；结合图象知，，当时，可知是方程，即的二根，故，，端点取不到，故BC错误；当时，，即，故，即，所以，故，即，所以，故D正确.故选：D.【点睛】方法点睛：已知函数有零点个数求参数值(取值范围)或相关问题，常先分离参数，再作图象，将问题转化成函数图象的交点问题，利用数形结合法进行分析即可.12、D【解析】均值为;方差为,故选D.考点：数据样本的均值与方差.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、【解析】结合幂函数定义，采用待定系数法可求得解析式，代入可得结果.【详解】为幂函数，可设，，解得：，，.故答案为：.【点睛】本题考查幂函数解析式和函数值的求解问题，关键是能够明确幂函数的定义，采用待定系数法求解函数解析式，属于基础题.14、24:25【解析】设三角形三边的边长分别为，分别求出阴影部分面积和大正方形面积即可求解.【详解】解：由题意，“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成，其中，设三角形三边的边长分别为，则大正方形的边长为5，所以大正方形的面积，如图，将延长到，则，所以，又到的距离即为到的距离，所以三角形的面积等于三角形的面积，即，所以“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积，所以“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为.故答案为：24:25.15、【解析】换元，，化简得到二次函数，根据二次函数性质得到最值.【详解】设，，则，，故当，即时，函数有最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了指数型函数的最值，意在考查学生的计算能力，换元是解题的关键.16、【解析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.【详解】由题意可得：，当时，，令可得：，据此有：.故答案为：.【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）；（2）.【解析】(1)首先利用公式降幂，然后将写为将化为即可得解；(2)将记为，记为，再用公式展开，然后化简求值.【详解】(1)原式=(2)原式=故答案为：2；-1【点睛】本题考查三角函数诱导公式，二倍角公式，两角和与差的余弦公式，属于基础题.18、（1）答案见解析；（2）；（3）.【解析】（1）将1个红球记为个白球记为个黑球记为，进而列举出所有可能性，进而得到样本空间；（2）由题意，有1红1白，1红1黑，1白1黑，共三大类情况，由（1），列举出所有可能性，进而求出概率；（3）由题意，有1红1白，1红1黑，1白1黑，2白，共四大类情况，由（1），列举出所有可能性，进而求出概率【小问1详解】将1个红球记为个白球记为个黑球记为，则样本空间，共15个样本点.【小问2详解】记A事件为“取出两球颜色不同”，则两球颜色可能是1红1白，1红1黑，1白1黑，则包含11个样本点，所以.【小问3详解】记事件为“取出两个球至多有一个黑球”，则两球颜色可能是1红1白，1红1黑，1白1黑，2白，则包含12个样本点，所以.19、（1）m（2）m【解析】（1）根据题意P从出发到开始倒水入槽用时40秒，可知线段OA按逆时针方向旋转了，由，可求圆的半径，由题意可知以OA为终边的角为，由此即可求出P距离水面的高度；（2）由题意可知P转动的角速度为rad/s，易知P开始转动t秒后距离水面的高度的解析式，设P，Q两个盛水筒分别用点B，C表示，易知，点C相对于点B始终落后rad，求出Q距离水面的高度，可得则P，Q距离水面的高度差，再根据三角函数的性质，即可求出结果.【小问1详解】解：由于筒车转一周需要120秒，所以P从出发到开始倒水入槽的40秒，线段OA按逆时针方向旋转了，因为A点坐标为，得，以OA为终边的角为，所以P距离水面的高度m【小问2详解】解：由于筒车转一周需要120秒，可知P转动的角速度为rad/s，又以OA为终边的角为，则P开始转动t秒后距离水面的高度，如图，P，Q两个盛水筒分别用点B，C表示，则，点C相对于点B始终落后rad，此时Q距离水面的高度则P，Q距离水面的高度差，利用，可得当或，即或时，最大值为所以，筒车旋转一周的过程中，P与Q距离水面高度差的最大值约为m20、(1);(2).【解析】（1）依题意，则，将点的坐标代入函数的解析式可得，故，函数解析式为.（2）由题意可得，结合三角函数的性质可得函数的值域为.试题解析：（1）依题意，，故.将点的坐标代入函数的解析式可得，则，，故，故函数解析式为.（2）当时，，则，，所以函数的值域为.点睛：求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[a，b]上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式第二步：由x的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，再确定sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的取值范围第三步：求出所求函数的值域(或最值)21、(1)(2)【解析】（1）利用偶函数定义求出实数的值；（2）函数在上单调递减，明确函数的最值，得到实数的方程，解出实数的值.试题解析：（1）因为函数是偶函数，所以，即，所以.（2）当时，函数在上