动力气象学总复习概要

V=ui+vjh若令：]口=(Z+穽)为二维的拉普拉算子hox2dy2J(u,v)=OuOv-°vOu为Jacobi算符OxOyOxOy垂直散度方程为OV音)(3OV音)(3a)w0zP22J(u,v)+f匚一类似p类似p坐标系下的垂直)散度方程为：0801-Vhf-82088-®0801-Vhf-82088-®-V2①h0ph+2J(u,v)+f匚一(kxV)申fh□h-V®hOV4)

0p(3b)0801-Vh[Jh810-1110-ii083-0p10-120VVh富石V2①+f匚—h10-910-910-1010-11—*10-1010-10u卩(3c)散度方程(3c)右端各项分别为：散度的平流项；散度的铅直输送项；水平风速的铅直切变项；散度平方项；变形项；等压面的坡度改变项；最后两项为旋转效应项。散度方程的零级近似为：TOC\o"1-5"\h\z0=-V2①+忙(4)h式是地转平衡关系的方程，为地转风涡度方程。散度方程的一级近似为：82-2J(u,v)=-V2①+化-u卩(5)h式也称为平衡方程，平衡方程是准定常，无辐散(8=0)，准水平(3=0)，忽略非线性变化项，得到线性平衡方程：V^O+fC-uP=0(5a)h

作绝热移动的气柱虫（S卜彷K常数其中2旳沁卑为柯氏参数祭假如空气块是在距离为帥的二个等竝温面弘与之间八见图根据质量守姮原理」空气块的质量则g在运幼过程中应为常数.又因沏为一常数戶所班山呦Q常数常数此式与（4・如）式消去4并瑕輕f®得忆丰『）鲁匸常数

tl谐0北*3鬲地tl谐0北*3鬲地kiAA减弘对加热过程来说，空气块沿耳轨迹线位温守恒，也。dt对于一个空气拄(系统)而言，在无摩擦并且绝热情况下，也遇(potentialvorticity)守恒」E+f)善二™G)如考虑两等位温面(iseiitiopic)；EAt?=coiist.G)A?因此在分析轨迹线时，经常使用等位温面，若均质（hoinogeiieou^与不可压缩（incompressible）=°或p=wist；在接近地面且气柱厚度不大时‘p看成常数,由9P=-^gaZ-aP-貝U⑵式变成■^^=C011St⑶由G）式,当盛行西风时，气流过山后，因气柱之昵增加』由位耦守恒可知,€+门亦増加，故在山后产生低压（Lee-cyclone）；同理，吹东凤时，则于山上产生低压；〔注戈东西向风场之了为参数人第七章大气行星边界层大气中热量和水汽的源主要集中在下垫面，下垫面首先影响与之直接接触的大气行星边界层，通过湍流扩散（混合）作用，使热量和水汽向上扩展，进而影响其上的自由大气层。虽然大气动量主要集中在自由大气层，但动量却大多是在行星边界层被消耗掉，因此，大气行星边界层是整个大气的主要热量和水汽的源，是动量的汇。因存在摩擦力，边界层的风往往和等压面相交而向低压方向吹，从而使边界层内低压和高压系统分别伴随水平的幅合和辐散；特别是当边界层是潮湿时，它对低压系统产生的水平幅合极为重要，进而降水与之有密切联系。故行星边界层对自由大气的热力和动力强迫和耗散作用也是大气中天气系统发生、发展、演变和消亡的重要因素。所以，研究大气行星边界层中的大气运动的规律，是大气动力学研究重要的内容之一。主要内容：§1大气边界层及其特征§2边界层中风随高度的变化规律§3二级环流、埃克曼（Ekman）抽吸和旋转减弱§4Ekman数和Richardson数重点：边界层中风随高度的变化规律，Ekman抽吸和旋转减弱。§1大气边界层及其特征1大气的动力分层1.1大气边界层的定义：与地表直接接触，厚度约为1〜1.5km、具有湍流特性的大气层（PBL,PlanetaryBoundaryLayer）。各层常见的、不同的名称：大气边界层：行星边界层，边界层，摩擦层贴地层：表面层近地层：接地层，地面边界层，常通量层，SL(SurfaceLayer)埃克曼(Ekman)层：上部边界层，上部摩擦层贴地层的主要特点：分子粘性力起主要作用；主要运动形式：分子扩散。近地层的主要特点：湍流摩擦力和气压梯度力起主要作用，科氏力可省略。风向几乎不随高度变化，但风速随之增加。物理量通量的垂直输送几乎不随高度改变(常值通量层)物理量垂直梯度＞＞物理量的水平梯度，湍流运动明显，地气相互作用强烈，调整较快，呈准定常Ekman层的主要特点：湍流摩擦力，气压梯度力和科氏力同等重要。物理量垂直梯度＞＞水平梯度。下垫面对自由大气的影响通过该层向上输送。风向、风速随高度的变化呈Ekman螺线规律。自由大气层的主要特点1)湍流摩擦力可忽略，水平气压梯度力和科氏力起主要作用

2）受行星边界层顶垂直运动的影响，其下边界条件即为大气边界层的上边界条件。§2边界层中风随高度的变化规律1近地层中风随高度的变化规律常通量层中，物理量的垂直输送不随高度变化。则湍流动量输送（雷诺应力）Tz=Tz0=常矢量（1.1）其中z0称为地面粗糙度，定义为风速为零的高度，风洞实验确定其值为覆盖下界面粗糙物平均高度的1/30。大气湍流运动方程组任意物理量：q=q+qT数学期望：q二q(x,y,z,t)=i1+2q(x,y,z,t')dt'Tt-2运算规则q=q+qq'=0qq=qq1212qq=qq+q'q'121212dqdqr=x伽x,y,z,tdxdxiiip=p=p=p=const:8u'5v'5x5y5w'5p+5pu+5pv+5Pw=o515x5y5zu=u+u',v=v+v',w=w+w'p=p+p',T=T+T',p=p+p'混合长理论：

混合长示意图混合长示意图行星边界层中风随高度的分布：du£1dp1QT二fv-+zxdtpdxpdz略去加速度项以及密度随高度不变dv1dp1dT=—fu—+zydtpdypdz1dpdT0二f―—=+〒(~zx)pdxdzp1dpdT0=—fu+-聖+工(〜)pdydzp注意上式已略去平均符号。近地面层（常值通量层）风随高度的分布在该层（约为几十米）平均风随高度变化，但风向不变化，因此可以把平均风方向取为x轴的方向。现在考虑湍流粘性应力Tz尸常数的情形。T=pK竺=pl2zxzT=pK竺=pl2zxzdz对于风随高度变化，dudzdududu=ldz(8.31)=const厂T、丁I三《，式中u*具有速度因次，称为摩擦速度sduu=_*~dz~i为摩擦速度方稈。在近地面层上混合长i不能看成常数，它与下垫面动力因素及大气层结有关。越靠近下垫面，湍流越受到限制，层结越稳定，相应的混合长i也就越短。在中性层结下（热力因子不起作用），可以认为湍涡的铅直尺度是由离地面高度决定的，因此可以假设混合长是z的线性函数。可设：l=Kz，其中K称为卡曼常数，由检验确定，k~0.4。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"duuu=*u=*ln7+C二，积分得到：丁，边界条件：7=70，u=0，确定积分常数：\o"CurrentDocument"uu7C=」ln7于曰有u=_^ln(—)\o"CurrentDocument"K0，于疋有：k70可见，在中性层结下，近地面层风随高度的分布为自然对数率关系。7=70称为粗糙度，由于下垫面的物理性质决定。草地上70可见，在中性层结下，近地面层风随高度的分布为自然对数率关系。7=70称为粗糙度，由于下垫面的物理性质决定。草地上70约为1〜4cm，海洋上70约为0.05cm。类似的，近地面层中的热量和水汽通量也几乎不随高度改变。（T\7X3丿u2*3(T)7xsPu2*u2*ln(7/7)1-・0」(T7xln(7/7)1-f0」(T)7xsPCu2Dln(7/7)1-」0」CD称为拖曳系数，它与卡曼常数和粗糙度有关。在非中性层结下，湍流既受到动力因素也受到热力因素的影响。在不稳定层结下的混合长要比稳定层结下混合长大！依照拉依赫特曼给出的混合长与高度的关系：l=A(8)z1-8式中，£表示层结参数,-1<8<0对应不稳定层结；0<£<1对应稳定层结；8=0为中性层结。而A(£)与层结和粗糙度有关。TOC\o"1-5"\h\zduuduuu—*n=*nu=_*\o"CurrentDocument""TdzAz1-8A这就是近地面层上风随高度分布的幂指数定律。1—稳定层结；2－中性层结；3－不稳定层结近地面层上风随高度分布的幂指数定律。u—u*(z8-z8)~ATo若对于任一给定高度Z1上的U1风速为已知，则有:u—丄(z8-z8)右10两式相比，消去u*和A,则得到:u(z8-z8)=0在中性层结下8=0，幂指数分布规律化为自然对数分布规律：

uu1s=0(Zeuu1s=0(Ze-Ze)0(Ze-Ze)10d=lim些e®力dE(ze-ze)0(zE-zE)10zElnz-zElnzlimooe亠zElnz-zElnz1100zln(Zi)zoEkman层中风随高度的变化规律Ekman螺线解由前可知，Ekman层中大气运动满足“Ekman平衡”，再假定：运动定常、平流惯性力(非线性TOC\o"1-5"\h\z项)相对于科氏力可忽略、水平气压梯度力不随高度改变，则有Ekman层(大气运动)方程组：0=K学+f(v-v)(1)cz2gVo=K学-f(u-u)(2)Icz2g为求解上式，还需要给出上、下边界条件：Jz=0,u=v=0zHuTu,vTvgg把上式第(2)乘以i三、T，再与(1)相加，便得到复速度W三u+iv的二阶线性齐次微分方程：K(u+iv)-f(u+iv)=-if(u+iv)(3)cz2gg(3)式通解为：u+iv=Aexp[(f/K)1/2z]+Bexp[-(f/K)1/2z]+(u+iv)ggA，B为常数，由边界条件确定，代入边界条件，并利用再三(1+i)/迈，所以，得到:B=-(ug+ivg)，A=0，因而:W=u+iv=-(u+iv)e-(1+i)Yz+(u+iv)(3a)gggg式中y三JfTQK)，并应用欧拉公式e-i0=cos0-isin0u+iv=u[1-e-Yz(cosYz一isinyz)]一v[e-Yzsinyz+i(1-e-yzcosYz)](3b)gg将实部和虚部分开，则有：

u=u(1一e-yzcosyz)一ve—wsinyz)Jggv=ue-yzsinyz+v(1—e-yzcosyz)gg上式为更为一般情况下的埃克曼螺旋解！102W册400mSOOm埃克曼螺线的性质：上式为更为一般情况下的埃克曼螺旋解！102W册400mSOOm埃克曼螺线的性质：u=u(1-e-yzcosyz)Jgv=ue-yzsinyzg求出复速度的模|W和辐角(风与等压线之间的夹角0)c二W=Ju2+v2二uJ1-2e-yzcosyz+e-2yzgHtg0ve-yzsinytg0u1-e-yzcosyz取9=45oN,湍流系数K=5m2/s，地转风ug=10m/s,又上式计算出埃克曼层各高度上风速分量u,v风速值大小以及风与等压线之间的夹角。（见表）：埃克曼层中风向、风速随高度的变化

离度(m)饥(rn05gT右(度)084萨100*32；0.314T擂0#44200.640.6043伽/0.8850:1.59i1.36?]40°詔'2J0100[2.2936°20f3.872005,(氷打28°36，6.5540t)9.212.6616询9.599.742*2813°12f10.00他肌j1.37:7°24f佩呦测坤*65|0.422°15rj10.43『:12001(1,16-0»0910-161443O10.02*■0.105-俨河10.0216009*97S3:T即9.餌1960509.98常这一高度视为行星边界层的顶部，也称为埃克曼厚度：De三兀，:'丫=Ck常这一高度视为行星边界层的顶部，也称为埃克曼厚度：De三兀，:'丫=Ck)234567兀f埃克曼标高：hE=l/y=De/冗。埃克曼层的解的显著特点为：边界层内的风有指向低压一侧的分量，三力平衡埃克曼抽吸与旋转减弱。由于湍流摩擦力作用使气流向低压中心幅合，在摩擦层顶产生向上的质量输送，这种环流结构可以认为是叠加在主要环流之上并与主环流相垂直的次环流，通常称为二级环流。单位截面积、高度为De(埃克曼厚度)的气柱在单位时间内向低压一侧输送的质量为S和密g度P都不随高度变化)：M二JDepvdz二puJJDe-izsinyzdz(4)0g0

eax(asinbx-bcosbx)利用积分公式：1eaxsinbxdx=利用积分公式：Dea2+b2DeM=pu1Dee-yzsinyzdz=pu|】e-iz^(sinyz+cosyz)=pugpuge-y(y)[siny=pugpuge-y(y)[siny(t)+cosyy-pug-1eo(sinO+cos0)2ye-兀+12yL」又De三兀/y=(2k)'2兀(4c)以及宀+1〜1(・.尸=0・043口1)puM二二e-冗+12yLpupug=gh2e2y(4d)(4d)式表明，对一个铅直伸展达整个埃克曼层的单位面积气柱而言，向低压一侧的净质量输送与地转风u及埃克曼标高hE成正比。gE不可压缩连续方程(密度为常数)为：(5)(5)式对整个埃克曼层积分，并利用z=0时，w=0。w(De)=-1D芒+Qv]dz(6)0exQy将埃克曼螺旋的解代入(6)式，并且注意到：

一Lu(1—e—yzcosyz)-ve—yzsinyz)d一Lu(1—e—yzcosyz)-ve—yzsinyz)dxggddydv+TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"duddg一(ue-yzcosyz)一(ve-yzsinyz)\o"CurrentDocument"dydxdxgdxg\o"CurrentDocument"ddvd+(ue-yzsinyz)+g一(ve-yzcosyz)dygdydygdudvdudvdvdu=(q+乞)—(乞+q)e-yzcosyz—(—乞)e-yzsinyz\o"CurrentDocument"dxdydxdydxdy在f为常数的假定下，地转风的散度为o,所以有:JDedvw(De)=—JDe［一(一odx式中地转风涡度：匚gb—g在f为常数的假定下，地转风的散度为o,所以有:JDedvw(De)=—JDe［一(一odx式中地转风涡度：匚g\o"CurrentDocument"dyogdvdu三寸-h，在u，v不随高度变化的假定情况下(气压梯度力不dxdygg随高度变化)，Cg也不随高度变化；geax(asinbx-bcosbx)Jeaxsinbxdx=利用积分公式：ebxdx(6)式的积分结果为：―匚w(De)=匚JDee-yzsinyzdz=g0(sinyz+cosy(sinyz+cosyz)]；0ye—yz2y2L—Cse2y—C£2y—yy[siny()+cosy()]一[eo(sin0+cos0)]yy(7)(—er—1)卜=©(2f)2(7)2yg2f上式表明，埃克曼层顶的垂直速度w(De)与地转风涡度匚成正比。对于典型的天气尺度系统来说,Q〜10-5m/s,f〜10-4/s,De〜103m，垂直速度（w）的量级为每秒零点几厘米。这表明，准地转涡旋流场中，由于湍流摩擦效应将会在埃克曼层中造成强迫的铅直环流，它叠加在准地转水平环流（地转涡旋的切向环）上，称之为二级环流。二级环流是由行星边界层摩擦所驱动，所以产生此二级环流的机制称为埃克曼抽吸（埃克曼泵）。埃克曼抽吸：在大气边界层中，大尺度大气运动主要是气压梯度力、科氏力和摩擦力三力的平衡。在这三力的平衡下，大气质点的运动不再像自由大气那样沿着等压线流动，其流线与等压线成一交角并从高压流向低压。这样，在低压的地方，大气质量有幅合，其上空的大气就会上升，并将边界层大气挤到自由大气中；而在高压的地方，大气质量存在幅散，其上空的大气就下沉，进而就将自由大气的质量吸入边界层。这种由于摩擦效应产生的边界层顶的上升或下沉运动，俗称为埃克曼抽吸（埃克曼泵）。的讨论：边界层顶的铅直速度与地转风涡度成正比，这就建立了边界层与自由大气的联系：对于一个气旋系统（0<0）,在其下部的边界层有质量的水平幅合，在边界层顶产生上升运动；g相应地在对流层自由大气中产生辐散运动，原因气旋性区上升，反气旋区下沉，形成了在铅直剖面内的闭合环流（下图）。这种二级环流的直接输送作用远大于湍流粘性本身的扩散作用。二级环流加强了边界层与自由大气之间的各种通量交换。在0<0区，边界层水平动量通量较小的g空气输入自由大气层；在0>0区，边界层水平动量通量较大的空气被吸入边界层，以补充边界g层的水平动量的不断损耗，这就是所谓的“埃克曼抽吸效应”。证明在均质正压大气中，伴随地转风涡旋的二级环流的强度不随高度变化。更为一般情况下的埃克曼螺旋解为：厂u=u（1-e-yzcosyz）一ve—wsinyz）Jggv=ue-yzsinyz+v（1-e-yzcosyz）gg

由上式得到二级环流的水平环流(水平速度的大小V)的垂直分布为：SV2=u2+v2=(u-u)2+(v一V)2sssgg=(-ue-zcosyz-ve-zsinyz)2+(ue-yzsinyz-ve-zcosyz)2gggg=u2e-2yzcos2yz+2uve-2yzcosyzsinyz+v2e-2yzsin2yzgggg+u2e-2yzsin2yz一2uve-2yzcosyzsinyz+v2e-2yzcos2yzgggg=u2e-2yz+v2e-2yzggV2=u2e-2yz+v2e-2yznV=(u+v)e-yz=Ve-yzsggsggg将上式对高度z微分’并且注意到均质正压大气中地转风速度Vg不随高度变化’则:°V““兀一工z4=-Vye-yz=-VeDez6zggDeDe三兀/y=(k)'2兀ny=工ffDe假设地转风速的特征尺度U〜10m/s,De〜103m。于是得到边界层上二级环流随高度变化的量g级为：QV兀U丄〜ge-QV兀U丄〜ge-兀6zDee-k〜0.0314x0.0432〜0.0013ms-i/m103可见SV/az量级很小(显然，远离边界层时更小)可以近似地认为伴随地转风涡度的二级径向S环流的强度不随高度变化。大气中的旋转减弱过程：二级环流可使准地转涡旋强度减弱。等于正压大气涡度方程：dauav(匚+f)=-(©+f)(+)dtaxay(1)auavaw(1)Q—f(+)=f=axayaz令-const,从边界层顶De到对流层顶H对上式进行垂直积分。Jhddz=fJwHdw(2)Dedtw(De)假设在对流层顶^z=H,wH=0,涡度以地转涡度代替(正压大气中地转风涡度随高度不变)于H是：d匚gdt竺g=—d匚gdt竺g=—w(De)dt(H—De)(3)将w(De)=:'—]2代入（3）式，并注意到H»De,于是q随时间变化的微分方程为:\2f丿&fK2H2\12丿g(4)(H—De)=f[0—w(De)]对（4）式直接进行积分，得到：(5)匚=匚（O）expl（fKJ2H2(5).'逐、.1or匚=匚(0)e—(2h2)21(5a)gg匚（0）为t=0时的地转风涡度值。（5）式表示地转风涡度随时间是按e指数衰减的。若把涡度减弱到起始涡度的e-1原所需要的时间定义为旋转减弱的时间尺度工，贝y：eTe2Te2如果H=104m,f=10-4/s,K=10m2/s，贝衍e=4.5x105s（大约等于4天）。考虑湍流粘性扩散作用，扩散时间尺度可以用运动方程中的局地变化项和扩散项来估计，以水平运动方程（x方向）为例:dudududur1dp“d2u+u+v+w—f=—+K—dtdxdydzpdxdz2特征尺度来表示首尾两项的量级：UKU—〜KTH2dH2式中T为湍流扩散时间尺度：T=二丁。edK若仍取H=104m,K=10m2/s，贝％d=107s，相对于100天，由此可见，Td>>t,旋转衰减的时间尺dde度比湍流扩散时间尺度小很多。因此，在旋转大气中，由摩擦幅合强迫造成的二级环流与一般湍流扩散过程相比，是使地转涡旋衰减的更为有效的机制。

Ekman螺旋线(北半球下视，地偏力指向运动右方，故顺时针；南半球则相反)高度增高，风速增大，方向逐渐接近地转风。口高度口高度'Ri<Ri,湍流增强<cRi〉Ri,湍流减弱cRi=g对于天气尺度的涡动粘性系数K,f〜10-4/s,De〜103m,K~5m2/s,v7QuK—12Qz，若垂直切变量级为5m/(skm),K^5m2/s，则平均混合长大约为30m。旋转减弱。

正压大气中的二级环流示意图。湍流发展的判据：R.理查逊（森）数i这是一个与大气层结稳定度和风的铅直切变有关的动力学（无量纲）参数。对于用位温表示的热力学方程d0正压大气中的二级环流示意图。湍流发展的判据：R.理查逊（森）数i这是一个与大气层结稳定度和风的铅直切变有关的动力学（无量纲）参数。对于用位温表示的热力学方程d0dln0dtpdt八dIn0dIn0dIn0dIn0八=0n+u+v+w=0dtdxdydz°三学二1(Yd-Y),

dzTd命令1•••―-(Yd-Y)-g

tC

pgdTY广，Y二-〒dcdzp，Q为静力稳定度。（J）YdR三g(dTdz-\d).T(dudz丿2用位温0来表示R.,用位温0来表示R.,则:i/dln0、g(h)du]2比丿R三g(dln0dz)=i(dudz)2若大气层结是稳定的（@畀=。>°orY<Y），湍涡在垂直运动中要反抗净浮力作功，消dzd湍流粘性应力作功湍流粘性应力作功耗湍能，故抑制湍流发展；反之，当层结为不稳定的（0or—）,则将湍涡铅直方向d的脉动速度增大，促进湍流发展。另外，大气斜压性较强时（水平风速的切变大），于是由平均动能转换为湍能也较大，湍流运动容易发展（R数较小）；反之，大气斜压性较弱时（水平风速的切变小），于是湍流运动不易发展（R.数较大）。RTRTRTRTRTRT+TT初始时刻，在z高度上的平均气压，密度和温度分别为：p，厂，丁，假设一湍涡（空气微团）从z-l高度上升到z处，在起始位置z-l高度上，空气温度与周围空气的平均温度相同，即：TOC\o"1-5"\h\z.-BT-\o"CurrentDocument"T二T—〒l。到达z高度上，则其温度变化为：T=T-Yl=T—（-Y）1，那么相z—1ozz—1dd对于周围温度有一落差，大小为：T'=T-T=-I（Y—Y）。d设运动满足准静力条件，即空气微团与周围环境的气压相同，均为p，那么相应的密度涨落为:\o"CurrentDocument",PPP/11、P=P—片=―=（―）则由密度涨落P—PT

单位体积空气所受到的重力为：而由于垂直运动涨落w'，平均单位体积空气在单位时间内反抗重力所作功(湍涡抵抗净浮力所消耗的对流动能：W])为:=F7W=(d-y)=-罕而T'=T—T=-l(y-y)d••，单位体积中消耗的功率也可以表示为：令K三Wl为涡动热传导系数(湍流导温系数)，单位体积中消耗的功率也可以表示为：H二丘罟-(yd-y)若层结稳定(y<yd)，则W]>0,表示湍涡抵抗重力场作功需消耗一部分的脉动动能，该部分动能应该转变为全位能。湍流摩擦作用消耗平均动能而转变为脉动动能，只考虑湍流作用，则平均运动方程(平均运动du1dT方向为x方向，并且平均速度只随高度变化)：~dt=~^~dZx上式两端同时乘以pud(pu2dT_d)dudI2I_U_d(UT)—T~d~dt\2丿dzdzzxzxdzd上式中(UT)的含义：dzzx如上图，取一厚度为Sz，水平面积为单位面积的体积块。在此小积的底面平均速度为莎(平均运动只与高度z有关)，所以此小体的顶部平均速度为u+(dU/dz)Sz；考虑湍流粘性力应力TZX(分量)对体块作功而使其动能发生变化，湍流粘性应力在单位时间内通过底面对体块作的功为：uT。zx而湍流粘性应力在单位时间内通过顶部对其作的功为：TOC\o"1-5"\h\zduSdTSdudTSduS(u+Sz)(T+zxSz)口uT+才Sz+TSzdzLzxzxdz顶部和底部作功之和除以Sz就是湍流粘性应力对单位体积块所作的功：dudTddudTdzdz_席'zxdzdz\o"CurrentDocument"ddu由此可见，〒(uT)—T第一项为湍流粘性应力对体积块作的功，第二项为提供湍流粘性dzzxzxdz

应力由平均运动动能转为湍流动能。用W2表示平均动能通过湍流粘性应力转化为的湍流动能（平均运动向脉动运动动能的转换率，QuCdu只是考虑了风速切变供给对流或湍流运动所需要的动能）：W=T—=PK—。其中K2zxdzIdz丿为涡动粘性系数。对于湍流（对流）否发展？取决于W]和w2的相对大小，若W2>W],则湍流（对流）发展；反之，W2vW],贝惴流（对流）抑制。这样通过比较湍流对流的供给率W2和消耗率W1的相对大小，就可以比较湍流活动是增强还是减弱。理查森数：湍流动能消耗率/湍流动能供给率。>鰹H（>鰹H（Y-y）湍流增强W<W^PKY<gPKH(y-y)湍流减弱21[dz丿TdW2<W1=PK&丿KR=—H定义为临界理查森数。icK也可以把一个与大气层结稳定度和风的铅直切变有关的动力学无因次数定义为dU*dz丿w2>wi=pk[d卜竽(丫d-丫)iiciicdiiciicdln0当R<R，湍流增强；当R>R，湍流减弱；用位温0来表示R.,则:R三g(dIn0dz)二go若大气层结是稳定的（-q厂=o>0ory<yd）,湍涡在垂直运动中要反抗净浮力作功,消耗湍能，故抑制湍流发展；反之，当层结为不稳定的（o<0ory>y）,则将湍涡铅直方d

向的脉动速度增大，促进湍流发展。另外，大气斜压性较强时（水平风速的切变大），于是由平均动能转换为湍能也较大，湍流运动容易发展（R.数较小）；反之，大气斜压性较弱时（水平风i速的切变小），于是湍流运动不易发展（R.数较大）。i总之，湍涡运动与大气（温度）层结和风的垂直切变有关。层结越不稳定；风的垂直切变越强湍流活动越强。第八章大气波动学§1波动的基本概念§2微扰法与方程组的线性化§3大气声波§4重力外波和重力内波§5惯性振荡与惯性波§6水平无辐散的Rossby波§7有水平辐合辐散徹ossby波§8大气混合波—惯性重力外波§9群速度，波的频散效应重点：微扰法，重力波和罗斯贝波，相速度和群速度。旋转地球大气中可能出现的波动作用力：重力，气压梯度力，科氏力。媒介特性：旋转，连续，可压缩，具有层结。地球大气中基本的波动形式：声波、重力波（重力内波，重力外波）、惯性（内）波和长波（Rossbywave）。§1・波动的基本概念1.波动的表示方法波动：质点由于受力的作用围绕某个平衡位置振动（振荡），而振动在空间的传播形成波动。波动与振动的联系与区别：1）波动是振动的传播形式；2）波动是能量传播的一种基本形式；3）振动是质点的运动，是仅以时间为自变量的运动，主要属于常微分方程问题（如惯性振荡）；4）波动是以时间、空间为变量的方程，属于偏微分方程问题（如惯性波）。简谐波：物体作简谐波时，它受到一恢复力作用，其大小与物体位移成正比，方向与位移方向相反。设物体在y方向运动，其质量为M,恢复力为F=-Ky,K为比例系数，则

F=Man-Ky=M巴dt2d2yd2yK其振动方程为：MK—Ky=Mn+——y=0dt2dt2M其振动方程为：MKd2yn—-dt2其解为：y=C]Sinet+c2socoset=Acos伽-5)简谐振动方程为线性常微分方程，简谐振动也称为线性振动。简谐稳定移动形成的波就是简谐波。一维的简谐波可以表示为：y=Acos(kx-mt-§)事实上，根据Fourier迭加原理，大气中所有运动=不同频率、不同振幅的简谐波的迭加。对于空气的微团，若其任何一物理量q(位移、运动速度等)仅在x方向呈现周期变化(波动)，则可以用周期函数表示：q=Acos[k(x-ct)-8]或q(x,y,z,t)=A(y,z)cos(kx-rnt-S)(一维波，直线波，对应偏微分方程中的弦振动)其中A,k,c,6皆为波参数。同样：q(x,y,z,t)=A(z)cos(kx+ly-®t-6)(二维波，平面波，对应偏微分方程中的膜振动)q(x,y,z,t)=Acos(kx+ly+mz-®t-6)(三维波，立体波，对应偏微分方程中的空间振动)由于复数具有旋转性和周期性并且容易进行微分运算，通常用复数函数表示波动。根据复数的欧拉公式：ei0=cos0+zsin0上式也可以改写:q(x,y,z,t)=Re{Aei(kx-rat-5)}=Re{Qei(kx-rat)}其中，Q=Ae-i3称为复振幅将记号“Re”省写，上式变为：q(x,y,z,t)=Q(y,z)ei(kx-rat)=Q(y,z)eik(x-ct)——(一维)波动的常用表达式称为标准波型法或正交模方法同样有：q(x,y,z,t)=Q(z)ei(kx-ly-at)q(x,y,z,t)=Qei(kx-ly-mz-at)2.波参数1）振幅：振动所产生的最大位移A=max|q|2）位相（角）；0=k（x-ct）-8,初位相：63）相速度（波速）c：等位相线（面）移动的速度。c=dx/dtL或c=e/k0=const等位相线（面）：位相相同的点构成的线（面）。4）波长L：固定时刻相邻两个等位相点之间的距离。5）波数k：用位相角所表示的单位距离内所包含的波长为L的数目。k=2n/L或k=d0/dx而气象中的绕地球一周波的数目=2nRL=2nacos亿，其中L为波长。6）周期T：固定位置上振动重复（波形复原）一次所需要的时间。t=L/c=2n/kc=2n/e7）频率V：单位时间内振动次数。v=1/T8）圆频率①：用2n位相角表示的单位时间内的振动次数。g2nv=2n/T二kc或e=d0/dt3．二维波的波数矢K0=kx+ly-d称为二维平面波的位相，波数：k=d0/dx，l=d0/dy，波长：Lx=2n/k，Ly=2n/l，①=d0/dt圆频率：e=d0/dt波数矢：K三ki+Ij,V&=ki+lj=K，k与等位相面垂直。等位相面沿x、y方向的移速分别为：*——►*c=&k；c=e/lxy相速矢（波速矢）：

c=,K2=k2+12TKXLL=—[y+Lyc=—KK2JL、4Jc=—KK2JL、4JxBLxEL/L=LiL12!132414L;L二L;L二[L+L/LnL二LLL+Lx/xyyxyxy”2兀”2兀”4兀2/2兀2兀\o"CurrentDocument"L=,L=nL==\o"CurrentDocument"xy~T~klk2+12X0(x,y,z,t)三kx+ly+mz-®tQ0Q0Q0Q0k—,l—,m=,®QxdyQzQtk—2k/L,l—2k/L,m—2kJLr三xi+yj+zkK三ki+Ij+mk—V0K—Jk2七12+m20三Kr—①t=const.n®三K—2kjL厂dr'jdt丿0—constc——KKK2c=J2_=®/pk2+12+m2Kk厂dx'kjdt丿Q0/Q0①Qt,Q0/Q0①Qt,；■dyl厂dy'jdt丿_①mx,z固定,0—const厂_①my固定,。y固定,。=constx,c丰ci+c/+ckxyzq=Qe_i(kx+ly+my®t)—k=2k/L,l=2k/L,m=2k/L所谓线性波的频散关系，它决定于介质(大气)的性质。c三——c£]Idt丿:0=const(ro=G(K))OGOG,(ro=G(K))OGOG,c=-OlgzOmc三=gOKOK匸J竺gIdtA=constogc=,c=gxOkgyOGOGOG\o"CurrentDocument"c=i+j+kgOkOlOmA=const.n+cJVA=0Otg口4・横波与纵波横波：振动方向与波传播方向垂直的波。V±c即V于=0V・c=0水平横波：质点在水平面的一个方向振动，而波在水平面上的另一个方向传播。―►垂直横波：质点在垂直方向上振动，但波在水平面上传播。纵波：振动方向与波传播方向一致的。V//c即Vxc=0Vxc=0波包：设有两个单波，振幅相同，均为Q,而频率(劲和波数(k)稍有差异，分别为巴、？和件、k2。其中，Ae=e严2，从=£也，则人於0,人炽0。假设这两个单波都在x方向传播，分别为：q1(x,y,z,t)=Q(y,z)ei(k1x-®1t)q2(x,y,z,t)=Q(y,z)ei(k2x-«2t)则它们迭加后的群波为q=q+q=Q{ei(kix-&it)+ei(k2x-®2t)}=Q{ei(kix-®it)+ei(k2x-®2t)}=

i(k]x-of)+ei(k2x-o2t)}-i(k2--i(k2-k21x-o2-O1t)2•(k2-k+eiP1X-°2-O1t)2(占x-°^t)ei2x2tk=k=2Qcos(j-k1x一2代+k2°1+°2、t)ei(Tx一Tt)。zAkAo、沁2Qcos(x一t)ei(kx-ot)22群速q由两部分组成：一部分为被调幅的波（载波），其圆频率（◎及波数（k）分别接近各个单波的圆频率和波数。o+ok+ko=―12o「o,k=t2k「k2□1□22□1□2另一部分为调幅波（波包），其移速（群速）为：Ao：'2Aodoc==Q—gAk2Akdk■q]q]=Qei(k]x_3]t)kkkkaaQei[(k+1+1-1)x-(才丐订右"]Qei[(I+争x-(牛号”]+i[(告-争x+与号”]3322-3322-2])t]Qei[(2]+尹x-(2]+賞]£'[(厂2])x-(q2=Qeiq2=Qei(k2x_®2t)3T"]Qei哙七+勺为x-kk33Qekk33Qei[(宁屮x-(芍+計]+i[(coX-(飞23」)t]QeQe吟审X-（分牛"]ei•••q二q]+q2二Q])x-(A—Ak])x-(])t]+QR[(T)x-(Ty^)t]=2Qcos((=2Qcos((k2-k]厂x-THt)ei(号x-宁t)2沁2Qcos(x—t)ei(kx-(At)22群速q由两部分组成：一部分为被调幅的波（载波），其圆频率（◎及波数（k）分别接近各个单波的圆频率和波数。+Ak+kA=12AA,k=t2kk2□1□22□]□2另一部分为调幅波（波包），其移速（群速）为：Aa2AadAc==u—gAk2Akdk

kkkkcoco=Qe，[(k+k+卞_x_F巧+罗P"]kk、zrorokk、=Qe，呛+歹x_(才+芍"]+，[片—亏)x+(才—芍"]kk_kk_'[(厂2)x_(=Qel[q+2)x_(21+22)t]q=Qei(k2x_ra2t)222=Qei[(==Qei[(=Qei[(=Qei[(・•.q=qi・•.q=qi+q2=Qk2_k1)x(^2^2k_k_f]+qR[(T)x_(^^)t]i(x_雀生t)>el(2x2)=2Qcos((=2Qcos((k2_kiT~x_®2_®11)e，(呼x_宁t)2AkA、U2Qcos(xt)el(kx_rot)22§2・小（微）扰动法与方程组的线性化smallperturbationmethod1・目的大气运动方程组是非线性的，直接求解非常困难。所以用微扰法（小扰动法）将方程组线性化，讨论简单的波动（线性波）问题。即对波动采用间接研究方法：求振动解f求波速C1）小振幅波：振幅远小于波长的波，即AVVL，为线性波，可用小扰动法。2）有限振幅波：振幅不比波长小很多的波，波动方程组是非线性的（非线性波），不能用小扰动法。小扰动法（微扰法）的基本假定（作法）1）将各种因变量分成两部分，一部分为运动的基本状态，通常与时间f和经度（兀）无关；另一部分是扰动部分，它表示各变量相对与基本状态的偏差。即f=f+f，或f=f-f。湍流与波动的比较：湍流：平均运动（对t）+脉动（微尺度）；波动：平均运动（对r,x）+扰动（较大尺度）。2）扰动量相对平均量很小，即口1。3）当扰动量为零时,基本量也要满足原来的方程组和边界条件。4）扰动量（或扰动量的微商）的二次乘积项可以在方程组中忽略（线性化的具体体现）,即对于地球大气运动,进一步可对主要物理量做如下具体假定:u'=u-u，且设u=常数，（恒定的平均纬向风，即常数型基本气流）v=v',v=0（无平均经向风）w=w',w=0（无平均垂直运动）p=p-p,p=p（y,z）（平均气压在南北和垂直方向分布不均匀）P'=P-P,P=P（z）（平均密度在垂直分布方向分布不均匀）而且%u，pip，厂口t，pip，即扰动量充分小。此外若扰动是周期波动，要求波动的振幅远小于波长。实际上若：广二Fei2T（x-ct）f=i2kS：（x-ct）是小量,|F|LdxLdx大气方程组的线性化1）z系大气运动方程组（d/dt必须先展开）基本方程组的线性化局地直角坐标系下绝热无摩擦的大气运动基本方程组为

+u+v+wdtdxdy1dppdx+fv+u+v+wdtdxdy1dppdx+fv+udtdvdv+wdz1dy-fupdydwdwdwdw1dp+u+v+w=——gdtdxdydzpdz+u+v

dxdp+wdzdudvdw++)=0dxdydz(1)dln0dln0dln0dln0八+u+v+w=0dtdxdydz0=_L(匕o)k,T=丄,k=R/cpRppRp根据微扰动法假定1，可以令：u=u+u：v=v+v',w=w+w'<p=p+p',p=p+p',0=0+0'其中基本量u，v，网p，p，0，由定义，为沿纬圈平均(不再随x轴变化)。此外沿纬圈的v,w一般也是正负相见排列的，因此v,w的数值很小，可以假定v=w=0，即:u=u+u',v=v',w=w'(v=w=0)p=p+p',p=p+p',0=0+0'根据微扰动法关于基本量满足原始方程的假定:fu=—1dppdyfu=—1dppdy1dppdz—g=0dp石0,匹=0,0=(隘)R/cpdtpRp(3)(3)式表明取物理量沿纬圈的平均值作为基本量，则基本量是定常的，在水平方向上满足地转风平衡，在铅直方向上满足静力平衡。为了方便求解，可以假定莎=常数，将(2a)代入⑴后，再利用(3)式，则得到微扰动量满足的方程组(还利用了微扰动法关于微扰动量及其导量的二次乘积项均可视为高阶小量而从方程中略去的假定):并注意到:

1p(1+1p(1+p'p)£1、

pJp'F24)p_p□dd)''_1+u)udd)''_1+u)u—fv_—_\o"CurrentDocument"dtdxpdxdd1dp'p'1dp'p'dp+u)v+fu_——fu_—+dtdxpdyppdyp2dydd、，1dp'p'1dp'p'dp+u)w'_——g_—+dtdxpdzppdzp2dzdddp(dp/du'dv'dw'、„+u)p'+v'+w'+p(++)_0dtdxdydzdxdydzdd,dIn&,dIn0^_\o"CurrentDocument"dydzcR+cK__p_vcvdp'(5)dtdx0'1p'0_Kp0'1(5)式中0Kp'p'，pp'p齐的推导为：由位温方程：e_pR今力取对数得到:ln0_K-1lnp—lnP+常数，再令0_0+0'代入上式有:ln[0(1+0-)]_lln[p(1+上)]—ln[p(1+匕)]+const.TOC\o"1-5"\h\z0kpp0''p'ln0+ln(1+)_k—1lnp+ln(1+匕)-lnp—ln(1+)+const.即有：0pp即有：andln0_K—1lnp-lnp+const.对任意小量J由ln(1+£)口8，于是:0'_1p'—p'0Kpp关于状态方程的线性化方程表述：p二PRTn（p+p'）二（P+P，）R（T+厂）二pRT+pRT，+p'RT+p，RT，〜pRT+pRT，+pRT・•・p+p，二pRT+pRT，+p，RTnp，二pRT，+p，RT（5）式就是基本运动方程组线性化后的形式，其中的基本变量已知，扰动量未知，方程组各项都是线性项的，所以（5）式为线性方程组。采用标准波型法（也称正交模方法）求解。正交模方法（tormamodesmethod）标准波型法：在研究大气中的基本波动时，通常是首先将有关方程线性化，得到相应的扰动方程组，然后设扰动方程组存在的形式解为Aei（z），代入方程组后，即可根据边界条件确定频率方程，从而确定相速方程。此方法就是标准波型法。频率方程：波速c（或频率3=kc）—般是基本气流u，波数k（或波长L）及其他参数（如g,HJB）的函数，即c=c（u,k,g,h,fB,...）,称为波速方程或频率方種频率与波数之间的关系式）。―A旋转地球大气中可能出现的波动作用力：重力，气压梯度力，科氏力。媒介特性：旋转，连续，可压缩，具有层结。地球大气中基本的波动形式：声波、重力波（重力内波，重力外波）、惯性（内）波和长波（Rossbywave）。大气声波声波：由于大气是可压缩性流体，压缩（或膨胀）某部分空气，其四周空气也将依次被压缩（或膨胀），这种由空气的可压缩性产生的振动在空气中的传播波动。（声波是一种纵波）（水平）声波的波速公式为了突出大气由于压缩引起的声波，不考虑科氏力作用，另外，为了简便起见，设空气仅在x方向受压缩而产生振动（即为一维水平声波），则况学0,v'=w'=0，有z坐标系纯声波的闭合线性化方程组：\o"CurrentDocument"dd1dp'(__+u一)u'—fv'_——dpdtdxpdx£+u£)v'+fu'_-1辺-pfudtdxpdyp/d_d、］1dp'p'(——+u—)w_———g\o"CurrentDocument"dtdxpdzp/dd、，,dp,dp/du'dv'dw'、„(一+u一)p'+v'—+w'—+p(一+一+)_0dtdxdydzdxdydz/dd,dlnO,dlnOM(一+u一+v'+w'_0dtdxO'_1p'—p'OKpp+vdydz(9.41)简化后，有：,d6、］1dp(+u)u=—\o"CurrentDocument"dtdxpdx\o"CurrentDocument"dd,du'(+u)p+p=0dtdxdx\o"CurrentDocument"ddO'(+u)()=0dtdxO0'_1p'—p'OKpp(9.42)(2)式中第四式消去第三式中的O',则有:d-d1p'p'1/dp'_dp'1dp'dp'(+u)(—)_0(—+u)—(u+)_0dtdxkppkpdtdxpdxdtdp'_dp'kpdp'_dp'、/dp'_dp'、+u_(+u)_c2(+u)c2=K(p：p)_KRTdtdxpdtdxLdtdxL其中cs=(KRT)1/2为绝热声速。'竺+u竺=-!里TOC\o"1-5"\h\zStdxp5x/SS、，1Sp(+u)u=—StSxpSx巴+u巴+p竺二0StSxSxS+uSL)p,+pSl=oStSxSx型+u聖二c2(巴+u空)StSxLStSxSSSS(-+uS)八cL(石+u冻)p‘(3)(9.43)在无边界条件下求其单波解，可令：p'ep'ei(kx—a>)(9.43)IIp'丿SSSt=-iw(),=ik()SxS_S+u=—i(w—uk)StSxIp把(9.44)代入(9.43)，并且注意到：则得：'-i⑹-uk)U+i(k/p)P=0<-i(o-uk)兀+ikpU=0(9.45)-i(w-uk)p'+i(o-uk)c2兀=0L(9.45)式是U冗，P的齐次线性方程组，若方程组有非零解，则要求系数行列式应为零，即:-(w—uk)0k!pkp-(o-uk)0=0(9.46)0(w—uk)c2—(w—uk)L展开后得到频率方程：(w-uk)[(w-uk)2-c2k2]=0(9.47)L(9.47)式的解为：厂w=ku<,_,-Kpw=ku+kc,c2=KRT=LLp'=ku解无意义：代入(9.45)式发现，U和P恒为零，而冗为任意的值，这就破坏了声波的存在。所以其频率应为：①=ku土k"KRT=ku土kc(9.48)s波速公式为：(9.48a)c==u±^KRT=u+cksc==u±y；kRT=u±cgdks上式可以看出，声波的相速决定于基本气流和大气的热力性质，而与波长无关，声波是非频散波。如果取u=10m・s-i,R=287J・K-i・kg-i=287m2・s-2,k=1.4,T=273K，则c=(10±330)m3,故声波速度远远大于空气的移动速度，所以声波属于“快波”。水平声波沿x轴的正负两个方向传播。垂直声波的波速公式为了突出大气在垂直方向传播的声波，不考虑科氏力作用，w'羽,u'=v'=0，另外，为了简便起见,设空气仅在z方向受压缩而产生振动，则其频率方程为：w=kx^KRT关于排除声波的物理条件：1)大气是不可压缩的；2)大气是非弹性的或包辛内斯克流体；3)大气是水平无辐散的；4)大气是静力平衡的；5大气是准地转的(其零级近似为水平无辐散的)。声波产生的物理机制图.d6、t1dpTOC\o"1-5"\h\z(+u)u'=—dtdxpdx(3)\o"CurrentDocument"dd,du(3)(+u)P‘+P=0dtdxdx\o"CurrentDocument"dddd(—+u—)p=c2(—+u—)p'\o"CurrentDocument"dtdxldtdx(9.43)设想在x方向放置一个长自容器(见图)，其中装满了常压、常密度的静止大气，容器中央部分有一活塞。使活塞下压，则由方程组(9.43)最后一个方程(绝热方程)可知，在A'A间空气的密度和压力都增加，且A点邻近左边的密度和压力均大于右边的密度和压力，并在A点附近形成沿

x方向的水平气压梯度力（£p7Qx>0）；由方程组（9.43）第一个方程（运动方程）可知，A点附近空气获得沿x方向的加速度（Qu'/Qt>0）；再由方程组（3）第二个方程（连续方程）可知，因为Qp'/Qt>0,故A点附近Qu'/QxvO,因而在A点右边附近产生质量幅合，使A点右方B点的密度增加，相应的气压也增加，如此不断传下去。这就意味着：初始时刻首先在活塞附近形成的压缩扰动将由A点向右传播（同时由A'点依次向左传播），形成水平声波。综上所述，声波产生的必不可少的内部条件是空气的可压缩性，而外界压缩空气压力和密度的扰动，即6666dd(+U)p=C2(+U)p'，则是声波产生的外部条件。6t6xL6t6x6u'6u'6u'工f1dp'+u—fv=—\o"CurrentDocument"dtdxpdxdv'dv'1dp'p'+u+fu=-dtdxdw'dw+u一dtdxdp'+udp'dtd9'dt0'fuP6yp1dprp'=一一gp6zp(1),6p,6pQU6v'6w'、八TOC\o"1-5"\h\z+v'+w+p(++)=06x6y6z6xdy6zr8ln9,6ln0~M\o"CurrentDocument"+v'+w'=06y6z假设：v'=0P'=假设：v'=0P'=0f三0p=po=const.8ur8ur1dprpdx九(竺九(竺+u竺)一丄乡⑵dtdxpdz九为示踪系数，九=1或2,九=0,表示在铅直方向上满足静力平衡。设流体下界为水平钢壁，上边界为自由面。由运动学边界条件有：z=0,w'=0设自由面上的压力为常数，自由面为物质面，自由面的高度为H0,则自由面上动力学条件为:z=H0,w'=0TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"dpdpdpdpdpz=H,=+u+v+w=00dtdtdxdydz上式线性化后，则有：z=H,型+u型+w型=型+U汇pgw，=00dtdxdzdtdx满足上面的边界条件的扰动方程组的解为：ipp0满足上面的边界条件的扰动方程组的解为：ipp0代入扰动方程组和边界条件后，振幅U,W,P应满足下面的方程组和边界条件:(uk-®)=kPdP(uk-o)W=一(3)dz(4)z=0时，i(uk-(4)z=0时，i(uk-w)P-gW=0对方程组(3)进行消元，消去P和W,得到:dz2dz2利用(3)中的第一式和第三式消去(4)中的P,则边界条件(4)式可以改写为:z=0时，W=0z=0时，dWk2—、gW-0dz(uk_W)2这样，问题就归结为求二阶线性常微分方程(3)和满足边界条件(4)的解。分为两种情况加以讨论(1)九=0,即铅直方向上满足静力平衡。此时方程(3)的通解为：TOC\o"1-5"\h\zW=A+Bz(5)将(5)代入边界条件(4),则要求A=0,且要求k2口=gH(uk-W)20这就是频率方程,由此可得：(6)对于均质大气,由静力平衡条件：0p0或者c==u±\RT(6a)kv，RT为牛顿声速，即等温(T=T)大气中声波的传播速度。可见静力平衡条件下，重力波是非频散波,相速接近于声速,属于快波型波动。所以：W=Bz<1dWiU=--dW=-B、ikdzk铅直速度扰动振幅随高度线性增大，而水平速度扰动振幅为常值，水平速度扰动于铅直速度扰动有冗/2的位相差。(2)九=1,即铅直方向上不满足静力平衡。此时方程(3)的通解为：W=Aekz+Be-kz(7)将(7)代入边界条件(4),可知则要求B=-A，且要求(欣-W)2=gth(kH)k2k0由此得到相速为：

-1(8)§th(kH)2(8)k0对⑻式进行简化，取短波近似，即设kHoU1(%Ho)，在此条件下，th(kHo^l，于是(8)式简化为：这就是斯托克斯深水重力波相速。取长波近似，即设kH1(LH),在此条件下,ouUoth(kH)kH，于是(8)式简化为：o口o这就是拉格朗日浅水重力波相速，与静力平衡条件下重力波相速相同。因此当波长远大于流体深度时，即扰动的水平尺度远大于其铅直尺度时，非静力平衡的气压扰动对水平运动的影响是可以忽略的，故LH是满足静力平衡的充分条件！Uo外波与内波的比较：外部条件作用下才能存在的波动称为外波，外波的显著特征是振幅随高度单调变化。外波条件受到限制时(如上下边界条件取齐次边界条件)，就不会产生外波。与外波不同的另外一类波为内波，其主要特征为位相随高度变化，在铅直方向上也呈波动状态。重力惯性外波仍考虑均质不可压缩具有自由面的流体，并设其满足静力平衡条件。动力学方程组为：dududxdudu+v+w-fvdududxdudu+v+w-fv=-dydz1dppdxodv+udtdvdxdvdv+wdx1dpPdyodp(9.84)一pog竺+竺+色=odxdydz以h(x,y)表示自由面高度，对静力平衡方程进行积分

Ph+po(h-Z)g(9.85)JPh+po(h-Z)g(9.85)0z式中h0是自由面上的压力，假设为常值，由上式有:(9.86)1dppdx(9.86)<01dpPdy0可见水平气压梯度力是不随高度变化的，若初始时刻的水平风速u和v不随高度变化，则任意时刻的水平风速u和v也是不随咼度变化，即存在：亍——0。dzdz这就是在静力平衡条件下，均质不可压缩流体运动的一个重要特点。对连续方程进行铅直积分：duddudu(dx+dy)dz+pgdznp—0ph+p°(h-z)g湍流规定水平风速u和v不随高度变化，Boussinesq(包辛内斯克)近似布西内斯克近似热力学方程简化，表征大气热力学状态的变量p、p、t和e等，其在空间和时间上的变动量(p‘、P'、T'及e'等)都很小。可以把大气运动是围绕静止大气基本状态变化的。于是热力学变量分为两个部分：一部分是表征基本状态的变量，它们仅仅是高度(z)函数，以p(z)，p(z)，T(z)，e(z)表示；另一部分是热力学变量的偏差，以山p',t,e'表示。即：'p—p(z)+p(x,y,z,t)p—p(z)+p'(x,y,z,t)小“八<_(9・104)T—T(z)+T'(x,y,z,t)丿气压(p),密度(p)，温度(t),e—e(z)+e‘(x,y,z,t)密度(e)的特征量为p,冗，t*，©及基本状态的铅直厚度尺度(H)。0_dp__由静力平衡方程：0_-dz-pg及状态方程：p_尸RT，则有:gRTdp_p1dpgdlnp石_-gp_-gRTn7az_-RTndzgRT・•・H三-RT〜8(km)(9.105)gH为大气标高，表示大气铅直厚度。基本气压随高度的改变量可以达到本身的量级：1dpgdppP——n=—g—pdzRTdzRTHdlnpdln厂dlnT1同样密度和温度随高度的改变量也可以达到其本身的量级厂〜—芫〜—h〜H9.106)这是基本热力学变量的一个重要性质！以静止大气为背景下的大气运动基本方程组：(9.104)”p—p(z)+p(x,y,z,t)P—P(z)+p'(x,y,z,t)T—T(z)+T'(x,y,z,t)0—仔(z)+0'(x,y,z,t)(9.104)P+P'1P+P'1p(1+7)ppp'PD大中尺度运动系统中，科氏力与气压梯度力量级相当，即：1dp

1dp

pdx〜fv〜fU(9.107)1dp_1dp_1(dpdp')———(+)—pdxp+p'dxdx1dp'\(1+p')乔p-1(1-p1)璽一丄空ppdxpdxRTdp'

pdxRTRTdp'

pdxRT*AP~p—L色竺〜fu亠〜fULPL0PRT*(9.108)(9.109)APfU10-4X10““oL〜106〜0.013〜10-2PRT*287X273扰动气压(密度、温度)比基本气压(密度、温度)小2个量级!

运动方程：也-fv=-1空=-丄迥一丄（1—£）丄聖

dtpdxpdxppdxpdx竺+fu=-丄色

dtpdy1聖一l（i-£i竺+fu=-丄色

dtpdydw1dp

pdw1dp

pdz=-g亠毎-追+型pdzpdzdzpfdp）pdzdw一丄埜+gp

dtdw一丄埜+gp

dtpdzp即为：dudtdv-J-+fu=-dtV1dp

pdx1dp'pdy（9.110）dwdt1譽+gXpdzp“（-g-丄d）-丄甞+（丄|p）ppdzpdzpdzp1昭+gpdzp水平运动方程中，2口1=p〜p，没有考虑密度的扰动影响；而在铅直方向上,pu(9.111)，存在扰动密度的影响，密度的偏差会引起阿基米德浮力。连续方程：TOC\o"1-5"\h\z空+空+迥+竺二0Stdxdydzn空+u空+v空+w空+P（叫+空+色）二0StSxSySzSxSySzn1空+u竺+上空+w竺+竺+竺+空二0PStPSxPSyPSzSxSySzdlnPSuSvSwdtSxSySzlnp=ln（p+pj=lnp（1+匕）=lnp+ln（l+匕）沁lnp+P_PPPdlnpdlnpdzp\Slnpdzp\q+（一）二w+一（一）dtdtdtpSzdtpSlnpSzd（兰）+dtpSuSvSwSxSynd（兰）+

dtp竺+竺+丄他SxSypSz（2）1dp'pdtp'dpSuSvwSpSw++++=0p2dtSxSypSzSz1dp'pdtp'SpwSpSuSvSw-w++++-p2SzpSzSxSySz二0（9.119）对(9.119)进行尺度分析：1dp'pdtp'Sp

w

p2SzwSpSuSvSw小++++=0pSzSxSySz△兀兀wSppSzSuSvSw+++=0

SxSySzorp（迦+竺）+

SxSySwpSz=0or亶+竺+空=0SxSySz（9.120）（9.120a）（9.121）可见在连续方程中完全略去了密度扰动的影响。,,dudvQw小对浅层运动(D<<H)而言，亍+亍+=0dxdydz(9.122)状态方程：p=pRTnp+p'二(p+p‘)R(T+T)upRT+pRT+pRT'np'=p'RT+pRTpp'T'n_=_+—ppT(3)对于位温：pzpzp0=T(上o)RepnIn0=InT-一Inp+一Inppcc0pp0'T'Rp'Rln0(1+0)=lnT(1+)一lnp(1+[)+lnp°pp0'_T'RRp'ln0+ln(1+0)=lnT+ln(1+)一lnp一ln(1+)+plnp0In0=InT一一Inp+一Inpcc0pp0'T'Rp':.ln(1+)=ln(1+=)-—ln(1+p)，p冬、匚、p•・•0TpD0'T'R•〜(■\…0〜T0'T'Rn\、把云u不-(_)代入到(3)式:0Tcpp0'=p'p'R(p')=c-R=一一(匸)一—0ppcpcpp=c(p')-p'=1(p')-p'cppYppp或者:p‘p‘p(、

cY三一pIc丿V(9.112)p8_p(p)-p'_8Yp1

_—p'-p'c2s8'_1p'p'8c2ps加P'_RP'三訂RTs(3a)0'_p'P」'_8',1P'————十p8c2ps8表明密度扰动与位温扰动、气压扰动有关，8表示膨胀效应,对状态方程：(9.113)1p'c2

s表示压缩扰动。与丄4及4的大小比较:8KppTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"dw1dpp由铅直运动方程：莎_—p石十g石可知,\o"CurrentDocument"1dp'p'—~S—…pdzp1dp'RTdp'gHAppdzpdzDPApfUL0PgHp'A兀gHApp'HJUL、(9.114)g二_g〜——〜一(％)(9.114)p兀DPpDgH8'A©1ApA兀1ApHAp(9.115)〜〜+〜十—(9.115)8©kP兀1.4PDP由（9.115）可以推断出：对于深层运动…而言，8~p~专~等（曙）~伊说明，热膨胀和可压缩性密度扰动的贡献相当。8'p'H（AP）AP对于浅层运动（DvvH）而言，8〜~p〜万（_P）口~P~8表明热膨胀的效应（8）是主要的。则有：冬=1必丄聖兰(7)万万□歹(9.118)绝热方程(位温表示的形式)：dlnodtln0=ln(ln0=ln(O+0J=0fln0(1+o)0f=ln0+ln(1+)uln0+(1a(1a)(1b)(1c)(2)(3)(4)dz+g万du+dv+1d(pw)—0dxdypdzT0f1pf.pfT?c2ps—7N2如=on迎+£(0f)=on空(0f)+w迎u0dtdtdt0dt0dzwuo(4)dln0dwuo(4)2=g~dTndt(0)+~gN为浮力频率，又称为布伦特一维赛拉(Brunt-Vaisala)频率。最后由上面的(1)~(4)式，构成以静止大气状态为背景的大气运动方程组(绝热和无摩擦的)：TOC\o"1-5"\h\zdu“1dp一-fv二—匸——dtpdxdv1dpf一+fu二一———dtpdydw_1dtpd(p)+■dtpPf_Pf+—+pp~dt(0)+vwu静力近似：o一1?+g卩'Qz非弹性近似：对于积云对流这类水平尺度较小的天气系统，静力平衡不准确适用，而在连续方dpf程中省略了()一项，采用(9.120a)表达形式。这就是非弹性近似，其方程组为：dtpdudt1dprpdxdvr1dp'+fu=--dtpdy空一丄璽+gp

dtpdzp<,duQv、Q(pw)八p(——+—)+^J=0QxQyQzp'_p'+TPpT‘d0、N2dt(ff)+VWO'_1p'c2p

sQ0(1a)(1b)(1c)(2)(3)(4)非弹性近似：运动方程中部分考虑了密度扰动(铅直方向上)；连续方程中完全忽略密度扰动的影响；热力学方程中保留密度扰动影响。也称为滞弹性近似，或准包辛内斯克近似。Boussinesq近似：在非弹性近似的基础上，在连续方程中采用(9.121)的表达形式(浅层运动)，这样连续方程就是完全不可压缩流体。对状态方程采用采用(9.118)的表达形式，即忽略与P有关的项(只是保留膨胀作用)，ffpTQ—Q—ffpT相应的绝热方程中'(ff)_斗(-)，这就是包辛内斯克近似，其方程组为:dtdtpdu1Qp—fv_—dtpQxdv1Qp+fu_—dtpQydw1Qpp_—+gdtpQzpQuQvQw++_0QxQyQzff'_p'_T'_—?_T竺w_0,gdff'dff+_0dtdz(1a)(1b)(1c)(2)(3)(4)包辛内斯克近似：运动方程中部分考虑了密度扰动(铅直方向上)；连续方程中完全忽略密度扰动的影响，并在此基础上，考虑为浅层运动，连续方程简化为不可压缩形式；对密度扰动只考虑膨胀作用；这种近似就是包辛内斯克近似。由于连续方程为不可压缩，方程组中已不再包含声波产生的物理机制，所以该近似滤去声波！重力内波、惯性内波、重力惯性内波浮力振荡，重力内波形成的机制：气块法：绝热方程(位温表示的形式)：dIn0dtTOC\o"1-5"\h\z0f0f0fIn0=ln(0+0')=In0(1+—)=In0+ln(1+—)沁In0+(—)000独=o二血+£L)=0二£t)+w迎〜0dtdtdt0dt0dz(4)N2三g挈nd((0)+竺w〜0dzdt0g(4)N为浮力频率，又称为布伦特一维赛拉(Brunt-Vaisala)频率。假设空气微团在起始位置(z=z0)与环境空气有相同的密度、气压和温度。即：p(z)=p(z),p(z)=p(z),T(z)=T(z),0(z)=0(z)。其中，“一表示环境。00000000又假设空气微团在铅直方向上作微小位移时，一方面进行的足够慢，以至于其压力不断调整与环境空气气压相同；另一方面有进行的足够快，以至于其来不及与周围环境发生热交换(绝热运动)。即：p=p,dpidz二dpjdz=~Pgdp=0为不可压缩流体(大气)的绝热方程。在绝热条件下：1cdlnp=—dlnp(丫二亠)Ycv上式为可压缩流体(大气)的绝热方程。其推导：

dTc-pdtpRTndp=RTdp+pRdTndp1RTdpdTc-pdtpRTndp=RTdp+pRdTndp1RTdp-ndpdp-RT=一dp—dppcpp=—dp—-^—dppcpp——c—Rn一dp=()dpppcpcndlnp=(7)dlnpcc=—^c=—^)cv—ndlnp=—dlnp(yYdw1dw16p=—g—一dtpdzn孚=-g+Egn竽=—g(口)=(口)g

dtpdtpp在阿基米德（Archimede）原理中上式右端第一项为浮力（b）,运动空气所受到浮力等于所排开p—一-p的与运动空气同体积的环境空气的质量，则单位质量运动空气所受到的浮力大小为b=p—一-p第二项为重力（g）,其差为净的阿基米德浮力（B）,B=）驾=g~p—g空气微团与环境的密度之差：p'=p—p。dw垂直运动方程为：莎=B当空气微团上向运动时，若p'>0，空气微团的密度大于环境的密度，即重力大于浮力，净浮力B<0，铅直方向上减速使空气微团下沉；若?'<0，空气微团的密度小于环境的密度，即重力小于浮力，净浮力B>0，铅直方向上加速使空气微团继续上升。气块在铅直方向满足静力平衡：dwd21Op=(dwd21Op=(8z)=