时间序列 课件

§5.3长期趋势分析时间序列的构成要素与模型线性趋势非线性趋势趋势线的选择§5.3长期趋势分析时间序列的构成要素与模型时间序列的构成要素与模型

（构成要素与测定方法）线性趋势时间序列的构成要素循环波动季节变动长期趋势剩余法移动平均法线性模型法不规则波动非线性趋势趋势剔出法按月(季)平均法Gompertz曲线指数曲线二次曲线修正指数曲线Logistic曲线时间序列的构成要素与模型

（构成要素与测定方法）线性趋势时间一、时间序列的构成要素与模型

（要点）构成因素长期趋势(Seculartrend)呈现出某种持续向上或持续下降的状态或规律季节变动(SeasonalFluctuation)也称季节性(seasonality)时间序列在一年内重复出现的周期性波动循环波动(CyclicalMovement)也称周期性(cyclity)

围绕长期趋势的一种波浪形或振荡式变动不规则波动(IrregularVariations)也称随机性(random)

除去趋势、周期性和季节性之后的偶然性波动一、时间序列的构成要素与模型

（要点）构成因素2.模型时间序列的构成要素分为四种，即长期趋势(T)、季节性或季节变动(S)、周期性或循环波动(C)、随机性或不规则波动(I)乘法模型：Yi=Ti×Si×Ci×Ii

加法模型：Yi=Ti+Si+Ci+Ii

2.模型长期趋势

（概念要点）现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或状态由影响时间序列的基本因素作用形成时间序列的主要构成要素有线性趋势和非线性趋势长期趋势

（概念要点）现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向二、线性趋势现象随时间的推移呈现出稳定增长或下降的线性变化规律测定方法有移动平均法线性模型法二、线性趋势现象随时间的推移呈现出稳定增长或下降的线性变化1.移动平均法

(MovingAverageMethod)测定长期趋势的一种较简单的常用方法通过扩大原时间序列的时间间隔，并按一定的间隔长度逐期移动，计算出一系列移动平均数由移动平均数形成的新的时间序列对原时间序列的波动起到修匀作用，从而呈现出现象发展的变动趋势移动步长为K(1<K<n)的移动平均序列为1.移动平均法

(MovingAverageMetho移动平均法

(实例)表5-61981～1998年我国汽车产量数据年份产量(万辆)年份产量(万辆)19811982198319841985198619871988198917.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3519901991199219931994199519961997199851.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.00【例5.9】已知1981～1998年我汽车产量数据如表5-6。分别计算三年和五年移动平均趋势值，并作图与原序列比较

移动平均法

(实例)表5-61981～1998年我年份时间标号产量(万量)三项移动平均五项移动平均19811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213141516171817.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3551.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.00---20.3925.0833.1137.4542.6349.5456.6758.0760.3976.50102.65124.40137.27143.16150.35156.26---------27.3131.1936.7044.8050.1451.6858.5670.4683.5499.21117.98133.20143.52150.15------年份时间标号产量(万量)三项移动平均五项移动平均198111移动平均法

(趋势图)05010015020019811985198919931997产量五项移动平均趋势值汽车产量（万辆）

图5-1汽车产量移动平均趋势图（年份）移动平均法

(趋势图)0501001502001981198移动平均法

(应注意的问题)移动平均后的趋势值应放在各移动项的中间位置对于偶数项移动平均需要进行“中心化”移动间隔的长度应长短适中如果现象的发展具有一定的周期性，应以周期长度作为移动间隔的长度若时间序列是季度资料，应采用4项移动平均若为月份资料，应采用12项移动平均移动平均法

(应注意的问题)移动平均后的趋势值应放在各移动项2.线性模型法

（概念要点与基本形式）现象的发展按线性趋势变化时，可用线性模型表示线性模型的形式为—时间序列的趋势值t—时间标号a—趋势线在Y轴上的截距b—趋势线的斜率，表示时间t

变动一个单位时观察值的平均变动数量2.线性模型法

（概念要点与基本形式）现象的发展按线性趋势线性模型法

（a和b的最小二乘估计）趋势方程中的两个未知常数

a和

b

按最小二乘法(Least-squareMethod）求得根据回归分析中的最小二乘法原理使各实际观察值与趋势值的离差平方和为最小最小二乘法既可以配合趋势直线，也可用于配合趋势曲线根据趋势线计算出各个时期的趋势值线性模型法

（a和b的最小二乘估计）趋势方程中的两个未线性模型法

（a和b的最小二乘估计）1.根据最小二乘法得到求解a

和b

的标准方程为取时间序列的中间时期为原点时有t=0，上式可化简为解得：解得：线性模型法

（a和b的最小二乘估计）1.根据最小二乘法得返回线性模型法

(实例及计算过程)表5-6汽车产量直线趋势计算表年份时间标号t产量(万辆)Yit×Ytt2趋势值19811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213141516171817.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3551.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.0017.5639.2671.94126.56218.60221.88330.26515.76525.15514.00785.621280.041688.051913.662179.052360.322690.252934.001491625364964811001211441691962252562893240.009.5019.0028.5038.0047.5057.0066.5076.0085.5095.00104.51114.01123.51133.01142.51152.01161.51合计1711453.5818411.9621091453.58【例5.10】利用表5-6中的数据，根据最小二乘法确定汽车产量的直线趋势方程，计算出1981～1998年各年汽车产量的趋势值，并预测2000年的汽车产量，作图与原序列比较返回线性模型法

(实例及计算过程)表5-6汽车产量线性模型法

（计算结果）根据上表得a

和

b结果如下汽车产量的直线趋势方程为$Yt

=-9.4995+9.5004t$Y2000=-9.4995+9.5004

×20=180.51(万辆)2000年汽车产量的预测值为线性模型法

（计算结果）根据上表得a和b结线性模型法

(趋势图)05010015020019811985198919931997汽车产量趋势值

图5-2汽车产量直线趋势（年份）汽车产量（万辆）线性模型法

(趋势图)0501001502001981198三、非线性趋势三、非线性趋势现象的发展趋势为抛物线形态一般形式为（一）二次曲线

(SecondDegreeCurve)a、b、c

为未知常数根据最小二乘法求得现象的发展趋势为抛物线形态（一）二次曲线

(SecondD二次曲线

(SecondDegreeCurve)取时间序列的中间时期为原点时有根据最小二乘法得到求解a、b、c

的标准方程为二次曲线

(SecondDegreeCurve)取时间二次曲线

(实例)【例5.11】

已知我国1978～1992年针织内衣零售量数据如表5-9。试配合二次曲线，计算出1978～1992年零售量的趋势值，并预测1993年的零售量，作图与原序列比较表5-91978～1992年针织内衣零售量年份零售量(亿件)年份零售量(亿件)197819791980198119821983198419857.09.19.710.811.712.113.114.3198619871988198919901991199214.414.815.012.311.29.48.9二次曲线

(实例)【例5.11】已知我国1978～199二次曲线

(计算过程)表5-10针织内衣零售量二次曲线计算表年份时间标号t零售量(亿件)

Ytt×Ytt2t2Ytt4趋势值197819791980198119821983198419851986198719881989199019911992-7-6-5-4-3-2-1012345677.09.19.710.811.712.113.114.314.414.815.012.311.29.48.9-49.0-54.6-48.5-43.2-35.1-24.2-13.1014.429.645.049.256.056.462.349362516941014916253649343.0327.6242.5172.8105.348.413.1014.459.2135.0196.8280.0338.4436.12401129662525681161011681256625129624016.58.410.011.312.313.213.714.014.013.813.312.611.610.38.8合计0173.845.22802712.69352173.8二次曲线

(计算过程)表5-10针织内衣零售量二次二次曲线

（计算结果）根据计算表得a

、

b、c

的结果如下针织内衣零售量的二次曲线方程为$Yt

=13.9924+0.16143t–0.128878t2$Y1993=13.9924+0.16143

×8–0.128878×82

=7.03(亿件)1993年零售量的预测值为二次曲线

（计算结果）根据计算表得a、b、c的结果二次曲线

(趋势图)048121619781980198219841986198819901992零售量趋势值零售量（亿件）图5-3针织内衣零售量二次曲线趋势（年份）二次曲线

(趋势图)04812161978198019821用于描述以几何级数递增或递减的现象一般形式为（二）指数曲线

(Exponentialcurve)a、b为未知常数若b>1，增长率随着时间t的增加而增加若b<1，增长率随着时间t的增加而降低若a>0，b<1，趋势值逐渐降低到以0为极限用于描述以几何级数递增或递减的现象（二）指数曲线

(Expo指数曲线

(a、b的求解方法)取时间序列的中间时期为原点，上式可化简为采取“线性化”手段将其化为对数直线形式根据最小二乘法，得到求解lga、lgb

的标准方程为指数曲线

(a、b的求解方法)取时间序列的中间时期为原指数曲线

(实例及计算结果)【例5.12】根据表5-6中的资料，确定1981～1998年我国汽车产量的指数曲线方程，求出各年汽车产量的趋势值，并预测2000年的汽车产量，作图与原序列比较汽车产量的指数曲线方程为2000年汽车产量的预测值为指数曲线

(实例及计算结果)【例5.12】根据表5-6中的指数曲线

(趋势图)05010015020025019811985198919931997汽车产量趋势值图5-4汽车产量指数曲线趋势（年份）汽车产量（万辆）指数曲线

(趋势图)05010015020025019811指数曲线与直线的比较比一般的趋势直线有着更广泛的应用可以反应出现象的相对发展变化程度上例中，b=1.14698表示1981～1998年汽车产量趋势值的平均发展速度不同序列的指数曲线可以进行比较比较分析相对增长程度指数曲线与直线的比较比一般的趋势直线有着更广泛的应用在一般指数曲线的基础上增加一个常数K一般形式为（三）修正指数曲线

(Modifiedexponentialcurve)K、a、b为未知常数K>0，a≠0，0<b≠1修正指数曲线用于描述的现象：初期增长迅速，随后增长率逐渐降低，最终则以K为增长极限(即当K>0，a<0，0<b<1)在一般指数曲线的基础上增加一个常数K（三）修正指数曲线

(M修正指数曲线

(求解k、a、b的三和法)趋势值K无法事先确定时采用将时间序列观察值等分为三个部分，每部分有m个时期令趋势值的三个局部总和分别等于原序列观察值的三个局部总和修正指数曲线

(求解k、a、b的三和法)趋势值K无法事先修正指数曲线

(求解k、a、b的三和法)设观察值的三个局部总和分别为S1，S2，S3根据三和法求得修正指数曲线

(求解k、a、b的三和法)设观察值的三个将上式右端括号内分别乘以(b-1)/(b-1)，得将上式右端括号内分别乘以(b-1)/(b-1)，得修正指数曲线

(实例)【例5.13】已知1978~1995年我国小麦单位面积产量的数据如表5-12。试确定小麦单位面积产量的修正指数曲线方程，求出各年单位面积产量的趋势值，并预测2000年的小麦单位面积产量，作图与原序列比较表5-121978～1995年小麦单位面积产量数据年份单位面积产量(公斤/公顷)年份单位面积产量(公斤/公顷)197819791980198119821983198419851986184521451890211524452805297029403045198719881989199019911992199319941995298529703045319531053331351934263542修正指数曲线

(实例)【例5.13】已知1978~199修正指数曲线

（计算结果）解得K、a

、b如下修正指数曲线

（计算结果）解得K、a、b如下修正指数曲线

（计算结果）小麦单位面积产量的修正指数曲线方程为$Yt

=3659.149–2230.531(0.87836)t2000年小麦单位面积产量的预测值为$Y2000

=3659.149–2230.531(0.87836)23

=3546.20(kg)修正指数曲线

（计算结果）小麦单位面积产量的修正指数曲线方程修正指数曲线

(趋势图)0100020003000400019781982198619901994单位面积产量趋势值K

图5-5小麦单位面积产量修正指数曲线趋势（年份）产单位面积量（公斤/公顷）K=3659.149修正指数曲线

(趋势图)010002000300040001以英国统计学家和数学家B·Gompertz而命名一般形式为K、a、b为未知常数K>0，0<a≠1，0<b≠1（四）龚铂茨曲线

(Gompertzcurve)所描述的现象：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到一定程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平线两端都有渐近线，上渐近线为YK,下渐近线为Y0以英国统计学家和数学家B·Gompertz而命名K、a、将其改写为对数形式Gompertz曲线

(求解k、a、b的三和法)仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出lga、lgK、b取lga、lgK的反对数求得a和K令：则有：将其改写为对数形式Gompertz曲线

(求解k、a、b的Gompertz曲线

(实例)【例5.14】

根据表5-12的数据，试确定小麦单位面积产量的Gompertz曲线方程，求出各年单位面积产量的趋势值，并预测2000年的小麦单位面积产量，作图与原序列比较Gompertz曲线

(实例)【例5.14】根据表5-1Gompertz曲线

（计算结果）Gompertz曲线

（计算结果）Gompertz曲线

（计算结果）小麦单位面积产量的Gompertz曲线方程为2000年小麦单位面积产量的预测值为Gompertz曲线

（计算结果）小麦单位面积产量的GomGompertz曲线

(趋势图)0100020003000400019781982198619901994单位面积产量趋势值KK=3566.04

图5-6小麦单位面积产量Gompertz曲线趋势（年份）（公斤/公顷）Gompertz曲线

(趋势图)0100020003000（六）罗吉斯蒂曲线

(LogisticCurve)K、a、b为未知常数K>0，a>0，0<b≠11838年比利时数学家Verhulst所确定的名称该曲线所描述的现象的特征与Gompertz曲线类似3.其曲线方程为（六）罗吉斯蒂曲线

(LogisticCurve)K、aLogistic曲线

(求解k、a、b的三和法)取观察值Yt的倒数Yt-1当Yt-1

很小时，可乘以10的适当次方

a、b、K的求解方程为Logistic曲线

(求解k、a、b的三和法)取观察四、趋势线的选择观察散点图根据观察数据本身，按以下标准选择趋势线一次差大体相同，配合直线二次差大体相同，配合二次曲线对数的一次差大体相同，配合指数曲线一次差的环比值大体相同，配合修正指数曲线对数一次差的环比值大体相同，配合Gompertz曲线倒数一次差的环比值大体相同，配合Logistic曲线3.比较估计标准误差四、趋势线的选择观察散点图图形描述

(例题分析)图形描述

(例题分析)图形描述

(例题分析)返回图形描述

(例题分析)返回线性模型法

(例题分析)【例】根据人口自然增长率数据，用最小二乘法确定直线趋势方程，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2001年的人口自然增长率，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较线性趋势方程：预测的估计标准误差：

2001年人口自然增长率的预测值：‰

线性模型法

(例题分析)【例】根据人口自然增长率数据，用最小线性模型法

(例题分析)线性模型法

(例题分析)线性模型法

(例题分析)线性模型法

(例题分析)二次曲线

(例题分析)【例】根据能源生产总量数据，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2001年的能源生产总量，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较二次曲线方程：预测的估计标准误差：

2001年能源生产总量的预测值：二次曲线

(例题分析)【例】根据能源生产总量数据，计算出二次曲线

(例题分析)二次曲线

(例题分析)二次曲线

(例题分析)二次曲线

(例题分析)指数曲线

(例题分析)【例】根据人均GDP数据，确定指数曲线方程，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2001年的人均GDP，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较指数曲线趋势方程：预测的估计标准误差：

2001年人均GDP的预测值：指数曲线

(例题分析)【例】根据人均GDP数据，确定指数曲指数曲线

(例题分析)指数曲线

(例题分析)指数曲线

(例题分析)指数曲线

(例题分析)修正指数曲线

(例题分析)【例】我国1983~2000年的糖产量数据如表。试确定修正指数曲线方程，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2001年的糖产量，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较修正指数曲线

(例题分析)【例】我国1983~2000年的修正指数曲线

(例题分析)修正指数曲线

(例题分析)修正指数曲线

(例题分析)解得K、a

、b如下修正指数曲线

(例题分析)解得K、a、b如下修正指数曲线

(例题分析)糖产量的修正指数曲线方程2001年糖产量的预测值预测的估计标准误差$Yt

=3659.149–2230.531(0.87836)t修正指数曲线

(例题分析)糖产量的修正指数曲线方程$Y修正指数曲线

(例题分析)修正指数曲线

(例题分析)Gompertz曲线

(例题分析)【例】我国1983~2000年的糖产量数据如表。试确定修正指数曲线方程，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2001年的糖产量，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较Gompertz曲线

(例题分析)【例】我国1983~2Gompertz曲线

(例题分析)Gompertz曲线

(例题分析)Gompertz曲线

(例题分析)Gompertz曲线

(例题分析)Gompertz曲线

(例题分析)糖产量的Gompertz曲线方程2001年糖产量的预测值预测的估计标准误差Gompertz曲线

(例题分析)糖产量的GompeGompertz曲线

(例题分析)Gompertz曲线

(例题分析)§5.3长期趋势分析时间序列的构成要素与模型线性趋势非线性趋势趋势线的选择§5.3长期趋势分析时间序列的构成要素与模型时间序列的构成要素与模型

（构成要素与测定方法）线性趋势时间序列的构成要素循环波动季节变动长期趋势剩余法移动平均法线性模型法不规则波动非线性趋势趋势剔出法按月(季)平均法Gompertz曲线指数曲线二次曲线修正指数曲线Logistic曲线时间序列的构成要素与模型

（构成要素与测定方法）线性趋势时间一、时间序列的构成要素与模型

（要点）构成因素长期趋势(Seculartrend)呈现出某种持续向上或持续下降的状态或规律季节变动(SeasonalFluctuation)也称季节性(seasonality)时间序列在一年内重复出现的周期性波动循环波动(CyclicalMovement)也称周期性(cyclity)

围绕长期趋势的一种波浪形或振荡式变动不规则波动(IrregularVariations)也称随机性(random)

除去趋势、周期性和季节性之后的偶然性波动一、时间序列的构成要素与模型

（要点）构成因素2.模型时间序列的构成要素分为四种，即长期趋势(T)、季节性或季节变动(S)、周期性或循环波动(C)、随机性或不规则波动(I)乘法模型：Yi=Ti×Si×Ci×Ii

加法模型：Yi=Ti+Si+Ci+Ii

2.模型长期趋势

（概念要点）现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或状态由影响时间序列的基本因素作用形成时间序列的主要构成要素有线性趋势和非线性趋势长期趋势

（概念要点）现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向二、线性趋势现象随时间的推移呈现出稳定增长或下降的线性变化规律测定方法有移动平均法线性模型法二、线性趋势现象随时间的推移呈现出稳定增长或下降的线性变化1.移动平均法

(MovingAverageMethod)测定长期趋势的一种较简单的常用方法通过扩大原时间序列的时间间隔，并按一定的间隔长度逐期移动，计算出一系列移动平均数由移动平均数形成的新的时间序列对原时间序列的波动起到修匀作用，从而呈现出现象发展的变动趋势移动步长为K(1<K<n)的移动平均序列为1.移动平均法

(MovingAverageMetho移动平均法

(实例)表5-61981～1998年我国汽车产量数据年份产量(万辆)年份产量(万辆)19811982198319841985198619871988198917.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3519901991199219931994199519961997199851.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.00【例5.9】已知1981～1998年我汽车产量数据如表5-6。分别计算三年和五年移动平均趋势值，并作图与原序列比较

移动平均法

(实例)表5-61981～1998年我年份时间标号产量(万量)三项移动平均五项移动平均19811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213141516171817.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3551.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.00---20.3925.0833.1137.4542.6349.5456.6758.0760.3976.50102.65124.40137.27143.16150.35156.26---------27.3131.1936.7044.8050.1451.6858.5670.4683.5499.21117.98133.20143.52150.15------年份时间标号产量(万量)三项移动平均五项移动平均198111移动平均法

(趋势图)05010015020019811985198919931997产量五项移动平均趋势值汽车产量（万辆）

图5-1汽车产量移动平均趋势图（年份）移动平均法

(趋势图)0501001502001981198移动平均法

(应注意的问题)移动平均后的趋势值应放在各移动项的中间位置对于偶数项移动平均需要进行“中心化”移动间隔的长度应长短适中如果现象的发展具有一定的周期性，应以周期长度作为移动间隔的长度若时间序列是季度资料，应采用4项移动平均若为月份资料，应采用12项移动平均移动平均法

(应注意的问题)移动平均后的趋势值应放在各移动项2.线性模型法

（概念要点与基本形式）现象的发展按线性趋势变化时，可用线性模型表示线性模型的形式为—时间序列的趋势值t—时间标号a—趋势线在Y轴上的截距b—趋势线的斜率，表示时间t

变动一个单位时观察值的平均变动数量2.线性模型法

（概念要点与基本形式）现象的发展按线性趋势线性模型法

（a和b的最小二乘估计）趋势方程中的两个未知常数

a和

b

按最小二乘法(Least-squareMethod）求得根据回归分析中的最小二乘法原理使各实际观察值与趋势值的离差平方和为最小最小二乘法既可以配合趋势直线，也可用于配合趋势曲线根据趋势线计算出各个时期的趋势值线性模型法

（a和b的最小二乘估计）趋势方程中的两个未线性模型法

（a和b的最小二乘估计）1.根据最小二乘法得到求解a

和b

的标准方程为取时间序列的中间时期为原点时有t=0，上式可化简为解得：解得：线性模型法

（a和b的最小二乘估计）1.根据最小二乘法得返回线性模型法

(实例及计算过程)表5-6汽车产量直线趋势计算表年份时间标号t产量(万辆)Yit×Ytt2趋势值19811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213141516171817.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3551.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.0017.5639.2671.94126.56218.60221.88330.26515.76525.15514.00785.621280.041688.051913.662179.052360.322690.252934.001491625364964811001211441691962252562893240.009.5019.0028.5038.0047.5057.0066.5076.0085.5095.00104.51114.01123.51133.01142.51152.01161.51合计1711453.5818411.9621091453.58【例5.10】利用表5-6中的数据，根据最小二乘法确定汽车产量的直线趋势方程，计算出1981～1998年各年汽车产量的趋势值，并预测2000年的汽车产量，作图与原序列比较返回线性模型法

(实例及计算过程)表5-6汽车产量线性模型法

（计算结果）根据上表得a

和

b结果如下汽车产量的直线趋势方程为$Yt

=-9.4995+9.5004t$Y2000=-9.4995+9.5004

×20=180.51(万辆)2000年汽车产量的预测值为线性模型法

（计算结果）根据上表得a和b结线性模型法

(趋势图)05010015020019811985198919931997汽车产量趋势值

图5-2汽车产量直线趋势（年份）汽车产量（万辆）线性模型法

(趋势图)0501001502001981198三、非线性趋势三、非线性趋势现象的发展趋势为抛物线形态一般形式为（一）二次曲线

(SecondDegreeCurve)a、b、c

为未知常数根据最小二乘法求得现象的发展趋势为抛物线形态（一）二次曲线

(SecondD二次曲线

(SecondDegreeCurve)取时间序列的中间时期为原点时有根据最小二乘法得到求解a、b、c

的标准方程为二次曲线

(SecondDegreeCurve)取时间二次曲线

(实例)【例5.11】

已知我国1978～1992年针织内衣零售量数据如表5-9。试配合二次曲线，计算出1978～1992年零售量的趋势值，并预测1993年的零售量，作图与原序列比较表5-91978～1992年针织内衣零售量年份零售量(亿件)年份零售量(亿件)197819791980198119821983198419857.09.19.710.811.712.113.114.3198619871988198919901991199214.414.815.012.311.29.48.9二次曲线

(实例)【例5.11】已知我国1978～199二次曲线

(计算过程)表5-10针织内衣零售量二次曲线计算表年份时间标号t零售量(亿件)

Ytt×Ytt2t2Ytt4趋势值197819791980198119821983198419851986198719881989199019911992-7-6-5-4-3-2-1012345677.09.19.710.811.712.113.114.314.414.815.012.311.29.48.9-49.0-54.6-48.5-43.2-35.1-24.2-13.1014.429.645.049.256.056.462.349362516941014916253649343.0327.6242.5172.8105.348.413.1014.459.2135.0196.8280.0338.4436.12401129662525681161011681256625129624016.58.410.011.312.313.213.714.014.013.813.312.611.610.38.8合计0173.845.22802712.69352173.8二次曲线

(计算过程)表5-10针织内衣零售量二次二次曲线

（计算结果）根据计算表得a

、

b、c

的结果如下针织内衣零售量的二次曲线方程为$Yt

=13.9924+0.16143t–0.128878t2$Y1993=13.9924+0.16143

×8–0.128878×82

=7.03(亿件)1993年零售量的预测值为二次曲线

（计算结果）根据计算表得a、b、c的结果二次曲线

(趋势图)048121619781980198219841986198819901992零售量趋势值零售量（亿件）图5-3针织内衣零售量二次曲线趋势（年份）二次曲线

(趋势图)04812161978198019821用于描述以几何级数递增或递减的现象一般形式为（二）指数曲线

(Exponentialcurve)a、b为未知常数若b>1，增长率随着时间t的增加而增加若b<1，增长率随着时间t的增加而降低若a>0，b<1，趋势值逐渐降低到以0为极限用于描述以几何级数递增或递减的现象（二）指数曲线

(Expo指数曲线

(a、b的求解方法)取时间序列的中间时期为原点，上式可化简为采取“线性化”手段将其化为对数直线形式根据最小二乘法，得到求解lga、lgb

的标准方程为指数曲线

(a、b的求解方法)取时间序列的中间时期为原指数曲线

(实例及计算结果)【例5.12】根据表5-6中的资料，确定1981～1998年我国汽车产量的指数曲线方程，求出各年汽车产量的趋势值，并预测2000年的汽车产量，作图与原序列比较汽车产量的指数曲线方程为2000年汽车产量的预测值为指数曲线

(实例及计算结果)【例5.12】根据表5-6中的指数曲线

(趋势图)05010015020025019811985198919931997汽车产量趋势值图5-4汽车产量指数曲线趋势（年份）汽车产量（万辆）指数曲线

(趋势图)05010015020025019811指数曲线与直线的比较比一般的趋势直线有着更广泛的应用可以反应出现象的相对发展变化程度上例中，b=1.14698表示1981～1998年汽车产量趋势值的平均发展速度不同序列的指数曲线可以进行比较比较分析相对增长程度指数曲线与直线的比较比一般的趋势直线有着更广泛的应用在一般指数曲线的基础上增加一个常数K一般形式为（三）修正指数曲线

(Modifiedexponentialcurve)K、a、b为未知常数K>0，a≠0，0<b≠1修正指数曲线用于描述的现象：初期增长迅速，随后增长率逐渐降低，最终则以K为增长极限(即当K>0，a<0，0<b<1)在一般指数曲线的基础上增加一个常数K（三）修正指数曲线

(M修正指数曲线

(求解k、a、b的三和法)趋势值K无法事先确定时采用将时间序列观察值等分为三个部分，每部分有m个时期令趋势值的三个局部总和分别等于原序列观察值的三个局部总和修正指数曲线

(求解k、a、b的三和法)趋势值K无法事先修正指数曲线

(求解k、a、b的三和法)设观察值的三个局部总和分别为S1，S2，S3根据三和法求得修正指数曲线

(求解k、a、b的三和法)设观察值的三个将上式右端括号内分别乘以(b-1)/(b-1)，得将上式右端括号内分别乘以(b-1)/(b-1)，得修正指数曲线

(实例)【例5.13】已知1978~1995年我国小麦单位面积产量的数据如表5-12。试确定小麦单位面积产量的修正指数曲线方程，求出各年单位面积产量的趋势值，并预测2000年的小麦单位面积产量，作图与原序列比较表5-121978～1995年小麦单位面积产量数据年份单位面积产量(公斤/公顷)年份单位面积产量(公斤/公顷)197819791980198119821983198419851986184521451890211524452805297029403045198719881989199019911992199319941995298529703045319531053331351934263542修正指数曲线

(实例)【例5.13】已知1978~199修正指数曲线

（计算结果）解得K、a

、b如下修正指数曲线

（计算结果）解得K、a、b如下修正指数曲线

（计算结果）小麦单位面积产量的修正指数曲线方程为$Yt

=3659.149–2230.531(0.87836)t2000年小麦单位面积产量的预测值为$Y2000

=3659.149–2230.531(0.87836)23

=3546.20(kg)修正指数曲线

（计算结果）小麦单位面积产量的修正指数曲线方程修正指数曲线

(趋势图)0100020003000400019781982198619901994单位面积产量趋势值K

图5-5小麦单位面积产量修正指数曲线趋势（年份）产单位面积量（公斤/公顷）K=3659.149修正指数曲线

(趋势图)010002000300040001以英国统计学家和数学家B·Gompertz而命名一般形式为K、a、b为未知常数K>0，0<a≠1，0<b≠1（四）龚铂茨曲线

(Gompertzcurve)所描述的现象：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到一定程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平线两端都有渐近线，上渐近线为YK,下渐近线为Y0以英国统计学家和数学家B·Gompertz而命名K、a、将其改写为对数形式Gompertz曲线

(求解k、a、b的三和法)仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出lga、lgK、b取lga、lgK的反对数求得a和K令：则有：将其改写为对数形式Gompertz曲线

(求解k、a、b的Gompertz曲线

(实例)【例5.14】

根据表5-12的数据，试确定小麦单位面积产量的Gompertz曲线方程，求出各年单位面积产量的趋势值，并预测2000年的小麦单位面积产量，作图与原序列比较Gompertz曲线

(实例)【例5.14】根据表5-1Gompertz曲线

（计算结果）Gompertz曲线

（计算结果）Gompertz曲线

（计算结果）小麦单位面积产量的Gompertz曲线方程为2000年小麦单位面积产量的预测值为Gompertz曲线

（计算结果）小麦单位面积产量的GomGompertz曲线

(趋势图)0100020003000400019781982198619901994单位面积产量趋势值KK=3566.0