初中数学专题复习解直角三角形(含答案)

第20课时解直角三角形、知识点导航三种关系解直角三角形四种类型解直角三角

形的应用特别是关键的字、词特别是关键的字、词课题学习、中考课标要求考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用解直角三角形会利用各种关系解直角三角形VV了解测量中的概念「V能解决某些实际问题VV三、中考知识梳理.解直角三角形的应用题对于解直角三角形的应用题，首先要认真反复读题，弄清题意其次要准确地画出图形..解斜三角形对于斜三角形要通过作高把斜三角形转化为直角三角形.四、中考题型例析1、解直角三角形例1（2004•四川）如图,在△ABC中,/0=90°,/B=30°,AD是/BAC的平分线，已知AB=4万，那么AD=.分析：在Rt^ACD中，可得/CAD=30，则再需设法找出另一条件，可以先解RtAACB,求出AC,从而求出AD.解：在RtMBC中,/B=30,

AC=1AB=2.3,2・./CAB=90-ZB=90°-30°=60°，一_1，一一一/CAD=1/CAB=302在RtAACD中,cos/CAD=AC,ADAC23AD==0=4.cosCADcos30答案：4..解斜三角形例2（2003-兰州）如图所示，在△ABC中，/B=45°,AC=5,BC=3.求:sinA和AB.,因此需过C点作,因此需过C点作CDLAB,利解：过C作CD!AB,D为垂足.在RtABCD中，/B=45°,BC=3,DC=BCsin45BD=CD号,在RtAADC中,AC=5,CD=3—223282sinA=〔0,AD=,AB=BD+AD=282.2.解直角三角形的应用题例3（2004•青岛）青岛位于北纬36°4',通过计算可以求得：在冬至日正午时分的太阳入射角为30°30'.因此，在规划建设楼高为20m的小区时，两楼间的距离最小为m,才能保证不挡光？（结果保留四个）（提示:sin30°30'=0.507,tan30°30'=0.5890）分析：两楼间的最小距离应为一20—tan30030答案:33.96或33.95.例4（2003•青岛）如图，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只，正以24海里/小时的速度向

正东方向航行.为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问①需要几小时才能追上？（点B为追上时的位置，②确定巡逻艇的追赶方向（精确到0.1°）.参考数据：sin66.8°0.9191cos66.8°0.3939sin67.4°0.9231cos67.4°0.3846sin68.4°0.9298cos68.4°0.3681sin70.6°0.9432cos70.6°0.3322分析：解题的关键是根据题意计算△ABO的各边长，然后利用勾股定理列方程即可解得.对于第(2)问借助sin/AOB幽，可求出/AOB的大小.OB解：(1)如图，设需要t小时才能追上，则AB=24t,OB=26t.在Rt^AOB中,OB2=OA+AE2,即(26t)2=102+(24t)2.解得t=±1.t=-1不合题意，舍去.1-1=1.(2)在Rt△AOB中，AB24t12-sinZAOB=-=——=—%0.9231,OB26t13/AOB=67.4°.即巡逻艇的追赶方向为北偏东67.4°.基础达标验收卷一、选择题.（2003・黄石）每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们体会到了国旗的神圣.某同学产生了用所学知识测量旗杆高度的想法.在地面距杆脚5m远的地方，他用测倾器测得杆顶的仰角为a,则tana=3,则杆高（不计测倾器高度）为（）.A.10mB.12mC.15mD.20m.（2003・恩施）如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°,沿着倾角为30°的山坡前进1000m到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°,则山的高BC大约是（精确到0.01）（）.A.1366.00m;B.1482.12m;C.1295.93m;D.1508.21m.（2003・孝感）铁路路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为2:3,顶宽6m,路基高4m,则路基的下底宽（）.A.18mB.15mC.12mD.10m.(2003•昆明)已知：Rt△ABC中，/C=90°,cosA=3,AB=15，则5

AC的长是（）.A.3B.6C.9D.12.（2004•黄冈）如图，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度,选M点作为观测点,从M点测量山顶P的仰角（视线在水平线上方，与水平线所夹的角）为30°,在比例尺为1:50000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6cm,则山顶P的海拔高度为（）A.1732m;B.1982m;C.3000m;D.3250m二、填空题.（2004.上海）某山路的路面坡度i=1:J399,沿此山路向上前进200m,升高了m..（2004.潍坊）某落地钟钟摆的摆长为0.5m,来回摆动的最大夹角为20。.已知在钟摆的摆动过程中，摆锤离地面的最低高度为am,最大高度为bm,则b-a=m（不取近似值）..（2003.鄂州）如图，4ABC中，/C=90°，点D在BC上,BD=6,AD=BC,cos/ADC=3,贝UDC的长为.5三、解答题.（2004・泉州）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD坡角a=28°，斜坡AB=9m,求拦水坝的高BE.(精确至ij0.1m,供选用的数据：sin28°=0.469,cos28°，斜坡AB=9m,求拦水坝的=0.5317,cos28°=1.8807).(2003.连云港)如图，在4ABC中,AD是BC边上白^高，tanB=cos/DAC.(1)求证:AC=BD;(2)若sinC=12,BC=12,求AD的长.13

.（2004•辽宁）已知，如图,A、B、C三个村庄在一条东南走向的公路沿线上,AB=2km.在B村的正北方向有一个D村，测得/DAB=45，/DCB=28,今将△ACEK域进彳T规划，除其中面积为0.5km2的水塘外，准备把剩余的一半作为绿化用地，试求绿化用地的面积.（结果精确到0.1km2,sin28°=0.4695,cos28°=0.8829,tan28°=0.5317,cos28°=1.8807).（2003•汕头）我市某区为提高某段海堤的防海潮能力，计划将长96m的一堤段（原海堤的横断面如图中的梯形ABCD的堤面加宽1.6m,背水坡度由原来的1:1改成1:2,已知原背水坡长AD=8.0m,求完成这一工程所需的土方，要求保留两个有效数字.（注：坡度=坡面与水平面夹角的正切值；提供数据：^2^1.41,73^1.73,75^2.24）

能力提高练习一、开放探索题1.（2003.海南）如图，在Rt^ABC中,a、b分别是/A/B的对边，c为斜边，如果已知两个元素a、/B,就可以求出其余三个未知元素b、c、/A.（1）求解的方法有多种，请你按照下列步骤，完成一种求解过程：求出2^第一步.由条件:求出2^第一步.由条件:用关系式a、/B第一步：由条件:用关系式求出第一步：由条件:]用关系式求出a、/B的一个具体数值，然后按照（1）中的思路，求出b、c、/A（2）请你分别给出的值.二、实际应用题2.（2004.沈阳）某地有一居民楼，窗户朝南，窗户的高度为hm,此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为a,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为（如图1-15-23.小明想为自己家的窗户设计一个直角三角形遮阳篷BCD.要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限制地使冬天温暖的阳光射入室内.小明查阅了有关资料，获得了所在地区/“和/3的相应数据：/”=24°36',/3=73°30',小明又得窗户的高AB=1.65m.若同时满足下面两个条件,（1）当太阳光与地面的夹角为a时，要想使太阳光刚好全部射入室内;（2）当太阳光与地面的夹角为3时，要想使太阳光刚好不射入室内，请你借助下面的图形（如图），帮助小明算一算，遮阳篷BCD中,BC和CD的长各是多少?（精确到0.01m）以下数据供计算中选用sin24°36'=0.416cos24°36'=0.909

tan24°36=0.458cot24°36=2.184sin73°30'=0.959cos73°30'=0.284tan73°30'=3.376cot7330'=0.2963.（2004.常德）高速公路旁有一矩形坡面，其横截面如图所示，公路局为了美化公路沿线环境，决定把矩形坡面平均分成11段相间种草与栽花.已知该矩形坡面的长为550m,铅直高度AB为2m,坡度为2:1，若种草每平方米需投资20元，栽花每平方米需投资15元，求公路局将这一坡面美化最少需投资多少元?（结果保留三个有效数字）.4.（2004.南京）如图，天空中有一个静止的广告气球C,从地面A点测得C点的仰角为45°,从地面B点测得C点的仰角为60°.已知AB=20m点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）.答案：基础达标验收卷一、1.C2,A3.A4.C5.B二、1.102.I(1-cos10°)3.92三、1.在Rt^ABE中,AB=9m,a=28°,•.sina=BE,.1.BE=AB.sina=9Xsin28°〜9X0.47=4.23=4.2(m).AB答：拦水坝的高BE约为4.2m..(1)证明：在RtAABD^DRt^ADC中，・.・tanB=AD,cos/DAC=AD,BDAC又tanB=cos/DAC,AD=AD,,AC=BD.BDAC(2)解:在RtMDC中,由sinC=12,13可设AD=12k,贝UAC=13k,由勾股定理，得CD=5k,又由(1)知BD=AC=13k,•・13k+5k=12,解得k=-,3AD=8..解：在Rt^ABD中，「/ABD=90，/DAB=45,/ADB=45,BD=AB=2km.在RtABCD中，••cot/BCD=BC,/DCB=28,BDBC=BD.cotZBCD=2cot28°〜3.75(km).••SAACD=1AC-Bg5.76(km2).2•.S绿地〜2.6km2.答：绿化用地的面积约为2.6km2..解：如图，作EG!FB于G,DHLFB于H,记堤高为h,贝UEG=DH=h.由tan/DAH=1:1=1,得/DAH=45.h=DH=ADsinZDAH=8sin45°=8X半=4后，

AH=DH=4,2,由tan/F=EG:FG=1:2,得FG=2EG=2h8、2,FA=FH-AH=(FG+GH)-AH=(82+ED)-4.2=4.2+1.6,.•・海堤断面增加的面积S梯形FADE」(ED+FA)-h2~6.4.2X1.41+16=25.0(m2)，工程所需土方=96XS梯形FADE=96X25.0=2400=2.4X103(m3).答：完成这工程约需土方2.4X103n3.1.(1)cosB=a,c;1.(1)cosB=a,c;c(2)略/B,/A+ZB=90°,/A;a、/B,tanB=b,b.

a.解：在RtABCD中,tan/CDB匹,/CDBha,CDBC=CDtan/CDB=CDtana.在RtAACD中,tan/CDA=AC,/CDAW3,CDAC=CDtan/CDA=CDtan3•••AB=AC-BC=CDtan3-CD•tana=CD(tan3-tana).CD=ABtan:-tanCD=ABtan:-tan1.653.376-0.458〜0.57(m).BC=CDtan/CD氏0.57X0.458=0.26(m).答:BC的长约为0.26m,CD的长约为0.57m..解:..AB=2m,tan/ACB=2:1,BC=1mJAC=j22+12=遥.550m长的坡面平均分成了11块，故每块坡面长为50m,为减少投资，应用6块坡面种花,5块