(辅导班专用)人教版数学九年级暑假讲义+课堂小测(提高班)12《圆心角和圆周角》（教师版）

1616第12讲圆心角和圆周角课前训练课前训练1.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不一定成立的是(B)(A)AC=AD(B)OM=MB(C)∠BCD=∠BDC(D)QUOTE=QUOTE第1题图第2题图2.如图,在半径为5的☉O中,弦AB=6,OP⊥AB,垂足为点P,则OP的长为(C)(A)3(B)2.5(C)4(D)3.53.(2017眉山)如图,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8cm,DC=2cm,则OC=___5___cm.

第3题图第4题图4.如图,在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片,则弓形弦AB的长为___24___cm.5.如图,一条赛道的急转弯处是一段圆弧QUOTE,点O是这段弧所在圆的圆心,AC=10m,B是QUOTE上一点,OB⊥AC,垂足为D,BD=1m,求这段弯路的半径.解:因为OB⊥AC,所以AD=AC=5m,设OA=r,则OD=r-BD=r-1,在Rt△AOD中,由勾股定理,得AD2+OD2=OA2,即52+(r-1)2=r2.解得r=13,答:这段弯路的半径是13m.知识精讲知识精讲知识点一圆心角的概念 定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．知识点二弧、弦、圆心角之间的关系 1．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．2．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．3．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．温馨提示：在同圆或等圆中，两条弧(一般同为优弧或劣弧)、两条弦、两个圆心角中，只要有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等．知识点三圆周角及圆周角定理 1．定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．圆周角必须具备两个特征：(1)顶点在圆上；(2)两边都与圆相交．温馨提示：同一条弧所对的圆周角有无数个．2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．知识点四圆周角定理的推论 圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．温馨提示：(1)在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等．(2)在同圆和等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦及两个圆周角中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．(3)如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．注意：在圆中出现直径，由圆周角定理的推论可知直径所对的圆周角等于90°，在直角三角形中，可利用直角三角形的两锐角互余计算角的度数，利用勾股定理计算边的长度．知识点五圆内接四边形的性质 1．圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．2．圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．温馨提示：(1)内接和外接是一个相对的概念，是一种位置关系．(2)每一个圆有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆．(3)圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角．弧、弦、圆心角之间的关系高频考点一弧、弦、圆心角之间的关系高频考点一1.1、下列四个图中的角，是圆心角的是(D)1.2、如图所示,在☉O中,QUOTE=QUOTE,则在①AB=CD;②AC=BD;③∠AOC=∠BOD;④QUOTE=QUOTE,⑤△AOB≌△COD中,正确的个数是(D)(A)2 (B)3 (C)4 (D)51.在☉O中,由QUOTE=QUOTE可得AB=CD,∠AOB=.

2.已知QUOTE=QUOTE,即QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE,可得=QUOTE,AC=BD,∠AOC=.

3.由OA=OC=OB=OD,AB=CD,可证△AOB≌△COD.1.3、如图所示，A，B是半径为3的⊙O上的两点，若∠AOB＝120°，C是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，则四边形AOBC的周长等于________．[解析]∵C是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，∴∠AOC＝∠BOC.又∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∴△AOC和△BOC都是等边三角形，∴OA＝OB＝CA＝CB＝3，∴四边形AOBC的周长等于12.1.4、如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40°，∠C＝20°，则∠B＝________°.[解析]如图，连接OA.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝20°.∵∠BAC＝40°，∴∠OAB＝60°.∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝60°.1.5、如图，在⊙O中，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(CB,\s\up8(︵))，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，求证：AD＝BE.证明：连接OC，∵eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(CB,\s\up8(︵))，∴∠AOC＝∠BOC.∵CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，∴∠CDO＝∠CEO＝90°.在△COD与△COE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AOC＝∠BOC，,∠CDO＝∠CEO，,CO＝CO，))∴△COD≌△COE(AAS)，∴OD＝OE.又∵AO＝BO，∴AO－OD＝BO－OE，即AD＝BE.【变式训练1-1】已知,是同圆的两段弧,且=2,则弦AB与2CD之间的关系为(B)(A)AB=2CD (B)AB<2CD(C)AB>2CD (D)不能确定【变式训练1-2】如图,AB是圆O的直径,BC,CD,DA是圆O的弦,且AD=CD=BC,则∠BCD等于(C)(A)100° (B)110°(C)120° (D)135°【变式训练1-3】如图所示，AB是⊙O的直径，C，D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，则∠ACE的度数为________．[解析]如图，连接OC.∵AB是直径，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°.又∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形．∵CE⊥OA，∴∠ACE＝eq\f(1,2)∠ACO＝eq\f(1,2)×60°＝30°.【变式训练1-4】如图,以▱ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作☉A,分别交BC,AD于E,F,交BA的延长线于G,判断和是否相等,并说明理由.解:=.理由:连接AE.因为AB=AE,所以∠B=∠AEB,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,所以∠B=∠GAF,∠FAE=∠AEB,所以∠GAF=∠FAE.所以=.圆周角、圆周角、圆周角定理及其推论高频考点二2.1、下列四个图中，∠α是圆周角的是(C)2.2、如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数是(B)A．75°B．70°C．65°D．35°2.3、如图，△ABC的顶点A，B，C在⊙O上，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC的长为2eq\r(2).2.4、如图:将半径为2厘米的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为(D)A.厘米 B.2厘米C.3厘米 D.2厘米2.5、如图，△ABC的高AD，BF相交于点H，AD的延长线交△ABC的外接圆于点E.求证：DH＝DE.证明：连接BE.∵AD，BF是△ABC的高，∴∠FBC＋∠C＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，∴∠FBC＝∠CAD.∵∠CBE＝∠CAD，∴∠FBC＝∠CBE.又∵BD＝BD，∠BDH＝∠BDE＝90°，∴△BDH≌△BDE，∴DH＝DE.【变式训练2-1】如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为()A．100°B．110°C．115°D．120°[解析]连接AC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠AED＝20°，∴∠ACD＝20°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝110°.故选B.【变式训练2-2】如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为()A．6B．8C．5eq\r(2)D．5eq\r(3)[解析]B如图，将△COD绕点O顺时针旋转，使OC与OB重合，点D的对应点为D′，则BD′＝CD＝6，∠BOD′＝∠COD.∵∠AOB与∠COD互补，∴∠AOB与∠BOD′互补，∴A，O，D′三点共线，即AD′是⊙O的直径．∴∠ABD′＝90°.∴AB＝eq\r(AD′2－BD′2)＝eq\r(102－62)＝8，故选B.【变式训练2-3】已知：如图，△ABC的顶点A，B，C在⊙O上，N为eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点，M为eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，AN与BM相交于点P，连接NB.求证：NB＝NP.证明：∵eq\o(AM,\s\up8(︵))＝eq\o(CM,\s\up8(︵))，∴∠ABM＝∠CBM.∵eq\o(BN,\s\up8(︵))＝eq\o(CN,\s\up8(︵))，∴∠BAN＝∠CAN.∵∠CAN＝∠CBN，∴∠BAN＝∠CBN，∴∠NPB＝∠BAN＋∠ABM＝∠CBN＋∠CBM＝∠NBP，∴NB＝NP.圆的内接四边形高频考点圆的内接四边形高频考点三3.1、如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的度数为()A．115°B．105°C．100°D．95°[解析]B因为圆内接四边形的对角互补，所以∠BAD＋∠BCD＝180°，所以∠BCD＝75°，所以∠DCE＝180°－75°＝105°.3.2、如图，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则∠C的度数为()A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°[解析]D∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝22.5°，∴∠AOB＝180°－22.5°－22.5°＝135°，∴∠C＝180°－eq\f(1,2)×135°＝112.5°.3.3、如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交☉O于点F,连接FB,FC.求证:∠FBC=∠BCF.证明:因为四边形ACBF是☉O的内接四边形,所以∠FBC+∠FAC=180°.因为∠FAC+∠CAD=180°,所以∠FBC=∠CAD.因为AD平分∠EAC,所以∠CAD=∠DAE.因为∠DAE=∠BAF,∠BAF=∠BCF,所以∠CAD=∠BCF.所以∠FBC=∠FCB.【变式训练3-1】如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是()A．75°B．90°C．105°D．120°[解析]C方法一：连接AD，∵OA＝OD，∠AOD＝30°，∴∠A＝75°.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C＝180°－∠A＝105°.方法二：连接AC，则∠ACD＝eq\f(1,2)∠AOD＝15°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＋∠ACB＝105°.【变式训练3-2】如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝________°.[解析]连接CE，则∠B＋∠AEC＝180°，∠DEC＝∠CAD＝35°，∴∠B＋∠AED＝(∠B＋∠AEC)＋∠DEC＝180°＋35°＝215°.【变式训练3-3】如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径．证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°－∠B＝130°.又∵∠ACD＝25°，∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD.(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°，∴AB是⊙O的直径．提高训练提高训练1.如图,点A是半圆上一个三等分点,点B是的中点,点P是直径MN上一动点,若☉O的直径为2,则AP+BP的最小值是.

2.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，若AC＝6，BD＝5eq\r(2)，则BC的长为________．[解析]连接DA，因为∠ACB＝90°，所以AB为直径，所以∠ADB＝90°.因为CD平分∠ACB，所以BD＝AD＝5eq\r(2).在Rt△ABD中，AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝eq\r(（5\r(2)）2＋（5\r(2)）2)＝10.在Rt△ABC中，BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(102－62)＝8.3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接OD交BE于点M，且MD＝2，则BE的长为________.[解析]连接AD，如图所示．∵以AB为直径的⊙O与BC交于点D，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，即AD⊥BC.又∵AB＝AC，∴BD＝CD.∵OA＝OB，∴OD∥AC，∴OD⊥BE，∴BM＝EM，∴CE＝2MD＝4，∴AE＝AC－CE＝6，∴BE＝eq\r(AB2－AE2)＝eq\r(102－62)＝8.4.如图,AB是☉O的弦,AB=5,点C是☉O上的一个动点,且∠ACB=45°,若点M,N分别是AB,AC的中点,则MN长的最大值是.

5.如图,弦AB的长等于☉O的半径,那么弦AB所对的圆周角的度数是30°或150°.

6.如图,∠AOB=90°,C,D是的三等分点,AB分别交OC,OD于点E,F,求证:AE=CD.证明:连接AC,因为∠AOB=90°,C,D是的三等分点,所以==,所以∠AOC=∠COD=∠BOD=30°.所以AC=CD.又OA=OC,所以∠ACE=×(180°-30°)=75°.因为∠AOB=90°,OA=OB,所以∠OAB=45°,∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°.所以∠ACE=∠AEC.所以AE=AC.所以AE=CD.7.如图，已知⊙O上依次有A，B，C，D四个点，eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，连接AB，AD，BD，延长AB到点E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF.求证：BF＝eq\f(1,2)BD.证明：连接AC.∵AB＝BE，F是EC的中点，∴BF是△EAC的中位线，∴BF＝eq\f(1,2)AC.∵eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＋eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＋eq\o(AB,\s\up8(︵))，即eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∴BD＝AC，∴BF＝eq\f(1,2)BD.8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.(1)求证：∠1＝∠F；(2)若AC＝4，EF＝2eq\r(5)，求CD的长．解：(1)证明：如图，连接DE.∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°.又∵E是AB的中点，∴AD＝BD，∴∠1＝∠B.又∵∠B＝∠F，∴∠1＝∠F.(2)∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝2eq\r(5)，∴AB＝2AE＝4eq\r(5).在Rt△ABC中，∵AC＝4，∠C＝90°，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝8.设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，∴AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，即CD＝3.9.(1)如图①，AB和BC是⊙O的两条弦，BC＞AB，M是eq\o(ABC,\s\up8(︵))的中点，MD⊥BC，垂足为D.求证：CD＝AB＋BD；(2)如图②，已知等边三角形ABC内接于⊙O，AB＝2，D为⊙O上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，求△BDC的周长．解：(1)证明：如图，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG.∵M是eq\o(ABC,\s\up8(︵))的中点，∴MA＝MC.又∵∠A＝∠C，∴△MBA≌△MGC，∴MB＝MG.∵MD⊥BC，∴BD＝GD，∴CD＝CG＋GD＝AB＋BD.(2)∵∠ABE＝45°，AE⊥BD，∴△ABE是等腰直角三角形．∵AB＝2，∴BE＝eq\r(2).∵AB＝AC，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，即A是eq\o(BDC,\s\up8(︵))的中点．由第(1)问可知，BD＋CD＝2BE＝2eq\r(2).∴△BDC的周长＝BC＋BD＋CD＝2＋2eq\r(2).10.如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为eq\o(AN,\s\up8(︵))的中点，P是直径MN上一动点．(1)利用尺规作图，确定当PA＋PB最小时点P的位置(不写作法，但要保留作图痕迹)；(2)求PA＋PB的最小值．[解析](1)画出点A关于MN的对称点A′，连接A′B，与MN的交点即为点P.(2)利用∠AMN＝30°得∠AON＝∠A′ON＝60°，又由B为eq\o(AN,\s\up8(︵))的中点，可得∠BON＝30°，∴∠A′OB＝90°，再由勾股定理求得PA＋PB的最小值为2eq\r(2).解：(1)如图，点P即为所求．(2)如图，连接OA，OA′，OB.由(1)可得PA＋PB的最小值即为线段A′B的长．∵点A′和点A关于MN对称且∠AMN＝30°，∴∠AON＝∠A′ON＝2∠AMN＝60°.又∵B为eq\o(AN,\s\up8(︵))的中点，∴∠BON＝eq\f(1,2)∠AON＝30°，∴∠A′OB＝90°.∵MN＝4，∴OB＝OA′＝2.在Rt△A′OB中，由勾股定理得A′B＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).∴PA＋PB的最小值是2eq\r(2).课堂小测课堂小测1．下列说法中正确的是(B)A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，它们所对的弦也相等D．等弦所对的圆心角相等2．如图，在⊙O中，若C是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于()A．40°B．45°C．50°D．60°[解析]∵∠A＝50°，OA＝OB，∴∠B＝∠A＝50°，∴∠AOB＝180°－50°－50°＝80°.∵C是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，∴∠BOC＝eq\f(1,2)∠AOB＝40°.故选A.3．如图，AB是⊙O的直径，eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵))，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是()A．51°B．56°C．68°D．78°A[解析]∵eq\o(BC,\s\up8(︵))