(辅导班专用)人教版数学九年级暑假讲义+课堂小测(提高班)18《开学考综合复习》（教师版）

88第18讲开学考综合复习二次根式二次根式类型一：常规运算典例：计算：(1)(4－3)÷2；(2)(3＋)(－4)【解析】(1)原式=2－.(2)原式=（3+）（3-4）=-30.巩固练习1、计算：（1）；（2）（﹣）（+）+（﹣1）2【解析】(1)原式===；(2)原式==.2、已知，求的值【答案】4.【解析】,，,．类型二：分式与二次根式相结合的相关问题典例：先化简，再求值：，其中．【答案】，解：（a-1+）÷（a2+1）=·=当时，原式=方法或规律点拨此类问题一般解法是先化简，再将数值代入求值，是对二次根式计算的综合考查，熟练掌握二次根式化简，加减乘除混合运算及立方根的知识是解决本题的关键.巩固练习1、先化简，再求值：1x+y+1x−y÷1xy+y2【答案】2xyx−y，1解：原式=[x−y(x+y)(x−y)+x+y当x=5+2，y=5−2时，原式=2(52、先化简，再求值：，其中a=+1．【答案】【解析】当a=+1时，原式=====2.3、先化简，再求值：，其中x=2﹣1．【答案】解：==，把x=2-1代入得，原式==．类型三：与图形有关的二次根式计算典例：如图，在等腰三角形ABC中，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DE⊥AC，点E、F分别是垂足，若DE+DF=22，△ABC的面积为86解：连接AD，由题意可得：AB=AC，S△ABC=S△ABD+S△ADC=12×DE×AB+12×DF×AC=12故12×22AB=，解得：AB=832方法或规律点拨此类问题解答思路是通过几何计算列出代数式或方程，然后根据二次根式相关性质进行计算.巩固练习1、区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展9000m2的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为243m、宽为128m．（1）求该长方形土地的周长；（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：6≈2.45）【答案】（1）(183【解析】（1）由题意可得，该长方形土地的周长是：（243+128）×2=(93即该长方形土地的周长是(183（2）由题意可得，在该长方形土地上全部种植草坪的总费用是：243×128×2=93即在该长方形土地上全部种植草坪的总费用352.8元．2、已知某三角形的面积等于长、宽分别为、的矩形的面积，若该三角形的一条边长为，求这条边上的高．解：．答：这条边上的高为．3、已知：x,y为实数，且y≺x−1+1−x解：由题意可知:x−1≥0且1−x≥0∴x=1勾股定理勾股定理类型一：勾股定理与折叠问题典例：5、如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是长方形,B点的坐标是(2,3),C点的坐标是(2,0).若E是线段BC上的一点，长方形ABCO沿AE折叠后，B点恰好落在x轴上的P点处，求出此时P点和E点的坐标。解：由题意得：OC=AB=，BC=AO=3，由折叠可得：AP=AB=，PE=BE，∴OP==，PC=OC-OP=，设BE=PE=x，则EC=3-x；在Rt△PEC中，由勾股定理得：PE2=EC2+PC2，∴x2=（3-x）2+3，解得：x=2，EC=3-2=1，∴P点和E点的坐标分别为P（，0）、E（，1）．巩固练习1、如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=8．（1）求对角线AC的长；（2）点E是线段CD上的一点，把△ADE沿着直线AE折叠．点D恰好落在线段AC上，与点F重合，求线段DE的长．解：（1）在直角△ABC中，AC==10；（2）根据题意得AF=AD=BC=8，DE=EF，FC=AC-AF=10-8=2．设DE=x，则EC=CD-DE=6-x，EF=DE=x．在直角△CEF中，EF2+FC2=EC2，则x2+4=（6-x）2，解得：x=．类型二：勾股定理与网格图典例：如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）建立适当的平面直角坐标系后，若点A（3，4）、C（4，2），则点B的坐标为；（2）图中格点△ABC的面积为；（3）判断格点△ABC的形状，并说明理由．（1）解：∵点A（3，4）、C（4，2），∴点B的坐标为（0，0）；故答案为：（0，0）；（2）解：图中格点△ABC的面积=4×4-1212×4×2-1212×4×3-1212×2×1=5；故答案为：5；（3）解：格点△ABC是直角三角形．理由如下：由勾股定理可得：AB2=32+42=25，BC2=42+22=20，AC2=22+12=5，∴BC2+AC2=20+5=25，AB2=25，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．方法或规律点拨本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、坐标与图形性质；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．巩固练习1、如图，在规格为8×8的边长为1个单位的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），△ABC的三个顶点都在格点上，且直线m、n互相垂直．（1）画出△ABC关于直线n的对称图形△A′B′C′；（2）直线m上存在一点P，使△APB的周长最小；①在直线m上作出该点P；（保留画图痕迹）②△APB的周长的最小值为．（直接写出结果）解：（1）如图△A′B′C′为所求图形．（2）①如图：点P为所求点．②∵△ABP的周长=AB+AP+BP=AB+AP+B''P∴当AP与PB''共线时，△APB的周长有最小值．∴△APB的周长的最小值AB+AB''=+3故答案为+3类型四：勾股定理的实际应用典例：如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度．（滑轮上方的部分忽略不计）解：设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，解得：x=17，即旗杆的高度为17米．方法或规律点拨本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．巩固练习1、《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远