四川省遂宁市二中2022年数学高一上期末学业质量监测试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若直线与直线垂直，则()A.1 B.2C. D.2．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（）A.－1<a<1 B.0<a<2C.－<a< D.－<a<3．已知，，是三个不同的平面，是一条直线，则下列说法正确的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则4．已知幂函数在上单调递减，则m的值为（）A.0 B.1C.0或1 D.5．已知矩形，，，沿矩形的对角线将平面折起，若四点都在同一球面上，则该球面的面积为（）A. B.C. D.6．函数的最大值为（）A. B.C. D.7．设命题p:∀x∈0,1，x>xA.∀x∈0,1，x<x3C.∀x∈0,1，x≤x38．设函数，若关于方程有个不同实根，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.9．用样本估计总体，下列说法正确的是A.样本的结果就是总体的结果B.样本容量越大，估计就越精确C.样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态D.数据的方差越大，说明数据越稳定10．圆关于直线对称的圆的方程为A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数若互不相等，且，则的取值范围是12．已知函数，若，则实数的取值范围为______.13．函数的部分图像如图所示，轴，则_________，_________14．不等式的解集为_____________.15．一条从西向东的小河的河宽为3.5海里，水的流速为3海里/小时，如果轮船希望用10分钟的时间从河的南岸垂直到达北岸，轮船的速度应为______；16．已知函数若，则的值为______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数（a＞0且）是偶函数，函数（a＞0且）（1）求b的值；（2）若函数有零点，求a的取值范围；（3）当a＝2时，若，使得恒成立，求实数m的取值范围18．已知函数，其中（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求m的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求m的取值范围19．已知圆的一般方程为.(1)求的取值范围;(2)若圆与直线相交于两点，且(为坐标原点)，求以为直径的圆的方程.20．如图，公路围成的是一块顶角为的角形耕地，其中，在该块土地中处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园.（1）以为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出点的坐标；（2）三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路所在直线方程.21．已知直线经过直线与直线的交点，且与直线垂直.（1）求直线的方程；（2）若直线与圆相交于两点，且，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】分析直线方程可知，这两条直线垂直，斜率之积为－1.【详解】由题意可知，即故选：B.2、C【解析】根据新定义把不等式转化为一般的一元二次不等式，然后由一元二次不等式恒成立得结论【详解】∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，∴不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，解得，故选:C.3、A【解析】利用面面垂直的性质，线面的位置关系，面面的位置关系，结合几何模型即可判断.【详解】对于A，在平面内取一点P，在平面内过P分别作平面与，与的交线的垂线a,b，则由面面垂直的性质定理可得，又，∴，由线面垂直的判定定理可得，故A正确；对于B，若，，则与位置关系不确定，可能与平行、相交或在内，故B错误；对于C，若，，则与相交或平行，故C错误；对于D，如图平面，且，，，显然与不垂直，故D错误.故选：A.4、A【解析】根据幂函数得的定义，求得或，结合幂函数的性质，即可求解.【详解】由题意，幂函数，可得，解得或，当时，可得，可得在上单调递减，符合题意；当时，可得，可得在上无单调性，不符合题意，综上可得，实数的值为.故选：A.5、C【解析】矩形ABCD,AB=6，BC=8，矩形的对角线AC=10为该球的直径，所以该球面的面积为.故选C.6、C【解析】先利用辅助角公式化简，再由正弦函数的性质即可求解.【详解】，所以当时，取得最大值，故选：C7、D【解析】直接根据全称命题的否定，即可得到结论.【详解】因为命题p:∀x∈0,1，x所以¬p：∃x∈0,1，x故选：D8、B【解析】等价于，即或，转化为与和图象交点的个数为个，作出函数的图象，数形结合即可求解【详解】作出函数的图象如下图所示变形得，由此得或，方程只有两根所以方程有三个不同实根，则，故选：B【点睛】易错点点睛：本题的易错点为函数的图像无限接近直线，即方程只有两根，另外难点在于方程的变形，即因式分解9、B【解析】解：因为用样本估计总体时，样本容量越大，估计就越精确，成立选项A显然不成立，选项C中，样本的标准差可以近似地反映总体的稳定状态，、数据的方差越大，说明数据越不稳定，故选B10、A【解析】由题意得，圆心坐标为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以对称圆方程为考点：点关于直线的对称点；圆的标准方程二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、（10，12）【解析】不妨设a<b<c，作出f(x)的图象，如图所示：由图象可知0<a<1<b<10<c<12，由f(a)=f(b)得|lga|=|lgb|，即−lga=lgb，∴lgab=0，则ab=1，∴abc=c，∴abc的取值范围是(10,12)，12、或【解析】令，分析出函数为上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可.【详解】令，对任意的，，故函数的定义域为，因为，则，所以，函数为奇函数，当时，令，由于函数和在上均为减函数，故函数在上也为减函数，因为函数在上为增函数，故函数在上为减函数，所以，函数在上也为减函数，因为函数在上连续，则在上为减函数，由可得，即，所以，，即，解得或.故答案为：或.13、①.2②.##【解析】根据最低点的坐标和函数的零点，可以求出周期，进而可以求出的值，再把最低点的坐标代入函数解析式中，最后求出的值.【详解】通过函数的图象可知，点B、C的中点为，与它隔一个零点是，设函数的最小正周期为，则，而，把代入函数解析式中，得.故答案为：；14、【解析】将不等式转化为，利用指数函数的单调性求解.【详解】不等式为，即，解得，所以不等式的解集为，故答案为：15、15海里/小时【解析】先求出船的实际速度，再利用勾股定理得到轮船的速度.【详解】设船的实际速度为，船速，水的流速，则海里/小时，∴海里/小时.故答案为：15海里/小时16、4【解析】根据自变量所属的区间，代入相应段的解析式求值即可.【详解】由题意可知，，解得，故答案为：4三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）【解析】（1）根据f（x）为偶函数，由f（－x）＝－f（x），即对恒成立求解；（2）由有零点，转化为有解，令，转化为函数y＝p（x）图象与直线y＝a有交点求解；（3）根据，使得成立，由求解.【小问1详解】解：因f（x）为偶函数，所以，都有f（－x）＝－f（x），即对恒成立，对恒成立，对恒成立，所以【小问2详解】因为有零点即有解，即有解令，则函数y＝p（x）图象与直线y＝a有交点，当0＜a＜1时，无解；当a＞1时，在上单调递减，且，所以在上单调递减，值域为由有解，可得a＞0，此时a＞1，综上可知，a的取值范围是；【小问3详解】，当时，，由（2）知，当且仅当时取等号，所以的最小值为1，因为，使得成立，所有，即对任意的恒成立，设，所以当t＞1时，恒成立，即，对t＞1恒成立，设函数在单调递减，所以，所以m≥0，即实数m的取值范围为18、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）当时，解对数不等式即可（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可（3）根据条件得到恒成立，利用二次函数的性质求最值即求.【小问1详解】由，得，即∴且，解得【小问2详解】由题得，即，①当时，，经检验，满足题意②当时，（ⅰ）当时，，经检验，不满足题意（ⅱ）当且时，，，是原方程的解当且仅当，即；是原方程的解当且仅当，即因为解集中恰有一个元素则满足题意的m不存在综上，m的取值范围为【小问3详解】当时，，所以在上单调递减∴函数在区间上的最大值与最小值分别为，即，对任意成立因为，所以函数在区间上单调递增，当时，y有最小值，由，得故m的取值范围为19、(1);(2)【解析】（1）根据圆的一般方程成立条件，，代入即可求解；（2）联立直线方程和圆的方程，消元得关于的一元二次方程，列出韦达定理，求解中点坐标为圆心，为半径，即可求解圆的方程.【详解】(1)，，，，，解得:(2)，将代入得，，，，半径∴圆的方程为【点睛】（1）考查圆的一般方程成立条件，属于基础题；（2）考查直线与圆位置关系，联立方程组法求解，结合一元二次方程韦达定理，综合性较强，难度一般.20、(1)；(2).【解析】(1)以为坐标原点,所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系.根据条件求出直线的方程，设出点坐标，代点到直线的距离公式即可求出所求；(2)由(1)及题意设出直线的方程后，即可求得点的横坐标，与点的纵坐标，由求得后，即可求解.【详解】(1)以为坐标原点,所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系由题意可设点，且直线的斜率为，并经过点，故直线的方程为：，又因点到的距离为，所以，解得或(舍去)所以点坐标为.(2)由题意可知直线的斜率一定存在，故设其直线方程为：，与直线的方程：，联立后解得:，对直线方程：，令，得，所以，解得，所以直线方程为：，即:.【点睛】本题以直线方程的相关知识为背景，旨在考查学生分析和解决问题的能力，属于中档题.21、（1）；（2）或.【