2022届市高级中学高三1月调研考试数学（理）试题（解析版）

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2022届市高级中学高三1月调研考试数学（理）试题一、单项选择题1．已知复数与为共轭复数，其中，为虚数单位，那么（）

A．1B．C．D．【答案】D【解析】由共轭复数的概念可以得到，解方程即可得到，进而可以求出.【详解】由题意得，，解得，，那么，.故答案为D.【点睛】此题测验了共轭复数的学识，测验了复数的模，属于根基题．2．已知集合，那么（）

A．B．C．D．【答案】A【解析】求出直线与的交点，即可得到答案。

【详解】由题意，解得，，故.故答案为A.【点睛】此题测验了集合的交集，两直线的交点，属于根基题。

3．已知单位向量的夹角为，且，若向量，那么（）

A．9B．10C．3D．【答案】C【解析】先由夹角正切值得余弦值，然后利用数量积公式得到，再利用向量模的公式计算即可得到答案.【详解】向量夹角，由可得，向量为单位向量即,可得，那么，应选：C.【点睛】此题测验向量的模的计算方法，属于根基题.4．以下说法正确的是()A．若命题均为真命题，那么命题为真命题B．“若，那么”的否命题是“若”C．在，“”是“”的充要条件D．命题“”的否决为“”【答案】D【解析】利用复合命题的真假四种命题的逆否关系以及命题的否决，充要条件判断选项的正误即可．【详解】对于A：若命题p，￢q均为真命题，那么q是假命题，所以命题p∧q为假命题，所以A不正确；

对于B：“若，那么”的否命题是“若，那么”，所以B不正确；

对于C：在△ABC中，“”⇔“A+B=”⇔“A=-B”⇒sinA=cosB，反之sinA=cosB，A+B=，或A=+B，“C=”不确定成立，∴C=是sinA=cosB成立的充分不必要条件，所以C不正确；

对于D：命题p：“∃x0∈R，x02-x0-5＞0”的否决为￢p：“∀x∈R，x2-x-5≤0”，所以D正确．应选：D．【点睛】此题测验命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，四种命题的逆否关系，命题的否决等学识，是根本学识的测验．5．已知正项等比数列的前项和为，若，那么A．B．C．D．【答案】B【解析】利用正项等比数列的前项和公式、通项公式，列出方程组，求出，，由此能求出的值。

【详解】正项等比数列的前项和为，，，易知时不成立，所以.，解得，，．应选：B．【点睛】此题测验等比数列的前项和公式的运用，测验了等比数列的性质等根基学识，测验运算求解才能，是根基题。

6．已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，那么的取值范围是（）

A．B．C．D．【答案】D【解析】对举行变形，得到，令，，即的整数个数为3，再由的函数图像和的函数图像，写出限制条件，得到答案【详解】，即设，其中时，时，即符合要求，所以时，，单调递减，，单调递增，为微小值.有三个整数解，那么还有一个整数解为或者是①当解集包含时，时，所以需要得志即，解得②当解集包含时，需要得志即整理得，而，所以无解集，即该处境不成立.综上所述，由①②得，的范围为应选D项.【点睛】利用导数研究函数图像，两个函数图像的位置关系与解析式大小之间的关系，数形结合的数学思想，题目较综合，测验内容对比多，属于难题.7．已知程序框图如图，那么输出i的值为A．7B．9C．11D．13【答案】D【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环布局计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】当时，不得志退出循环的条件，故，当时，不得志退出循环的条件，故，当时，不得志退出循环的条件，故，当时，不得志退出循环的条件，故，当时，不得志退出循环的条件，故，当时，不得志退出循环的条件，故，当时，得志退出循环的条件，故输出应选【点睛】此题主要测验的学识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答。

8．曲线的一条切线l与轴三条直线围成的三角形记为，那么外接圆面积的最小值为A．B．C．D．【答案】C【解析】设直线l与曲线的切点坐标为（），求出函数的导数，可得切线的斜率和方程，联立直线y＝x求得A的坐标，与y轴的交点B的坐标，运用两点距离公式和根本不等式可得AB的最小值，再由正弦定理可得外接圆的半径，进而得到所求面积的最小值．【详解】设直线l与曲线的切点坐标为（），函数的导数为．那么直线l方程为，即，可求直线l与y＝x的交点为A（），与y轴的交点为，在△OAB中，，当且仅当2＝2时取等号．由正弦定理可得△OAB得外接圆半径为，那么△OAB外接圆面积，应选：C．【点睛】此题测验导数的运用：求切线方程，测验导数的几何意义，同时测验正弦定理的运用，根本不等式的运用：求最值，以及化简整理的运算才能，属于中档题．9．已知为实数，，若，那么函数的单调递增区间为（）

A．B．C．D．【答案】B【解析】对函数求导，由求出a,然后解不等式即可得到答案.【详解】，那么又那么，解得a=-2,解得,那么函数的单调递增区间为应选：B.【点睛】此题主要测验导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是根基题．10．定义在上的函数，且，那么方程在区间上的全体实数根之和最接近以下哪个数（）

A．B．C．D．【答案】A【解析】∵f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为2的周期函数，∵g（x）=，∴g（x）关于直线x=2对称．分别作出函数f（x），g（x）在[﹣5，9]上的图象，由图象可知两个函数的交点个数为8个，设8个交点的横坐标从小到大为x1，x2，x3，x4，x5，x6，且这8个交点接近点（2，0）对称，那么（x1+x8）=2，x1+x8=4，所以若x1+x2+x3+x4+x5+x6=4（x1+x8）=4×4=16，但是不都是对称的，由图象可知，x1+x8＞4，x2+x7＞4，，第五个交点为空心的，跟等于3∴x1+x2+x4+x5+x6最接近14．应选A．点睛：这个题目测验了导数在研究函数的极值和零点问题中的应用；

对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以彼此转化；

在转化为两个函数交点时，假设是一个常函数一个分外函数，留神让分外函数式子尽量简朴一些。留神函数的图像画的要切实一些。

11．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路．已知某人从沿走到用了2分钟，从沿着走到用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，那么该扇形的半径的长度为A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60°，在△CDO中，，即，，解得（米）．【考点】1．扇形面积公式；

2．余弦定理求三角形边长12．是定义在上的奇函数，对，均有，已知当时，，那么以下结论正确的是（）

A．的图象关于对称B．有最大值1C．在上有5个零点D．当时，【答案】C【解析】∵f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R，均有f（x+2）=f（x），故函数的周期为2，那么f（x）的图象关于（1，0）点对称，故A错误；

f（x）∈（-1，1），无最大值，故B错误；

整数均为函数的零点，故f（x）在[-1，3]上有5个零点，故C正确；

当x∈[2，3）时，x-2∈[0，1），那么f（x）=f（x-2）=2x-2-1，当x=3时，f（x）=0，故D错误；

应选C.点睛:此题是函数性质的综合应用,已知对称中心,周期能推出另一个对称中心,根据某区间上的解析式,结合周期性,对称性可以得到一个周期中的函数图象,从而关于最值,零点等问题都可以解决.二、填空题13．在中，已知，若，那么周长的取值范围为__________．【答案】【解析】由题中条件先求出，然后由余弦定理可得，利用根本不等式可得到，再由三角形中两边之和大于第三边可得，从而可得到的取值范围，即周长的范围。

【详解】由题意，，即，可化为，即，由于，所以，即，设的内角的对边分别为，由余弦定理得，，由于，（当且仅当时取“=”），所以，即，又由于，所以，故，那么，又由于，所以，即.故周长的取值范围为.【点睛】此题测验了三角函数的恒等变换，余弦定理在解三角形中的运用，利用根本不等式求最值，三角形的性质，测验了学生分析问题、解决问题的才能，及计算才能，属于中档题。

14．曲线在点（0,0）处的切线方程为______________；

【答案】【解析】通过求导得切线斜率，再由点斜式可得切线方程.【详解】，那么，故．【点睛】此题主要测验了导数的几何意义，属于根基题.15．各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，,那么______.【答案】10【解析】根据等比数列和项性质列方程解得结果.【详解】由题意得，成等比数列，那么，所以,或90，由于各项均为正数，所以，因此.【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、裁减运算量”的方法.16．已知且,那么______。

【答案】1【解析】整理得：

由此得到，问题得解。

【详解】由于，所以，整理得：

，又，所以，所以，所以【点睛】此题主要测验了两角和的正弦公式及两角差的余弦公式，测验计算才能，还测验了三角恒等式，属于根基题。

三、解答题17．在中，内角的对边分别为，已知．求；

若，且面积，求的值．【答案】（1）；

（2）

【解析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA=，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求c的值，进而可求b的值，根据余弦定理可得a的值．【详解】（1）∵，∴b=2a（cosCcos+sinCsin），可得：b=acosC+asinC，由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinAsinC，可得：sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinAsinC，可得：cosA=sinA，可得：tanA=，∵A∈（0，π），∴A=（2）∵，且△ABC面积=bcsinA=2c×c×，∴解得：c=2，b=4，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=48+4-2××2×=28，解得：a=2【点睛】此题主要测验了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，测验了计算才能和转化思想，属于根基题．18．在中，.(1)求角的大小；

(2)若，垂足为，且，求面积的最小值.【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由，两边平方，整理可得，即，从而可得；

（2）在直角与直角中中，，，从而可得，根据三角函数的有界性可得面积的最小值.试题解析：（1）由，两边平方，即，得到，即。

所以.（2）在直角中，，在直角中，，又，所以，所以，由得，，故，当且仅当时，，从而.19．在中，内角的对边分别为，，三边成等比数列，且面积为1，在等差数列中，，公差为.（1）求数列的通项公式；

（2）数列得志，设为数列的前项和，求的取值范围.【答案】（1），（2）

【解析】（1）由，，解得从而得到数列的通项公式；

（2）由（1）可得，利用裂项相消法得到前项和，从而得到的取值范围.【详解】解：（1）∵，，，∴，.（2）∵，∴∵是关于n的增函数，∴.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其理由是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的布局特点，常见的裂项技巧：

(1)；

（2）

；

（3）；

（4）

；

此外，需留神裂项之后相消的过程中轻易展现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20．某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域Ⅰ）设计成半径为的扇形，中心角．为便当参观，增加收入，在种植区域外围规划参观区（区域Ⅱ）和休闲区（区域Ⅲ），并将外围区域按如下图的方案扩建成正方形，其中点，分别在边和上．已知种植区、参观区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．（1）要使参观区的年收入不低于5万元，求的最大值；

（2）试问：当为多少时，年总收入最大？【答案】（1）（2）

【解析】（1）由，，，所以与全等.可得，根据面积公式，可求得参观区的面积为，要使得参观区的年收入不低于5万元，那么要求，解不等式即可求出结果.（2）由题意可得种植区的面积为，正方形面积为，设年总收入为万元，那么，利用导数在函数单调性中的应用，即可求出结果.【详解】（1）∵，，，所以与全等.所以，参观区的面积为，要使得参观区的年收入不低于5万元，那么要求，即，结合可知，那么的最大值为.（2）种植区的面积为，正方形面积为，设年总收入为万元，那么，其中，求导可得.当时，，递增；

当时，，递增.所以当时，取得最大值，此时年总收入最大.【点睛】题主要测验了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，测验了数形结合思想，以及导数在求最值的应用.21．已知函数.(1)当时求函数的最小值；

(2)若函数在上恒成立求实数的取值范围.【答案】(1)4.(2).【解析】试题分析：

（Ⅰ）结合题意利用根本不等式求解即可．（Ⅱ）由题意得在上恒成立，转化为在上恒成立．构造函数，求得函数的最值后可得结论．试题解析：

（Ⅰ）当时，，当且仅当，即时等号成立，所以．（Ⅱ）由题意得在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在