2023-2024学年内蒙古呼和浩特市赛罕区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年内蒙古呼和浩特市赛罕区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共8小题，1-6题每小题2分；7、8题每小题2分，共18分．）.1．下列二次根式中，为最简二次根式的是A． B． C． D．2．中，、、的对边分别为、、，下列条件中，不能判定是直角三角形的是A． B． C． D．3．如图，四边形中，对角线与相交于点，不能判断四边形是平行四边形的是A．， B．， C．， D．，4．下列运算正确的是A． B． C． D．5．下列命题的逆命题中，是真命题的个数有①如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；②全等三角形的对应角相等；③对顶角相等；④平行四边形的对角线互相平分A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，为△的高，则的长为A． B． C． D．7．2002年8月在北京召开的国际数学大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：如果大正方形的面积是7，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边为，那么的值为A． B． C． D．8．如图，在正方形中，点为对角线的中点，过点的射线，分别交，于点，，且，，交于点，则下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②△是等腰直角三角形；③正方形的面积等于四边形面积的4倍；④．其中正确结论的个数是A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题（本大题共8小题，9-14题每小题2分；15、16题每小题2分，共18分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程）9．若使代数式有意义，则的取值范围是．10．在中，比大，则的度数为．11．有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为和的两块正方形木板，剩余木板的面积为．12．如图，四边形中，，分别以，，，为直径作半圆，已知各半圆面积为，，，则．13．如图，菱形的周长为8，，为的中点，为上任意一点，则的最小值为．14．如图，在△中，，于点，是斜边的中点，已知，，则△的面积为．15．如图，将一个边长分别为8，16的矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为．16．已知一个平行四边形的一条对角线将其分为全等的两个等腰直角三角形，且这条对角线的长为，则另一条对角线的长为．三、解答题（本大题共7小题，共64分。解答题应写出文字说明、计算过程或演算步骤）17．（16分）计算：（1）；（2）；（3）；（4）已知，，求的值．18．如图所示，是矩形的对角线的交点，，．（1）求证：．（2）若，，求矩形的面积．19．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．（1）在图（1）中以格点为顶点画出一个面积为13的正方形；（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，，并计算该三角形的面积．20．（1）已知，求代数式的值；（2）先化简，再求值：已知．求代数式的值．21．2023年呼和浩特努力创造“宜居，宜业，宜学，宜养，宜游”的“五宜城市”．在大黑河，千亩花海成为网红打卡地．某校八年级数学活动小组周末去打卡大黑河花海，如图，四边形为同学们看到的花海区域，为了计算这片花海的面积，该小组进行了实地测量，他们发现如下结果：①该四边形区域每个顶点都有一棵小树，他们统计了各顶点之间小树的数量，、两点间有9棵，、两点间有9棵，、两点间有7棵，、两点间有5棵（已知该区域的四条边中，每相邻跨河大桥的两棵树之间距离相等，都为2米）；②跨河大桥与大黑河之间的夹角为．根据以上信息，请你帮他们计算该区域的面积为多少？22．如图，四边形中，点、、、分别为、、、的中点，（1）求证：中点四边形是平行四边形；（2）如图2，点是四边形内一点，且满足，，，点、、、分别为、、、的中点，猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想．23．如图，已知正方形中，为延长线上一点，且，、分别为、的中点，连交于，交，于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）过作于点，连，则的值．

参考答案一．选择题（共8小题）题号12345678答案CAABBDAD一、选择题（本大题共8小题，1-6题每小题2分；7、8题每小题2分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列二次根式中，为最简二次根式的是A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．解：、的被开方数是小数，不是最简二次根式，故该项不符合题意；、的被开方数是分数，不是最简二次根式，故该项不符合题意；、是最简二次根式，故该项符合题意；、是整数，不是最简二次根式，故该项不符合题意；故选：．2．中，、、的对边分别为、、，下列条件中，不能判定是直角三角形的是A． B． C． D．【分析】根据三角形内角和定理即可判断、；如果三角形的三边长，，，满足或或，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断、．解：、，，，，，不是直角三角形，符合题意；、，，，是直角三角形，不符合题意；、，且，，是直角三角形，不符合题意；、，设，，，且，即，是直角三角形，不符合题意；故选：．3．如图，四边形中，对角线与相交于点，不能判断四边形是平行四边形的是A．， B．， C．， D．，【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可．解：、由，，无法判断四边形是平行四边形，可能是等腰梯形；本选项符合题意；、由，，能判定四边形是平行四边形，本选项不符合题意；、由，，能判定四边形是平行四边形，本选项不符合题意；、由，，能判定四边形是平行四边形，本选项不符合题意；故选：．4．下列运算正确的是A． B． C． D．【分析】把各项的值分别计算出来，即可作出判断．解：．原式不能合并，不符合题意；．，计算正确，符合题意；．，原式计算错误，不符合题意；．，原式错误，不符合题意．故选：．5．下列命题的逆命题中，是真命题的个数有①如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；②全等三角形的对应角相等；③对顶角相等；④平行四边形的对角线互相平分A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】写出各个命题的逆命题，再进行判断是否是真命题．解：①的逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等．这是假命题．②的逆命题：对应角相等的三角形全等．这是假命题．③的逆命题：相等的角是对顶角．这是假命题．④的逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形．这是真命题．所以各命题的逆命题是真命题的共有1个．故选：．6．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，为△的高，则的长为A． B． C． D．【分析】根据题意利用割补法求得△的面积，利用勾股定理算出的长，再利用等面积法即可求得的长．解：由题可得：，，，解得：，故选：．7．2002年8月在北京召开的国际数学大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：如果大正方形的面积是7，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边为，那么的值为A． B． C． D．【分析】根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解．解：大正方形的面积是7，如图，，，直角三角形的面积是，直角三角形的面积是，，，，故选：．8．如图，在正方形中，点为对角线的中点，过点的射线，分别交，于点，，且，，交于点，则下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②△是等腰直角三角形；③正方形的面积等于四边形面积的4倍；④．其中正确结论的个数是A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求出全等三角形为：△△，△△，△△，△△；根据△△，则；四边形的面积；根据△△，则，得，即可得解．解：四边形是正方形，点为对角线的中点，，，，在△和△中，，△△；在△和△中，，△△；，，，，，，，，，，在△和△中，，△△；同理：，△△，全等三角形有4对，①不正确；△△，，△是等腰直角三角形；②正确；△△，四边形的面积，③正确；△△，，，，，，④正确．正确的选项为：②③④，共3个．故选：．二、填空题（本大题共8小题，9-14题每小题2分；15、16题每小题2分，共18分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程）9．若使代数式有意义，则的取值范围是且．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．解：由题意得：且，解得：且，故答案为：且．10．在中，比大，则的度数为．【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角之和为，即可求出该平行四边形各个内角的度数．解：画出图形如下所示：则，又，，，．故答案为：．11．有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为和的两块正方形木板，剩余木板的面积为15．【分析】先求出正方形的边长，即可求出剩余木板的面积．解：由题意得两个正方形的边长为，，剩余木板的面积为，故答案为：15．12．如图，四边形中，，分别以，，，为直径作半圆，已知各半圆面积为，，，则3．【分析】根据圆的面积公式得到，，根据勾股定理得到，，计算即可．解：连接，如图，由题意得，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：3．13．如图，菱形的周长为8，，为的中点，为上任意一点，则的最小值为．【分析】找出点关于的对称点，连接交于，此时最小，且就是的最小值，求出即可．解：连接交于，连接，，四边形是菱形，线段、互相垂直平分，、关于对称，则，，即就是的最小值．，，是等边三角形，，．在中，，，的最小值为．故答案为：．14．如图，在△中，，于点，是斜边的中点，已知，，则△的面积为．【分析】根据已知条件得，求得，根据直角三角形的性质得到，求得，得到，于是求得结论．解：，，，，，，，，点是的中点，，，，，，，，，即，，，故答案为：．15．如图，将一个边长分别为8，16的矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为．【分析】作于点，由四边形是矩形，所以，而，由折叠得，由勾股定理得，求得，则，所以，求得，于是得到问题的答案．解：作于点，四边形是矩形，，，四边形是矩形，，，，，由折叠得，，，，，解得，，，，，故答案为：．16．已知一个平行四边形的一条对角线将其分为全等的两个等腰直角三角形，且这条对角线的长为，则另一条对角线的长为或．【分析】分两种情形：①这个平行四边形是正方形，②这个平行四边形的四个角分别为，，，，结合题意分别求解即可．解：①当这个平行四边形是正方形时，如图，一条对角线的长为，另一条对角线长为．②当这个平行四边形的四个角分别为，，，时，如图，此时，，过点作交的延长线于点，，，，．综上所述，另一条对角线长为或．故答案为：或．三、解答题（本大题共7小题，共64分。解答题应写出文字说明、计算过程或演算步骤）17．（16分）计算：（1）；（2）；（3）；（4）已知，，求的值．【分析】（1）先化简再合并同类二次根式即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式计算，再合并即可求解；（3）先化简再合并同类二次根式即可求解；（4）利用完全平方公式变式，再整体代入即可求解．解：（1）；（2）；（3）；（4）．18．如图所示，是矩形的对角线的交点，，．（1）求证：．（2）若，，求矩形的面积．【分析】（1）由题意可证四边形是平行四边形，通过证明四边形是菱形，可得；（2）由题意可得，，根据直角三角形的性质可得，，根据矩形的面积公式可求矩形的面积．【解答】（1）证明：，，，，四边形是平行四边形，四边形是矩形，，四边形是菱形，，（2），且四边形是菱形，，，且，19．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．（1）在图（1）中以格点为顶点画出一个面积为13的正方形；（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，，并计算该三角形的面积．【分析】（1）利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形；（2）利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形．解：（1）如下图即为所求：面积为13的正方形的边长为，，如图所示的四边形即为所求；（2）如下图即为所求，，如图所示的三角形即为所求；．20．（1）已知，求代数式的值；（2）先化简，再求值：已知．求代数式的值．【分析】（1）根据已知和二次根式的性质求出、的值，把、的值代入计算即可；（2）先把所给式子进行化简，再把的值代入化简结果中求值即可．解：（1），，，则；（2），，，，当时，原式．21．2023年呼和浩特努力创造“宜居，宜业，宜学，宜养，宜游”的“五宜城市”．在大黑河，千亩花海成为网红打卡地．某校八年级数学活动小组周末去打卡大黑河花海，如图，四边形为同学们看到的花海区域，为了计算这片花海的面积，该小组进行了实地测量，他们发现如下结果：①该四边形区域每个顶点都有一棵小树，他们统计了各顶点之间小树的数量，、两点间有9棵，、两点间有9棵，、两点间有7棵，、两点间有5棵（已知该区域的四条边中，每相邻跨河大桥的两棵树之间距离相等，都为2米）；②跨河大桥与大黑河之间的夹角为．根据以上信息，请你帮他们计算该区域的面积为多少？【分析】先证明△为等边三角形，米，得出△为直角三角形，过作于，求出米，进而求出面积．解：连接，由题意得：米，米，米，，，，△为等边三角形，米，在△中，，即，△为直角三角形，（平方米），过作于，△中，米，米，米，（平方米），该区域面积为（