小学奥数汇编教材 第十九讲 统计与概率

特级教师小学奥数汇编教材第十九讲统计与概率在我们日常生活中，通过对统计数据的分析，我们可以了解某一情况，作出某些决定，如根据商场销售量的统计数据，决定如何进货；也可以由部分个体的情况了解总体的情况，如通过抽样调查了解我国人口状况等；还可以对现实生活中的某些现象作出判断，如评判游戏活动的公平性、获奖的可能性等；还可以对一些事物的未来状况作出预测，如预测次日下雨的可能性等．在数学内部，概率统计与其他分支的结合，使数学科学出现了许多新进展，如具有广泛应用性的蒙特卡罗方法等．在其他领域，概率统计也发挥着日益重要的作用，如考古工作者可以通过统计数据分析一件文物的年代；文学工作者可以通过两本著作中部分词语的使用频率分析作者的写作风格，并判别它们是否出自同与作者；自然科学工作者可以通过概率统计分析，提出一些理论假设，以解释一些自然现象．一、基本概念在统计里，我们把所要考察对象的全体叫做总体，其中的每一个考察对象叫做个体。从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。样本中个体的数目叫做样本的容量。总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，把样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。二、概率的定义随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。A.H.柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义。普遍认为，人们对将要发生的机率总有一种不好的感觉，或者说不安全感，俗称「点背」，下面列出的几个例子可以形象描述人们有时对机率存在的错误的认识：■1.六合彩：在六合彩（49选6）中，一共有13983816种可能性（参阅组合数学），普遍认为，如果每周都买一个不相同的号，最晚可以在13983816/52（周）=268919年后获得头等奖。事实上这种理解是错误的，因为每次中奖的机率是相等的，中奖的可能性并不会因为时间的推移而变大。■2.生日悖论：在一个足球场上有23个人（2X11个运动员和1个裁判员），不可思议的是，在这23人当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大于50％。■3.轮盘游戏：在游戏中玩家普遍认为，在连续出现多次红色后，出现黑色的机率会越来越大。这种判断也是错误的，即出现黑色的机率每次是相等的，因为球本身并没有“记忆”，它不会意识到以前都发生了什么，其机率始终是18/37。■4.三门问题：在电视台举办的猜隐藏在门后面的汽车的游戏节目中，在参赛者的对面有三扇关闭的门，其中只有一扇门的后面有一辆汽车，其它两扇门后是山羊。游戏规则是，参赛者先选择一扇他认为其後面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接著主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中後面有山羊的一扇门，这时主持人问参赛者，要不要改变主意，选择另一扇门，以使得赢得汽车的机率更大一些？正确结果是，如果此时参赛者改变主意而选择另一扇关

闭著的门，他赢得汽车的机率会增加一倍。概率的基本含义事件总数与满足条件的事件简单的统计图表..【竞赛考点挖掘】1.扇形的统计图表2.用排除法解决概率问题例1】（难度等级※）在多家商店中调查某商品的价格，所得的数据如下（单位：元）2521232527292528302926242527262224252628请填写下表价格范围商品数所占百分数20.5~22.522.5~24.524.5~26.526.5~28.528.5~30.5合计分析与解】价格范围商品数所占百分数20.5~22.5212210%22.5~24.523242415%24.5~26.5252525262625252640%26.5~28.52728272820%28.5~30.529293015%合计100%【例2】（难度等级探）在一只口袋里装着2个红球，3个荒丘和4个黑球。从口袋中任取一个球，请问：（1）这个球是红球的概率有多少？（2）这个球是黄球或者是黑球的概率有多少？（3）这个是绿球的概率有多少？不是绿球的概率又有多少?【分析与解】口袋里一共有9个球，2个红球，随机取有2/9的概率取到红球这个球不是是红球就是黄球或者黑球，所以取到黄球或者黑球的概率是7/9，由于没有绿球，所以取到旅求概率是0，不是绿球的概率是1【例3】（难度等级探※）一只普通的骰子有6个面，分别写有1、2、3、4、5、6。掷出这个骰子，它的任何一面朝上的概率都是1/6.假设你将某一个骰子连续投掷了9次，每次的结果都是1点朝上。那么第十次投掷后，朝上的面上的点数恰好是奇数的概率是多少？【分析与解】本题要注意当你投掷9次之后的结果其实对第十次是没有影响的，所以第十次投掷只要投掷出1,3,5就满足条件，而总共有1〜6六种可能，所以概率是1/2.【例4】（难度等级※）冬冬与阿奇做游戏：由冬冬抛出3枚硬币，如果抛出的结果中，有2枚或2枚以上的硬币正面朝上，冬冬就获胜；否则阿奇获胜。请问：这个游戏公平吗？【分析与解】冬冬获胜的概率为，两枚或者两枚以上硬币正面朝上，两枚硬币正面朝上的概率为从三次投掷中选两次正面朝上有3种可能，每种的概率是3个1/2连乘。等于3/8，三枚硬币都正面朝上概率为1/8。所以冬冬获胜的概率为1/2.也就是阿奇获胜概率也是1/2，所以游戏是公平的。【例5】（难度等级※※）有黑桃、红桃、方块、草花这4种花色的扑克牌各2张，从这8张牌中任意取出2张。请问：这2张扑克牌花色相同的概率是多少？【分析与解】先从8张牌中选2张牌有28种选法。然后满足条件的选法只有4种，即4种不同的花色，所以这两张牌花色相同的概率是4/28=1/7【例6】（难度等级※※）小悦从1、2、3、4、5这5个自然数中任选一个数，冬冬从2、3、4、5、6、7这6个自然数中任选一个数。选出的两个数中，恰好有一个数是另一个数的倍数的概率是多少？【分析与解】小悦从1、2、3、4、5这5个自然数中任选一个数，有5种选法冬冬从2、3、4、5、6、7这6个自然数中任选一个数，有6种许选法所以总共的组合有5X6=30种不同选法，其中满足倍数关系的分别有小悦取1时，有6种小悦取2时，有3种,小悦取3时，有2种,小悦取4时，有2种，小悦取5时，有1种，一共有14种.所以满足条件的概率是14/30=7/15【例7】（难度等级探※※）一直口袋里装有5个黑球和3个白球，另一只口袋里装有4个黑球和4个白球。从两只口袋里各取出一个球。请问：取出的两个球颜色相同的概率是多少？【分析与解】总共的取法数是8X8=64种满足条件的选法有当选出都是黑球5X4=20种当选出都是白球3X4=12种一共有32种满足条件所以两个球颜色相同概率是32/64=1/2【例8】（难度等级探※※）阿奇一次指出8枚硬币，结果恰有4枚硬币正面朝上的概率是多少？有超过4枚的硬币正面朝上的概率是多少？【分析与解】投掷8枚硬币，恰有4次正面朝上，应该从8次中选择4次正面朝上，这四次朝上的概率是4个1/2的联乘，这时不要忘记剩下的4次一定是反面朝上，也是4个1/2的连乘，所以恰好4枚硬币朝上的概率是35/128。利用对称的思想，有超过4枚硬币正面朝上的概率应该和有少于4枚硬币朝上的概率相同，所以有超过4枚硬币正面朝上的概率为（1-35/128）22=93/256【例9】（难度等级探※※）在一次军事演习中，进攻方决定对目标进行两次炮击。第一炮命中的概率是0.6，第二炮命中的概率是0.8.请问：两炮都集中目标的概率是多少？恰好有一炮击中目标的概率是多少？两炮都未击中目标的概率是多少？【分析与解】两炮都击中目标的概率是同时都击中时的0.6X0.8=0.48恰有一炮击中目标，第一炮击中第二炮没击中，等于0.6X0.2=0.12第二炮击中第一炮没击中，等于0.4X0.8=0.32恰有一炮击中概率为0.44【例10】（难度等级※※）张先生每天早晨上班时有1/3的概率碰到堵车。在不堵车的时候，张先生按时到达单位的概率为0.9，吃到的概率为0.1；而堵车的时候，张先生上班迟到的概率高达0.8，按时到达的概率只有0.2.请问：张先生上班迟到的概率是多少？【分析与解】张先生迟到的概率分为不堵车时，2/3X0.1=1/15堵车时，1/3X0.8=4/15所以迟到的概率是1/3【例11】（难度等级※※）口袋里装有100张卡片，分别写着1,2,3,……，100.从中任意抽出一张。请问：（1）抽出的卡片上的数正好是37的概率是多少？（2）抽出的卡片上的数是偶数的概率是多少？（3）抽出的卡片上的数是质数的概率是多少？（4）抽出的卡片上的数是101的概率是多少？（5）抽出的卡片上的数小于200的概率是多少？【分析与解】随机抽出有100种可能，所以是37的概率是1/100100种有50个偶数，所以是偶数概率是50/100=1/2100以内有25个质数，所以是质数的概率是1/4抽出卡片不可能是101，所以概率为0抽出所有数都小于200，所以概率为1.【例12】（难度等级※※※）在标准英文字典中,由2个不同字母组成的单词一共有55个.如果从26个字母中任取2个不同的排列起来,那么恰好能拍成一个单词的概率是多少？【分析与解】从26个自母中任选2个字母进行排列有650种不同的选法，满足条件的只有26种，所有恰好构成一个单词的概率是55/650=11/130【例13】（难度等级※※探）妈妈去家乐福购物，正好碰上了橘子、香蕉、葡萄和榴莲大降价。于是她决定从这4中水果中任选一种买回家。爸爸下班时路过集贸市场，发现有苹果、橘子、香蕉、葡萄和梨出售他也决定任选一种买回家。请问：他们买了不同的水果的概率是多少？【分析与解】妈妈爸爸都买香蕉的概率是1/4X1/5=1/20都买橘子的概率是1/4X1/5=1/20都买葡萄的概率是1/4X1/5=1/20。所以他们买的水果不同的概率为1-3/20=17/20【例14】（难度等级※※探）小悦掷出了2枚骰子，掷出的2个数字之和恰好等于10的概率有多少？【分析与解】掷出2个骰子总情况有6X6=36种，其中和为10的有第一次掷出4，第二次掷出6第一次掷出5，第二次掷出5第一次掷出6，第二次掷出4，所以满足条件情况只有三种，所以恰好为10的概率是1/12。【例15】（难度等级※※海）盒子里装着20支圆珠笔，其中有5支红色的，7支蓝色的，8支黑色的。从中随意抽出4支，每种颜色的笔都被抽出的概率是多少？【分析与解】20支笔从中选出4支笔，总共4845种不同选法，其中3种颜色都有的情况是，一：2支红色1支蓝色1支黑色10X7X8=560种，二:1支红色2支蓝色1支黑色5X21X8=840种，

三：1支红色1支蓝色2支黑色5X7X28=980种。所以一共有560+840+980=2380种满足条件的概率是2380/4845=28/57【例16】(难度等级探※※)CD⑵用下图中两个转盘进行“配紫色”游戏.CD⑵分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色，此时小刚得1分，否则小明得1分.这个游戏对双方公平吗？若你认为不公平，如何修改规则，才能使该游戏对双方公平呢？【分析与解】为了保证自由转动转盘，指针落在每个区域的可能性相同，我们把转盘(1)按逆时针把红色区域等分成四部分，分别记作红1、红2、红3、红4，转盘(2)也类似地把蓝色区域分别记作蓝1、蓝2、蓝3、蓝4．接下来，我们就可以用列表法计算分别旋转两个转盘，其中一个转盘转出红色，另一个转出蓝色可配成紫色的概率．列表如下：if-------一一一第二个转盘转出的颜色第一个转盘转出的颜色蓝1蓝2蓝3蓝4红色红1VVVVX红2VVVVX红3VVVVX红4VVVVX蓝色XXXXV注：“V”表示可配成紫色，“X”表示不可配成紫色.178分别转动两个转盘，可配成紫色的概率为25，不可配成紫色的概率为25•

因此，这个游戏对双方不公平，对小明不利.小明和小刚改用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏．配成紫色，小刚得1分．否则小明得1分，这个游戏对双方公平吗？为什么？【例17】(难度等级※※探)黄蓝蓝【例17】(难度等级※※探)黄蓝蓝红【分析与解】由上面两个转盘做“配紫色”游戏，等可能的结果列表如下：-第二个转盘转出的颜色第一个转盘转出的颜色--红黄蓝红（红，红）（红，黄）（红，蓝）蓝（蓝，红）（蓝，黄）（蓝，蓝）2142由上面的表格可得：配成紫色的概率为：,配不成紫色的概率为：,因此游戏不公6363平，对小刚不利．【例18】（难度等级探※※）转动如图所示的转盘两次，每次指针都指向一个数字.两次所指的数字之积是质数，游戏者A得10分；乘积不是质数，游戏者B得1分.你认为这个游戏公平吗？如果你认为这个游戏不公平，你愿意做游戏者A还是游戏者B?为什么？你能设法修改游戏规则使得它对游戏双方都公平吗？【分析与解】根据题意，我们可以用列表法计算出两次指针所指数字之积是质数的概率和积不是质数的概率．列表如下：第二次转动指针所指数第一次转动指、、、针所指数12345611X11X21X31X41X51X622X12X22X32X42X52X633X13X23X33X43X53X644X14X24X34X44X54X6

55X15X25X35X45X55X666X16X26X36X46X56X6由表格可求得转动转盘两次，指针所指数字之积是质数的概率为一二-，指针所指数字之305366积不是质数的概率为至二6-游戏显然不公平•当然愿做A,因为A得高分的可能性较大.若使游戏公平，游戏规则应修改为：两次所指的数字之积是质数，则游戏者A得5分；乘积不是质数，游戏者B得1分.这样对游戏者双方都公平.【例19】（难度等级探※※※）用转盘（如图）做游戏，每次游戏游戏者需交游戏费1元.游戏时，游戏者先押一个数字，然后快速地转动转盘，若转盘停止转动时，指针所指格子中的数字恰为游戏者所押数字，则游戏者将获得奖励36元.该游戏对游戏者有利吗？转动多少次后，游戏者平均每次将获利或损失多少元？分析与解】，押错的在此游戏中，指针落在37个区域的可能性是一样的，而游戏者押中的概率为，押错的概率为37>概率为37>3637每押中一次获得奖金（36—1=）35元，押错损失1元，因此转动多次后，游戏者平均每次将1361获利35X37TX37=-37（元）-因此，该游戏对游戏者不利，游戏者平均每次损失3-元.【例20】（难度等级※※※※）小悦与阿奇比赛下军棋，两人水平相当，两人约定塞7局，先赢4局者胜，现在已经比了三局，小悦胜了2局，阿奇胜了1局。请问：小悦获得最后胜利的概率有多少？【分析与解】小悦已经胜了2局，如果5局结束比赛，则第4第5局小悦都胜利了，概率为1/4如果6局结束比赛，则4，5局中阿奇胜了1局，第六局小悦胜，概率为2X1/2X1/2X1/2=1/4

如果进行了7场比赛，则4，5，6局比赛中小悦只赢了一局，第7局小悦胜利3X1/2X1/2X1/2X1/2=3/16所以小悦总共获胜的概率是11/16总囲【作业】总囲【作业】甲乙两人在靶场射击。甲击中目标的概率是0.6，乙击中目标的概率是0.7.两人朝着同一个目标各射击一次，结果目标被击中了。请问：恰好是甲击中目标而乙没有击中的概率是多少？【答案】9/44口袋里装有3张卡片，一张一面红一面黄，一张一面黄一面蓝，一张一面蓝一面红。张莉从口袋中随意摸出其中一张，发现朝向自己的一面恰好是红色。请问，此时这张卡片的另一面是蓝色的概率是多少？【答案】1/2口袋里装有4张卡片，两张两面全黑，一张两面全白，一张一面黑一面白。张莉从口袋中随意摸出其中一张，发现朝向自己的一面恰好是黑色。请问，此时这张卡片的另一面是还是黑色的概率是多少？【答案】4/56名小朋友在操场上做游戏，他们被老师分成三组，每组2个人。请问：赵倩和孙莉恰好分到了