函数的奇偶性和周期性复习优秀课件

本课件主要使用工具为office2003，Mathtype5.0,几何画板4.0,flashplayer10.01本课件主要使用工具为office第六课时函数的奇偶性和周期性第二章函数2第六课时函数的奇偶性和周期性第二章函数2

1．函数的奇偶性（1）如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有

，那么函数f(x)就叫做偶函数，其图象关于

对称.（2）如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有

，那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象关于

对称.f（-x）=f（x）y轴f（-x）=-f（x）原点31．函数的奇偶性f（-x）=f（x）y轴f（-x）=-f

2.函数的周期性设函数y=f（x），x∈D，如果存在一个

T，使得对任何x∈D，都有

，则称函数f（x）为周期函数，T为y=f（x）的一个周期.如果在所有的周期中存在一个

，那么这个

叫做f（x）的最小正周期，简称周期.非零常数f（x+T）=f（x）最小正数最小正数42.函数的周期性非零常数f（x+T）=f（x）最小正数最

1.（2008·福建卷）函数f（x）=x3+sinx+1（x∈R）,若f（a）=2,则f（-a）的值为（）

A.3

B.0

C.-1

D.-2

51.（2008·福建卷）函数f（x）=x

方法1：因为f（a）=2,即a3+sina+1=2,所以a3+sina=1,所以f（-a）=（-a）3+sin（-a）+1=

-（a3+sina）+1=-1+1=0.方法2：易知h（x）=f（x）-1为奇函数，所以f（-a）=h（-a）+1=-h（a）+1=

-f（a）+2=0,故选B.答案：B6方法1：因为f（a）=2,即a3+sina+1=2

2.偶函数f（x）在（-∞,0］上是增函数，若f（a）≤f（2），则a的取值范围是（）

A.（-∞,2］B.［-2,+∞）

C.［-2,2］D.（-∞,-2］∪［2,+∞）

因为f（x）为偶函数，所以f（-2）=f（2）.而f（x）在（-∞,0］上递增，且f（a）≤f（2），所以a≤-2或a≥2,故选D.72.偶函数f（x）在（-∞,0］上是增函数，若f（a）≤

3.已知函数f（x）满足f（x+2）=

-f（x）.当x∈［1,3］时，f（x）=，则f（-6）=（）

A.1

B.

C.-1

D.

由f（x+2）=-f（x），得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），所以f（x）的周期是4，所以f（-6）=f（-2）=f（2）=

,故选D.83.已知函数f（x）满足f（x+2）=-f（x）.

4.偶函数f（x）在（0,+∞）上是减函数，若f（

）>0>f（

），则方程f（x）=0的根的个数是

.

数形结合，易知方程f（x）=0在区间（

,

）,（

,

）上各有一个根，故原方程共有2个根.94.偶函数f（x）在（0,+∞）上是减函数，若f（）>

5.设函数f（x）为R上的奇函数，f（1）=

，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=

.

取x=-1，则f（1）=f（-1）+f（2）=

-f（1）+f（2），得f（2）=2f（1）.因为

f（1）=

，所以f（2）=1.故f（5）=f（3+2）=f（3）+f（2）=f（1+2）+f（2）=f（1）+2f（2）=

.105.设函数f（x）为R上的奇函数，f（1）=，f（x+

1.函数的奇偶性和周期性（1）函数f（x）,g（x）在区间［-a,a］上都是奇函数，设h（x）=f（x）+g（x）,

v（x）=f（x）·g（x），判断h（x）,v（x）的奇偶性，h（x）是

；v（x）是

.

奇函数偶函数111.函数的奇偶性和周期性奇函数偶函数11（2）给出下列函数：（ⅰ）y=lg|x|；（ⅱ）y=x·sinx；（ⅲ）y=x·cosx；（ⅳ）y=2x+2-x，其中偶函数的个数是

.（3）已知函数f（x）=cos2x，若对于正数b，有f（2b+x）=f（x），则b的最小值为

.（4）分析函数f（x）=x2+

的奇偶性：

.3若a=1，则是偶函数，若a≠1，则是非奇非偶函数12（2）给出下列函数：（ⅰ）y=lg|x|；（ⅱ）y=x·s

2.函数的奇偶性与周期性的应用（1）已知f（x）=x3+bsinx+1（b≠0）.若f（-3）=5，则f（3）=

.（2）已知f（x）=

，若f（x）+f（-x）=0，则a=

.-3132.函数的奇偶性与周期性的应用-313（3）已知R上的函数f（x）满足f（x+2）=

.若f（1）=，则f（2011）=

.（4）函数f（x）=ax2+bx+3a+b是区间［a-1,2a］上的偶函数，则a=

，b=

.2011014（3）已知R上的函数f（x）满足f（x+2）=.若f

3.抽象函数的奇偶性与周期性（1）已知函数y=f（x+2）是奇函数，若f（5）=3，则f（-1）=

.（2）已知f（x）是R上的奇函数，下列判断正确的是

.（ⅰ）f（x）·f（-x）≤0；（ⅱ）f（x）·f（-x）>0；（ⅲ）f（x）-f（-x）≤0；（ⅳ）f（x）-f（-x）>0.-3（ⅰ）153.抽象函数的奇偶性与周期性-3（ⅰ）15

（3）已知f（x）是R上的函数，若对任意的实数x、y，都有f（x+y）=f（x）+

f（y），则f（x）具有奇偶性，是奇函数还是偶函数

.

（4）已知定义在R上的函数f（x），对正数b，总有f（x-b）=f（x+b）成立，则f（x）是周期函数，周期T=

.

（5）函数f（x）满足f（x+1）=，则f（x）是周期函数，周期T=

.

奇函数2b216（3）已知f（x）是R上的函数，若对任意的实数x、y，都有

题型1

判断函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性.

17题型1判断函数的奇偶性17（1）由>0，得-1<x<1,故f（x）的定义域关于原点对称.又f（-x）=

=

=

=

-f（x），

故原函数是奇函数.（2）由≥0，得-1≤x<1，定义域不关于原点对称，故原函数是非奇非偶函数.18（1）由>0，得-1<x<1,故f（x）的定义（3）定义域为（-∞,0）∪（0,+∞），它关于原点对称.又当x>0时，f（x）=x2+x，则当x<0时，-x>0,故f（-x）=x2-x=f（x）;当x<0时，f（x）=x2-x,则当x>0时，-x<0,故f（-x）=x2+x=f（x）.

故原函数是偶函数.（4）因为定义域为一切实数，且f（-x）=

=-f（x），

故原函数是奇函数.19（3）定义域为（-∞,0）∪（0,+∞），它关于原点对称.

【评注】在函数奇偶性的定义中，有两个必备条件，一是定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；二是判断f（x）与f（-x）是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）+f（-x）=0（奇函数）或f（x）-f（-x）=0（偶函数））是否成立，这样能简化运算.20【评注】在函数奇偶性的定义中，有两个必备条件，一是定义域如本题中（4），判断f（x）+f（-x）=0是否成立，要方便得多.本题（3）是分段函数判断奇偶性，分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数.分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x）是否成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性.21如本题中（4），判断f（x）+f（-x）=0是否成立，要

判断下列函数的奇偶性.

（1）因为定义域{-1,1}关于原点对称，且f（-x）=±f（x）=0，所以原函数既是奇函数又是偶函数.22判断下列函数的奇偶性.22（2）由1-x2>0，得-1<x<1,则|x-2|-2=-x，且f（-x）=-f（x）,故原函数是奇函数.（3）因为定义域为全体实数，且f（-x）=

=-f（x），故原函数是奇函数.23（2）由1-x2>0，得-1<x<1,则|x-2|-2=-

题型2函数奇偶性的应用若函数

是奇函数，求实数a的值.

方法1：由f（x）+f（-x）=0，得即loga2a2=0，所以2a2=1.24题型2函数奇偶性的应用24因为a>0，所以a=

.方法2：因为奇函数的定义域为全体实数，所以函数在原点有定义，则f（0）=0,即，则2a2=1,得a=

.

【评注】抓住奇函数的定义或特殊性质，是解决此类问题的重要法宝.25因为a>0，所以a=.25

已知函数

长方形和部（a,b,c∈Z）是奇函数，又f（1）=2，f（2）＜3，且f（x）在［1，+∞）上递增，求a,b,c的值.

由f（-x）=-f（x），得

.比较等式两边的系数知c=0，所以

.26已知函数长方形和部（a,b,c∈Z）是奇函数因为f（1）=2，所以

，即2b=a+1.①又因为f（2）＜3，f（x）在［1，+∞）上递增，所以2＜f（2）＜3，即2＜＜3.②联立①②解得＜a＜2.因为a∈Z，所以a=1，则b=1.综上所述，a=b=1,c=0.27因为f（1）=2，所以，即2b=a+1.①又因为

题型3函数的周期性偶函数f（x）满足f（x+3）=-f（x），当x∈［-3,-2］时，f（x）=2x，求f（116．5）的值.

因为f（x+6）=f［3+（x+3）］=

-f（x+3）=f（x），所以函数f（x）的周期T=6.28题型3函数的周期性28又116．5=19×6+2．5，所以f（116．5）=f（2．5）=f（-2．5）=2×（-2．5）=-5.

【评注】求周期函数的函数值，要根据函数的周期性，将自变量的范围转化到已知区间上，利用已知区间上函数的表达式求函数的值.29又116．5=19×6+2．5，29

已知函数f（x）（x∈R）的图象经过原点，且f（x+2）=f（x+5），求

f（2010）的值.

令u=x+2，得x=u-2，则f（u）=f（u+3），所以函数f（x）的周期为3.依题意，f（0）=0，且2010=670×3，所以f（2010）=f（0）=0.30已知函数f（x）（x∈R）的图象经过原点，且f（

已知f（x）是定义在R上的函数，f（2+x）=-f（2-x）,f（x+2）=

.（1）函数f（x）是不是周期函数，若是，求出周期;（2）判断f（x）的奇偶性.

（1）f（x）是周期函数.因为f（x+4）=f［2+（x+2）］=国家的共和

=f（x），31已知f（x）是定义在R上的函数，f（2+x）=-

故其周期为4.

（2）由f（2+x）=-f（2-x），令u=2-x,则x=2-u,故f（u）=-f（4-u）,即f（x）=-f（4-x）.用-x代x，得f（-x）=-f（x+4）.结合（1）知，f（-x）=-f（x），所以函数f（x）是奇函数.32故其周期为4.32

【评注】在抽象函数讨论中，函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性是紧密联系在一起的，如偶函数具有对称轴x=a（a>0），则一定是周期函数.因为图象关于x=a（a≠0）对称，则f（a-x）=f（a+x）成立，所以

f（2a+x）=f［a+（a+x）］=f［a-（a+x）］=

f（-x）=f（x），所以周期为2a.33【评注】在抽象函数讨论中，函数的奇偶性、周期性与函数图象

f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+3）=f（3-x）.若x∈（0,3）时，其解析式为y=x2+1,求x∈（-6,-3）时，函数f（x）的解析式.

因为f（x）在R上是奇函数,所以

f（6+x）=f［3+（3+x）］=f［3-（3+x）］=

f（-x）=-f（x），所以f（x）=-f（x+6）.当x∈（-6,-3）时，x+6∈（0,3），所以

f（x+6）=（x+6）2+1，则f（x）=-x2-12x-37（x∈（-6,-3））.34f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+3）

题型4

函数性质的综合应用

已知函数f（x）的定义域为R，且

f（x+2）=-f（x）.

（1）求证：f（x）是周期函数；

（2）若f（x）为奇函数，且当0≤x≤1时，

f（x）=x.求使f（x）=1（x∈［0,2011］）的所有x的个数.35题型4函数性质的综合应用35（1）证明：因为f（x+2）=

-f（x），所以f（x+4）=-f（x+2）=

-［-f（x）］=f（x），

所以f（x）是以4为周期的周期函数.（2）当0≤x≤1时，f（x）=x.设-1≤x≤0，则0≤-x≤1，所以f（-x）=-x.因为f（x）是奇函数，所以f（x）=-f（-x）=x.

故f（x）=x（-1≤x≤1）.36（1）证明：因为f（x+2）=-f（x），又设1＜x≤3，则-1＜x-2≤1，所以f（x）=f（x-2+2）=-f（x-2）=2-x.所以由f（x）=1，解得x=1.因为f（x）是以4为周期的周期函数，所以使f（x）=1的x满足x=4n+1（n∈Z）.37又设1＜x≤3，则-1＜x-2≤1，所以f（x）=f（x

令0≤4n+1≤2011，则

.又因为n∈Z，所以0≤n≤502（n∈Z），

所以在［0，2011］上共有503个x使f（x）=1.

【评注】判断函数的周期只需证明

f（x+T）=f（x）（T≠0），便可证明函数是周期函数.函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，合理地进行转化是解决这类问题的关键.38令0≤4n+1≤2011，则.38

已知梦里不知身是客

是奇函数.（1）求k的值和函数的定义域；（2）由（1）判断f（x）在（1,+∞）上的单调性.39已知梦里不知身是客是奇函数.39（1）由f（x）+f（-x）=0，得,则k2=1.依题意，k≠1，所以k=-1.于是由

，得x<-1或x>1.故函数f（x）的定义域为（-∞,-1）∪（1,+∞）.40（1）由f（x）+f（-x）=0，40（2）设x1,x2∈（1,+∞）,x1<x2,令

,则因为x1-1>0,x2-1>0,所以u（x1）-u（x2）>0,即u（x）在（1,+∞）上是减函数.由于y=logau（a>1）在（0,+∞）是增函数，故函数f（x）在（1,+∞）上是减函数.41（2）设x1,x2∈（1,+∞）,x1<x2,41

1.函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，这一点与函数的单调性是有区别的.一般来说，单调性是函数在定义域内局部的性质，在定义域内的局部上，讨论函数的奇偶性是没有意义的.设函数的定义域为D，若x∈D，则-x∈D，这是讨论函数奇偶性的先决条件，否则，函数就不具有奇偶性.若命题“若x∈D，则-x∈D”成立，作f（-x）的运算才有意义.421.函数的奇偶性42此时，若f（x）-f（-x）=0，则函数是偶函数；若f（x）+f（-x）=0，则函数是奇函数.奇、偶函数的图象具有对称性，奇函数的图象关于坐标原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，所以奇函数在原点有定义时，一定有f（0）=0，在原点无定义时，函数的图象以坐标轴为渐近线.根据函数图象的对称性特点，奇函数在关于原点对称的区间上，单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上，单调性相反.43此时，若f（x）-f（-x）=0，则函数是偶函数；若f（

2.常见函数的奇偶性正比例函数f（x）=kx（k≠0）是奇函数;反比例函数f（x）=

（k≠0）,x∈（-∞,0）∪（0,+∞）是奇函数;三角函数f（x）=sinx（x∈R）,f（x）=tanx（{x|x≠π2+kπ,k∈Z}）是奇函数,f（x）=cosx（x∈R）是偶函数，多项式函数f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，当奇次项为0时，是偶函数；当偶次项为0时，是奇函数.442.常见函数的奇偶性44

3.函数的周期性已知函数f（x）的定义域为D，对于x∈D，总有f（x+T）=f（x），称函数f（x）为周期函数，其中T是函数的一个周期.若T是最小的正数，则T称为最小正周期，简称周期.因此研究周期函数的周期，就是指最小正周期.

453.函数的周期性45

4.函数的奇偶性与周期性设函数y=f（x+a）（a>0），如果函数y=f（x+a）（a>0）为偶函数，则用-x代x得f（a-x）=f（a+x），于是函数有对称轴x=a.事实上，将函数y=f（x+a）的图象向左平移a个单位长度，可得到函数g=f（x）的图象，该函数的图象关于y轴对称；464.函数的奇偶性与周期性46如果函数y=f（x+a）（a>0）为奇函数，则用-x代x得f（a-x）=-f（a+x），于是函数有对称点（a,0）.事实上，将函数y=f（x+a）的图象向左平移a个单位长度，可得到函数g=f（x）的图象，该函数的图象关于原点对称.47如果函数y=f（x+a）（a>0）为奇函数，则用-x代x

1.（2008·辽宁卷）若函数y=（x+1）（x-a）为偶函数，则a=（）

A.-2

B.-1

C.1

D.2

由f（-1）=f（1），得0=2（1-a），所以a=1.答案：C481.（2008·辽宁卷）若函数y=（x+1）（x-a）

2.（2009·山东卷）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-4）=-f（x）,且在区间[0,2]上是增函数,则（）

A.f（-25）<f（11）<f（80）

B.f（80）<f（11）<f（-25）

C.f（11）<f（80）<f（-25）

D.f（-25）<f（80）<f（11）492.（2009·山东卷）已知定义在R上的奇函数f（x），因为f（x）满足f（x-4）=-f（x）,所以f（x-8）=f（x）,所以函数f（x）是以8为周期的周期函数,则f（-25）=f（-1）,f（80）=

f（0）,f（11）=f（3）.又因为f（x）在R上是奇函数，所以f（0）=0,得f（80）=f（0）=0,

f（-25）=f（-1）=-f（1）.而由f（x-4）=

-f（x）,得f（11）=f（3）=-f（-3）=-f（1-4）=f（1）,又因为f（x）在区间[0,2]上是增函数,所以f（1）>f（0）=0,所以-f（1）<0,即f（-25）<f（80）<f（11）,故选D.

答案：D50因为f（x）满足f（x-4）=-f（x）,所以f（

3.（2009·江西卷）已知函数f（x）是（-∞,+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈［0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（-2008）+

f（2009）的值为（）

A.-2

B.-1

C.1

D.2

答案：C513.（2009·江西卷）已知函数f（x）是（-∞,+∞

试题透析函数奇偶性命题的背景一般是利用奇偶性的性质研究函数的其他性质，在高考的基本题型中都有体现.函数的周期性一般只是通过选择、填空题来考查；函数的奇偶性与具体函数的特点有关，但函数的周期性一般与抽象函数有关.52试题透析函数奇偶性命题的背景一般是利用奇偶性的性质本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来

85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布]86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯]88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森]90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯]92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯]93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金]95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班]96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格]98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根]99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特]100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹]101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰]102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华]103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗]104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭]105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基]106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克]107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼]108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿]109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基]110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆]111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯]112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯]113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯]114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。――[阿萨·赫尔帕斯爵士]115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂]117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯]118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默]119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀]120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯]121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯]122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑]123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔]124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多]125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼]127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron]128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温]129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰·鲁斯金]函数的奇偶性和周期性复习优秀课件54本课件主要使用工具为office2003，Mathtype5.0,几何画板4.0,flashplayer10.055本课件主要使用工具为office第六课时函数的奇偶性和周期性第二章函数56第六课时函数的奇偶性和周期性第二章函数2

1．函数的奇偶性（1）如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有

，那么函数f(x)就叫做偶函数，其图象关于

对称.（2）如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有

，那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象关于

对称.f（-x）=f（x）y轴f（-x）=-f（x）原点571．函数的奇偶性f（-x）=f（x）y轴f（-x）=-f

2.函数的周期性设函数y=f（x），x∈D，如果存在一个

T，使得对任何x∈D，都有

，则称函数f（x）为周期函数，T为y=f（x）的一个周期.如果在所有的周期中存在一个

，那么这个

叫做f（x）的最小正周期，简称周期.非零常数f（x+T）=f（x）最小正数最小正数582.函数的周期性非零常数f（x+T）=f（x）最小正数最

1.（2008·福建卷）函数f（x）=x3+sinx+1（x∈R）,若f（a）=2,则f（-a）的值为（）

A.3

B.0

C.-1

D.-2

591.（2008·福建卷）函数f（x）=x

方法1：因为f（a）=2,即a3+sina+1=2,所以a3+sina=1,所以f（-a）=（-a）3+sin（-a）+1=

-（a3+sina）+1=-1+1=0.方法2：易知h（x）=f（x）-1为奇函数，所以f（-a）=h（-a）+1=-h（a）+1=

-f（a）+2=0,故选B.答案：B60方法1：因为f（a）=2,即a3+sina+1=2

2.偶函数f（x）在（-∞,0］上是增函数，若f（a）≤f（2），则a的取值范围是（）

A.（-∞,2］B.［-2,+∞）

C.［-2,2］D.（-∞,-2］∪［2,+∞）

因为f（x）为偶函数，所以f（-2）=f（2）.而f（x）在（-∞,0］上递增，且f（a）≤f（2），所以a≤-2或a≥2,故选D.612.偶函数f（x）在（-∞,0］上是增函数，若f（a）≤

3.已知函数f（x）满足f（x+2）=

-f（x）.当x∈［1,3］时，f（x）=，则f（-6）=（）

A.1

B.

C.-1

D.

由f（x+2）=-f（x），得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），所以f（x）的周期是4，所以f（-6）=f（-2）=f（2）=

,故选D.623.已知函数f（x）满足f（x+2）=-f（x）.

4.偶函数f（x）在（0,+∞）上是减函数，若f（

）>0>f（

），则方程f（x）=0的根的个数是

.

数形结合，易知方程f（x）=0在区间（

,

）,（

,

）上各有一个根，故原方程共有2个根.634.偶函数f（x）在（0,+∞）上是减函数，若f（）>

5.设函数f（x）为R上的奇函数，f（1）=

，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=

.

取x=-1，则f（1）=f（-1）+f（2）=

-f（1）+f（2），得f（2）=2f（1）.因为

f（1）=

，所以f（2）=1.故f（5）=f（3+2）=f（3）+f（2）=f（1+2）+f（2）=f（1）+2f（2）=

.645.设函数f（x）为R上的奇函数，f（1）=，f（x+

1.函数的奇偶性和周期性（1）函数f（x）,g（x）在区间［-a,a］上都是奇函数，设h（x）=f（x）+g（x）,

v（x）=f（x）·g（x），判断h（x）,v（x）的奇偶性，h（x）是

；v（x）是

.

奇函数偶函数651.函数的奇偶性和周期性奇函数偶函数11（2）给出下列函数：（ⅰ）y=lg|x|；（ⅱ）y=x·sinx；（ⅲ）y=x·cosx；（ⅳ）y=2x+2-x，其中偶函数的个数是

.（3）已知函数f（x）=cos2x，若对于正数b，有f（2b+x）=f（x），则b的最小值为

.（4）分析函数f（x）=x2+

的奇偶性：

.3若a=1，则是偶函数，若a≠1，则是非奇非偶函数66（2）给出下列函数：（ⅰ）y=lg|x|；（ⅱ）y=x·s

2.函数的奇偶性与周期性的应用（1）已知f（x）=x3+bsinx+1（b≠0）.若f（-3）=5，则f（3）=

.（2）已知f（x）=

，若f（x）+f（-x）=0，则a=

.-3672.函数的奇偶性与周期性的应用-313（3）已知R上的函数f（x）满足f（x+2）=

.若f（1）=，则f（2011）=

.（4）函数f（x）=ax2+bx+3a+b是区间［a-1,2a］上的偶函数，则a=

，b=

.2011068（3）已知R上的函数f（x）满足f（x+2）=.若f

3.抽象函数的奇偶性与周期性（1）已知函数y=f（x+2）是奇函数，若f（5）=3，则f（-1）=

.（2）已知f（x）是R上的奇函数，下列判断正确的是

.（ⅰ）f（x）·f（-x）≤0；（ⅱ）f（x）·f（-x）>0；（ⅲ）f（x）-f（-x）≤0；（ⅳ）f（x）-f（-x）>0.-3（ⅰ）693.抽象函数的奇偶性与周期性-3（ⅰ）15

（3）已知f（x）是R上的函数，若对任意的实数x、y，都有f（x+y）=f（x）+

f（y），则f（x）具有奇偶性，是奇函数还是偶函数

.

（4）已知定义在R上的函数f（x），对正数b，总有f（x-b）=f（x+b）成立，则f（x）是周期函数，周期T=

.

（5）函数f（x）满足f（x+1）=，则f（x）是周期函数，周期T=

.

奇函数2b270（3）已知f（x）是R上的函数，若对任意的实数x、y，都有

题型1

判断函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性.

71题型1判断函数的奇偶性17（1）由>0，得-1<x<1,故f（x）的定义域关于原点对称.又f（-x）=

=

=

=

-f（x），

故原函数是奇函数.（2）由≥0，得-1≤x<1，定义域不关于原点对称，故原函数是非奇非偶函数.72（1）由>0，得-1<x<1,故f（x）的定义（3）定义域为（-∞,0）∪（0,+∞），它关于原点对称.又当x>0时，f（x）=x2+x，则当x<0时，-x>0,故f（-x）=x2-x=f（x）;当x<0时，f（x）=x2-x,则当x>0时，-x<0,故f（-x）=x2+x=f（x）.

故原函数是偶函数.（4）因为定义域为一切实数，且f（-x）=

=-f（x），

故原函数是奇函数.73（3）定义域为（-∞,0）∪（0,+∞），它关于原点对称.

【评注】在函数奇偶性的定义中，有两个必备条件，一是定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；二是判断f（x）与f（-x）是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）+f（-x）=0（奇函数）或f（x）-f（-x）=0（偶函数））是否成立，这样能简化运算.74【评注】在函数奇偶性的定义中，有两个必备条件，一是定义域如本题中（4），判断f（x）+f（-x）=0是否成立，要方便得多.本题（3）是分段函数判断奇偶性，分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数.分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x）是否成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性.75如本题中（4），判断f（x）+f（-x）=0是否成立，要

判断下列函数的奇偶性.

（1）因为定义域{-1,1}关于原点对称，且f（-x）=±f（x）=0，所以原函数既是奇函数又是偶函数.76判断下列函数的奇偶性.22（2）由1-x2>0，得-1<x<1,则|x-2|-2=-x，且f（-x）=-f（x）,故原函数是奇函数.（3）因为定义域为全体实数，且f（-x）=

=-f（x），故原函数是奇函数.77（2）由1-x2>0，得-1<x<1,则|x-2|-2=-

题型2函数奇偶性的应用若函数

是奇函数，求实数a的值.

方法1：由f（x）+f（-x）=0，得即loga2a2=0，所以2a2=1.78题型2函数奇偶性的应用24因为a>0，所以a=

.方法2：因为奇函数的定义域为全体实数，所以函数在原点有定义，则f（0）=0,即，则2a2=1,得a=

.

【评注】抓住奇函数的定义或特殊性质，是解决此类问题的重要法宝.79因为a>0，所以a=.25

已知函数

长方形和部（a,b,c∈Z）是奇函数，又f（1）=2，f（2）＜3，且f（x）在［1，+∞）上递增，求a,b,c的值.

由f（-x）=-f（x），得

.比较等式两边的系数知c=0，所以

.80已知函数长方形和部（a,b,c∈Z）是奇函数因为f（1）=2，所以

，即2b=a+1.①又因为f（2）＜3，f（x）在［1，+∞）上递增，所以2＜f（2）＜3，即2＜＜3.②联立①②解得＜a＜2.因为a∈Z，所以a=1，则b=1.综上所述，a=b=1,c=0.81因为f（1）=2，所以，即2b=a+1.①又因为

题型3函数的周期性偶函数f（x）满足f（x+3）=-f（x），当x∈［-3,-2］时，f（x）=2x，求f（116．5）的值.

因为f（x+6）=f［3+（x+3）］=

-f（x+3）=f（x），所以函数f（x）的周期T=6.82题型3函数的周期性28又116．5=19×6+2．5，所以f（116．5）=f（2．5）=f（-2．5）=2×（-2．5）=-5.

【评注】求周期函数的函数值，要根据函数的周期性，将自变量的范围转化到已知区间上，利用已知区间上函数的表达式求函数的值.83又116．5=19×6+2．5，29

已知函数f（x）（x∈R）的图象经过原点，且f（x+2）=f（x+5），求

f（2010）的值.

令u=x+2，得x=u-2，则f（u）=f（u+3），所以函数f（x）的周期为3.依题意，f（0）=0，且2010=670×3，所以f（2010）=f（0）=0.84已知函数f（x）（x∈R）的图象经过原点，且f（

已知f（x）是定义在R上的函数，f（2+x）=-f（2-x）,f（x+2）=

.（1）函数f（x）是不是周期函数，若是，求出周期;（2）判断f（x）的奇偶性.

（1）f（x）是周期函数.因为f（x+4）=f［2+（x+2）］=国家的共和

=f（x），85已知f（x）是定义在R上的函数，f（2+x）=-

故其周期为4.

（2）由f（2+x）=-f（2-x），令u=2-x,则x=2-u,故f（u）=-f（4-u）,即f（x）=-f（4-x）.用-x代x，得f（-x）=-f（x+4）.结合（1）知，f（-x）=-f（x），所以函数f（x）是奇函数.86故其周期为4.32

【评注】在抽象函数讨论中，函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性是紧密联系在一起的，如偶函数具有对称轴x=a（a>0），则一定是周期函数.因为图象关于x=a（a≠0）对称，则f（a-x）=f（a+x）成立，所以

f（2a+x）=f［a+（a+x）］=f［a-（a+x）］=

f（-x）=f（x），所以周期为2a.87【评注】在抽象函数讨论中，函数的奇偶性、周期性与函数图象

f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+3）=f（3-x）.若x∈（0,3）时，其解析式为y=x2+1,求x∈（-6,-3）时，函数f（x）的解析式.

因为f（x）在R上是奇函数,所以

f（6+x）=f［3+（3+x）］=f［3-（3+x）］=

f（-x）=-f（x），所以f（x）=-f（x+6）.当x∈（-6,-3）时，x+6∈（0,3），所以

f（x+6）=（x+6）2+1，则f（x）=-x2-12x-37（x∈（-6,-3））.88f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+3）

题型4

函数性质的综合应用

已知函数f（x）的定义域为R，且

f（x+2）=-f（x）.

（1）求证：f（x）是周期函数；

（2）若f（x）为奇函数，且当0≤x≤1时，

f（x）=x.求使f（x）=1（x∈［0,2011］）的所有x的个数.89题型4函数性质的综合应用35（1）证明：因为f（x+2）=

-f（x），所以f（x+4）=-f（x+2）=

-［-f（x）］=f（x），

所以f（x）是以4为周期的周期函数.（2）当0≤x≤1时，f（x）=x.设-1≤x≤0，则0≤-x≤1，所以f（-x）=-x.因为f（x）是奇函数，所以f（x）=-f（-x）=x.

故f（x）=x（-1≤x≤1）.90（1）证明：因为f（x+2）=-f（x），又设1＜x≤3，则-1＜x-2≤1，所以f（x）=f（x-2+2）=-f（x-2）=2-x.所以由f（x）=1，解得x=1.因为f（x）是以4为周期的周期函数，所以使f（x）=1的x满足x=4n+1（n∈Z）.91又设1＜x≤3，则-1＜x-2≤1，所以f（x）=f（x

令0≤4n+1≤2011，则

.又因为n∈Z，所以0≤n≤502（n∈Z），

所以在［0，2011］上共有503个x使f（x）=1.

【评注】判断函数的周期只需证明

f（x+T）=f（x）（T≠0），便可证明函数是周期函数.函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，合理地进行转化是解决这类问题的关键.92令0≤4n+1≤2011，则.38

已知梦里不知身是客

是奇函数.（1）求k的值和函数的定义域；（2）由（1）判断f（x）在（1,+∞）上的单调性.93已知梦里不知身是客是奇函数.39（1）由f（x）+f（-x）=0，得,则k2=1.依题意，k≠1，所以k=-1.于是由

，得x<-1或x>1.故函数f（x）的定义域为（-∞,-1）∪（1,+∞）.94（1）由f（x）+f（-x）=0，40（2）设x1,x2∈（1,+∞）,x1<x2,令

,则因为x1-1>0,x2-1>0,所以u（x1）-u（x2）>0,即u（x）在（1,+∞）上是减函数.由于y=logau（a>1）在（0,+∞）是增函数，故函数f（x）在（1,+∞）上是减函数.95（2）设x1,x2∈（1,+∞）,x1<x2,41

1.函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，这一点与函数的单调性是有区别的.一般来说，单调性是函数在定义域内局部的性质，在定义域内的局部上，讨论函数的奇偶性是没有意义的.设函数的定义域为D，若x∈D，则-x∈D，这是讨论函数奇偶性的先决条件，否则，函数就不具有奇偶性.若命题“若x∈D，则-x∈D”成立，作f（-x）的运算才有意义.961.函数的奇偶性42此时，若f（x）-f（-x）=0，则函数是偶函数；若f（x）+f（-x）=0，则函数是奇函数.奇、偶函数的图象具有对称性，奇函数的图象关于坐标原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，所以奇函数在原点有定义时，一定有f（0）=0，在原点无定义时，函数的图象以坐标轴为渐近线.根据函数图象的对称性特点，奇函数在关于原点对称的区间上，单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上，单调性相反.97此时，若f（x）-f（-x）=0，则函数是偶函数；若f（

2.常见函数的奇偶性正比例函数f（x）=kx（k≠0）是奇函数;反比例函数f（x）=

（k≠0）,x∈（-∞,0）∪（0,+∞）是奇函数;三角函数f（x）=sinx（x∈R）,f（x）=tanx（{x|x≠π2+kπ,k∈Z}）是奇函数,f（x）=cosx（x∈R）是偶函数，多项式函数f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，当奇次项为0时，是偶函数；当偶次项为0时，是奇函数.982.常见函数的奇偶性44

3.函数的周期性已知函数f（x）的定义域为D，对于x∈D，总有f（x+T）=f（x），称函数f（x）为周期函数，其中T是函数的一个周期.若T是最小的正数，则T称为最小正周期，简称周期.因此研究周期函数的周期，就是指最小正周期.

993.函数的周期性45

4.函数的奇偶性与周期性设函数y=f（x+a）（a>0），如果函数y=f（x+a）（a>0）为偶函数，则用-x代x得f（a-x）=f（a+x），于是函数有对称轴x=a.事实上，将函数y=f（x+a）的图象向左平移a个单位长度，可得到函数g=f（x）的图象，该函数的图象关于y轴对称；1004.函数的奇偶性与周期性46如果函数y=f（x+a）（a>0）为奇函数，则用-x代x得f（a-x）=-f（a+x），于是函数有对称点（a,0）.事实上，将函数y=f（x+a）的图象向左平移a个单位长度，可得到函数g=f（x）的图象，该函数的图象关于原点对称.101如果函数y=f（x+a）（a>0）为奇函数，则用-x代x

1.（2008·辽宁卷）若函数y=（x+1）（x-a）为偶函数，则a=（）

A.-2

B.-1

C.1

D.2

由f（-1）=f（1），得0=2（1-a），所以a=1.答案：C1021.（2008·辽宁卷）若函数y=（x+1）（x-a）

2.（2009·山东卷）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-4）=-f（x）,且在区间[0,2]上是增函数,则（）

A.f（-25）<f（11）<f（80）

B.f（80）<f（11）<f（-25）

C.f（11）<f（80）<f（-25）

D.f（-25）<f（80）<f（11）1032.（2009·山东卷）已知定义在R上的奇函数f（x），因为f（x）满足f（x-4）=-f（x）,所以f（x-8）=f（x）,所以函数f（x）是以8为周期的周期函数,则f（-25）=f（-1）,f（80）=

f（0）,f（11）=f（3）.又因为f（x）在R上是奇函数，所以f（0）=0,得f（80）=f（0）=0,

f（-25）=f（-1）=-f（1）.而由f（x-4）=

-f（x）,得f（11）=f（3）=-f（-3）=-f（1-4）=f（1）,又因为f（x）在区间[0,2]上是增函数,所以f（1）>f（0）=0,所以-f（1）<0,即f（-25）<f（80）<f（11）,故选D.

答案：D104因为f（x）满足f（x-4）=-f（x）,所以f（

3.（2009·江西卷）已知函数f（x）是（-∞,+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈［0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（-2008）+

f（2009）的值为（）

A.-2

B.-1

C.1

D.2

答案：C1053.（2009·江西卷）已知函数f（x）是（-∞,+∞

试题透析函数奇偶性命题的背景一般是利用奇偶性的性质研究函数的其他性质，在高考的基本题型中都有体现.函数的周期性一般只是通过选择、填空题来考查；函数的奇偶性与具体函数的特点有关，但函数的周期性一般与抽象函数有关.106试题透析函数奇偶性命题的背景一般是利用奇偶性的性质本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来

85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，