第1讲　万有引力与宇宙航行高考物理总复习新教材版

第讲万有引力与宇宙航行[教材阅读指导](对应人教版新教材必修第二册页码及相关问题)P45开普勒行星运动定律的表述。提示：开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。P45～46，对行星运动轨道简化为圆轨道后的开普勒三个定律的表述。提示：(1)行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。(2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做匀速圆周运动。(3)所有行星轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即eq\f(r3,T2)＝k。P48[练习与应用]T2。提示：近地点的速度较大。P49～50阅读“行星与太阳间的引力”这一部分内容，太阳与行星间引力公式依据什么推导出来的？提示：依据开普勒行星运动定律和圆周运动向心力公式及牛顿第三定律推导出来的。P51什么是月—地检验？提示：地面物体所受地球的引力，月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。P52引力常量是如何测得的？数值为多少？提示：英国物理学家卡文迪什利用扭秤装置测得G＝6.67×10－11N·m2/kg2。P55～58万有引力理论的成就有哪些？提示：“称量”地球的质量、计算天体的质量、发现未知天体、预言哈雷彗星回归。P59～60阅读“宇宙速度”这一部分内容，发射地球卫星的最小速度是多少？有哪两种计算方法？提示：7.9km/s。方法一：eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mv2,R)，v＝eq\r(\f(GM,R))＝7.9km/s；方法二：mg＝eq\f(mv2,R)，v＝eq\r(gR)＝7.9km/s。P64[科学漫步]，黑洞的特点是什么？提示：黑洞是引力非常大的天体，光以3×108m/s的速度都不能从其表面逃逸。P71[复习与提高]B组T2；T3；T4；T6。提示：T2：将行星看作球体，设半径为R，质量为m星，则行星的密度为ρ＝eq\f(m星,V)＝eq\f(m星,\f(4πR3,3))。卫星贴近行星表面运行时，运动半径为R，由万有引力提供向心力可知eq\f(Gm星m,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，即m星＝eq\f(4π2R3,GT2)。由此可以解得ρT2＝eq\f(3π,G)，式中G为引力常量，可见ρT2是一个对任何行星都相同的常数。温馨提示：当卫星贴着行星表面飞行时，只要有一个计时工具就可以知道行星的密度。T3：eq\f(7Gmm′,36R2)。质量分布均匀的球体之间的万有引力可以等效为质量集中在两球心的两个质点之间的万有引力，直接代公式可求。本题采用先填补成完整的球体，再减去补上的小球部分产生的引力的方法来求解。T4：4h。地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由eq\f(Gm地m,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得T＝eq\r(\f(4π2r3,Gm地))，故卫星与地球间的距离变小。要想仅用三颗同步卫星来实现地球赤道上任意两点之间保持无线电通信的目的，最小的轨道半径对应的几何关系为卫星连线正好和地球相切，如图所示。由几何关系可推出最小半径，从而得到最小周期。T6：t≈1.1年。海王星的轨道半径最大，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短。行星冲日现象可类比田径场跑道上的运动员的追及相遇问题。轨道半径越大的行星公转周期越长，轨道半径越小的行星公转周期越短，公转周期短的不断超越公转周期长的。地外行星的公转周期都比地球的公转周期长，地球的公转周期最短，每超越一次就发生一次冲日。行星与地球的公转周期相差越大，冲日的周期就越短。物理观念开普勒行星运动定律1．定律内容(1)开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是eq\x(\s\up1(01))椭圆，太阳处在椭圆的一个eq\x(\s\up1(02))焦点上。(2)开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的eq\x(\s\up1(03))面积相等。(3)开普勒第三定律：所有行星轨道的eq\x(\s\up1(04))半长轴的三次方跟它的eq\x(\s\up1(05))公转周期的二次方的比都相等，即eq\x(\s\up1(06))eq\f(a3,T2)＝k。2．适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。物理观念万有引力定律及应用1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与eq\x(\s\up1(01))物体的质量m1和m2的乘积成正比，与eq\x(\s\up1(02))它们之间距离r的二次方成反比。2．公式：F＝eq\x(\s\up1(03))Geq\f(m1m2,r2)，其中G叫作引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2，其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。3．适用条件：适用于两个eq\x(\s\up1(04))质点或均匀球体；r为两质点或均匀球体球心间的距离。4．万有引力理论的主要成就(1)发现未知天体。(2)计算天体质量。物理观念环绕速度1．第一宇宙速度数值为eq\x(\s\up1(01))7.9km/s。2．第一宇宙速度是人造卫星在eq\x(\s\up1(02))地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。3．第一宇宙速度是人造卫星的最小eq\x(\s\up1(03))发射速度，也是人造卫星的最大eq\x(\s\up1(04))环绕速度。4．第一宇宙速度的计算方法(1)由Geq\f(mm地,R2)＝meq\f(v2,R)，解得：v＝eq\x(\s\up1(05))eq\r(\f(Gm地,R))；(2)由mg＝meq\f(v2,R)，解得：v＝eq\x(\s\up1(06))eq\r(gR)。物理观念第二宇宙速度和第三宇宙速度1．第二宇宙速度(脱离速度)使物体挣脱eq\x(\s\up1(01))地球引力束缚的最小发射速度，其数值为eq\x(\s\up1(02))11.2km/s。2．第三宇宙速度(逃逸速度)使物体挣脱eq\x(\s\up1(03))太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为eq\x(\s\up1(04))16.7km/s。物理观念相对论时空观与牛顿力学的局限性1.相对论时空观(1)爱因斯坦的两个假设：在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是eq\x(\s\up1(01))相同的；真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是eq\x(\s\up1(02))相同的。(2)同时的相对性：根据爱因斯坦的假设，如果两个事件在一个参考系中是同时的，在另一个参考系中eq\x(\s\up1(03))不一定是同时的。(3)爱因斯坦假设的结果①时间延缓效应如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体完成这个动作的时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是Δt＝eq\x(\s\up1(04))eq\f(Δτ,\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,c)))2))。②长度收缩效应如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝eq\x(\s\up1(05))l0eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,c)))2)。2．牛顿力学的成就与局限性(1)牛顿力学的成就牛顿力学的基础是eq\x(\s\up1(06))牛顿运动定律。牛顿力学在eq\x(\s\up1(07))宏观、eq\x(\s\up1(08))低速的广阔领域里与实际相符，显示了牛顿运动定律的正确性和牛顿力学的魅力。(2)牛顿力学的局限性①物体在以接近eq\x(\s\up1(09))光速运动时所遵从的规律，有些是与牛顿力学的结论并不相同的。②电子、质子、中子等微观粒子不仅具有粒子性，同时还具有eq\x(\s\up1(10))波动性，它们的运动规律在很多情况下不能用牛顿力学来说明，而eq\x(\s\up1(11))量子力学能够很好地描述微观粒子运动的规律。③基于实验检验的牛顿力学不会被新的科学成就所否定，而是作为某些条件下的eq\x(\s\up1(12))特殊情形，被包括在新的科学成就之中。当物体的运动速度eq\x(\s\up1(13))远小于光速c时，eq\x(\s\up1(14))相对论物理学与牛顿力学的结论没有区别；当另一个重要常数即普朗克常量h可以忽略不计时，eq\x(\s\up1(15))量子力学和牛顿力学的结论没有区别。相对论与量子力学都没有否定过去的科学，而只认为过去的科学是自己在eq\x(\s\up1(16))一定条件下的特殊情形。一堵点疏通1．只有天体之间才存在万有引力。()2．行星在椭圆轨道上的运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小。()3．人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心。()4．地球同步卫星一定在赤道的正上方。()5．同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。()6．发射火星探测器的速度必须大于11.2km/s。()答案1.×2.√3.√4.√5.√6.√二对点激活1．关于万有引力公式F＝Geq\f(m1m2,r2)，以下说法中正确的是()A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大C．两物体间的万有引力也遵从牛顿第三定律D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的答案C解析万有引力公式F＝Geq\f(m1m2,r2)适用于质点或均匀球体间引力的计算，当两物体间距离趋近于0时，两个物体就不能看作质点，故F＝Geq\f(m1m2,r2)已不再适用，所以不能说万有引力趋近于无穷大，故A、B错误；两物体间的万有引力也遵从牛顿第三定律，C正确；G的值是卡文迪什通过扭秤实验测得的，D错误。2．(人教版必修第二册·P64·T4改编)火星的质量和半径分别约为地球的eq\f(1,10)和eq\f(1,2)，地球的第一宇宙速度为v，则火星的第一宇宙速度约为()A．eq\f(\r(5),5)v B．eq\r(5)vC．eq\r(2)v D．eq\f(\r(2),2)v答案A解析由eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mv2,R)求得第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，故eq\f(v火,v)＝eq\r(\f(M火,M)·\f(R,R火))＝eq\r(\f(1,5))，所以v火＝eq\f(\r(5),5)v，故A正确。3．(人教版必修第二册·P58·T4节选)地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆，如图所示，天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年左右。请根据开普勒行星运动定律估算哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的多少倍。答案17.8解析设地球绕太阳公转的轨道半径为R0，周期为T0，哈雷彗星绕太阳公转的轨道半长轴为a，周期为T，由题意可知T＝2061年－1986年＝75年，根据开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k，有eq\f(a3,T2)＝eq\f(R\o\al(3,0),T\o\al(2,0))，则eq\f(a,R0)＝eq\r(3,\f(T2,T\o\al(2,0)))≈17.8。考点1开普勒三定律的理解与应用[科学思维梳理]1．微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内的运动可看作匀速直线运动，由Sa＝Sb知eq\f(1,2)va·Δt·a＝eq\f(1,2)vb·Δt·b，可得va＝eq\f(vbb,a)。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。2．行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。3．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。4．开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。例1(2017·全国卷Ⅱ)(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中()A．从P到M所用的时间等于eq\f(T0,4)B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大C．从P到Q阶段，速率逐渐变小D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功[答案]CD[解析]由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等，A错误；由机械能守恒定律知，从Q到N阶段，除万有引力做功之外，没有其他的力对海王星做功，故机械能守恒，B错误；从P到Q阶段，万有引力做负功，动能转化成海王星的势能，所以动能减小，速率逐渐变小，C正确；从M到N阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功，D正确。[关键能力升华]绕太阳沿椭圆轨道运行的行星越靠近近日点线速度越大，线速度大小与行星到太阳的距离成反比，在近日点线速度最大。[对点跟进训练](开普勒第三定律的应用)(2021·全国甲卷)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为()A．6×105m B．6×106mC．6×107m D．6×108m答案C解析设沿火星表面运动的卫星的绕行周期为T0，则有Geq\f(Mm,R2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T0)))2R，在火星表面处有eq\f(GMm,R2)＝mg，联立可得T0＝2πeq\r(\f(R,g))；设“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最近距离为d1，最远距离为d2，则停泊轨道的半长轴为a＝eq\f(d1＋d2＋2R,2)，由开普勒第三定律可知eq\f(a3,T2)＝eq\f(R3,T\o\al(2,0))，由以上各式联立，可得d2＝2eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))－d1－2R≈6×107m，故C正确。考点2万有引力定律及其应用考向1万有引力定律的理解及简单应用[科学思维梳理]1．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F可分解为：重力mg、提供物体随地球自转的向心力F向。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在两极上：Geq\f(Mm,R2)＝mg0。(3)在一般位置：万有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和。越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，通常可认为万有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg。2．星球上空的重力加速度g′设星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，则mg′＝eq\f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq\f(GM,R＋h2)，所以eq\f(g,g′)＝eq\f(R＋h2,R2)。3．万有引力的“两点理解”和“两个推论”(1)两点理解①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力。②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力。(2)两个推论①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的球体其他部分物质的万有引力，等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝Geq\f(M′m,r2)。4．万有引力定律的表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)适用于计算质点或匀质球体间的万有引力。当物体间的作用力不符合万有引力公式的适用条件时，可以把物体分成若干部分，求出两物体每部分之间的万有引力，然后求它们的合力。例2(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的eq\f(1,10)，半径约为地球半径的eq\f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为()A．0.2 B．0.4C．2.0 D．2.5[答案]B[解析]设该物体质量为m，则在火星表面有F火＝Geq\f(M火m,R\o\al(2,火))，在地球表面有F地＝Geq\f(M地m,R\o\al(2,地))，由题意知eq\f(M火,M地)＝eq\f(1,10)，eq\f(R火,R地)＝eq\f(1,2)。联立以上各式可得eq\f(F火,F地)＝eq\f(M火,M地)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R地,R火)))2＝eq\f(1,10)×eq\f(4,1)＝0.4，故B正确。[对点跟进训练]1．(万有引力定律的应用)(2021·山东高考)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为()A．9∶1 B．9∶2C．36∶1 D．72∶1答案B解析悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力等于各自所受的万有引力，根据F＝Geq\f(Mm,R2)，可得eq\f(F祝融,F玉兔)＝eq\f(M火,M月)×eq\f(m祝融,m玉兔)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R月,R火)))2＝9×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(9,2)，故选B。2．(万有引力定律的应用)理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的质点(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则F随x的变化关系图像正确的是()答案A解析根据题意，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，当质点在地球的内部离球心x处时，受到地球的万有引力即为半径等于x的同心球体对质点的万有引力，所以F＝Geq\f(ρ·\f(4πx3,3)·m,x2)＝Geq\f(4πρm,3)x，其中ρ为地球的密度，m为质点的质量；当质点在地球球面或球面以外，离球心x处时，地球可以看成质量集中于球心的质点，对质点的万有引力F＝Geq\f(Mm,x2)，其中M为地球的质量。综上所述，当x<R时，F与x成正比，当x≥R后，F与x的平方成反比，所以A正确。考向2天体质量和密度的估算[科学思维梳理]1．重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天体质量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。2．天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)得天体的质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。注：若已知的量不是r、T，而是r、v或v、T等，计算中心天体质量和密度的思路相同。若已知r、v，利用Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得M＝eq\f(v2r,G)。若已知v、T，可先求出r＝eq\f(vT,2π)，再利用Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)或Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r求M。若已知ω、T则不能求出M。例3(2021·广东高考)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是()A．核心舱的质量和绕地半径B．核心舱的质量和绕地周期C．核心舱的绕地角速度和绕地周期D．核心舱的绕地线速度和绕地半径[答案]D[解析]根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r，则M＝eq\f(v2r,G)＝eq\f(ω2r3,G)＝eq\f(4π2r3,GT2)，可知要计算地球的质量M，除引力常量G外，还要知道核心舱的绕地半径r及绕地线速度v、绕地角速度ω或绕地周期T中的一个。所以若已知核心舱的质量和绕地半径或已知核心舱的质量和绕地周期，都不能计算出地球的质量；若已知核心舱的绕地角速度和绕地周期，不能计算出核心舱的绕地半径，也不能计算出地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径，可由M＝eq\f(v2r,G)计算出地球的质量。故D正确，A、B、C错误。[关键能力升华]估算天体质量和密度时应注意的问题(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝eq\f(4,3)πR3中的R只能是中心天体的半径。(3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有eq\f(GMm,R2)＝mg。[对点跟进训练](天体质量的求解)(2017·北京高考)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是()A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离答案D解析根据Geq\f(Mm,R2)＝mg可知，已知地球的半径及重力加速度可计算出地球的质量，A能；根据Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)及v＝eq\f(2πR,T)可知，已知人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期可计算出地球的质量，B能；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可知，已知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量，C能；已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量，D不能。考点3人造卫星的运动规律[科学思维梳理]1．人造卫星的运动规律(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看成质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。(2)两条思路①万有引力提供向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝man。②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。(3)地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)物理量推导依据表达式最大值或最小值线速度Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)v＝eq\r(\f(GM,r))当r＝R时有最大值，v＝7.9km/s角速度Geq\f(Mm,r2)＝mω2rω＝eq\r(\f(GM,r3))当r＝R时有最大值周期Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2rT＝2πeq\r(\f(r3,GM))当r＝R时有最小值，约85min向心加速度Geq\f(Mm,r2)＝manan＝eq\f(GM,r2)当r＝R时有最大值，最大值为g轨道平面圆周运动的圆心与中心天体中心重合共性：轨道半径越小，运动越快，周期越小2．地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h＝86400s。(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。(4)高度一定：据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))＝4.23×104km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)。(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。3．极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s。(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。例4(2021·海南高考)2021年4月29日，我国在海南文昌用长征五号B运载火箭成功将空间站天和核心舱送入预定轨道。核心舱运行轨道距地面的高度为400km左右，地球同步卫星距地面的高度接近36000km。则该核心舱的()A．角速度比地球同步卫星的小B．周期比地球同步卫星的长C．向心加速度比地球同步卫星的大D．线速度比地球同步卫星的小[答案]C[解析]核心舱和地球同步卫星都是由万有引力提供向心力而做匀速圆周运动，有Geq\f(Mm,r2)＝mω2r＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r＝ma＝meq\f(v2,r)，可得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，a＝eq\f(GM,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，而核心舱运行轨道距地面的高度为400km左右，地球同步卫星距地面的高度接近36000km，有r舱<r同，故有ω舱>ω同，T舱<T同，a舱>a同，v舱>v同，即核心舱的角速度比地球同步卫星的大，周期比地球同步卫星的短，向心加速度比地球同步卫星的大，线速度比地球同步卫星的大，故A、B、D错误，C正确。[关键能力升华]人造卫星问题的解题技巧(1)灵活运用卫星运动的动力学方程的不同表述形式：Geq\f(Mm,r2)＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r＝m(2πf)2r。(2)第一宇宙速度的两种计算方法：①v＝eq\r(\f(GM,R))＝7.9km/s；②v＝eq\r(Rg)＝7.9km/s。(3)同步卫星的特点：①具有特定的线速度、角速度和周期；②具有特定的位置高度和轨道半径；③运行轨道平面必须处于地球赤道平面上。注：比较卫星与地球表面的物体的运动参量时，可以间接通过比较卫星与同步卫星的参量来确定。(4)天体相遇与追及问题的处理方法首先根据eq\f(GMm,r2)＝mrω2判断出谁的角速度大，然后根据两星转动的角度关系求解。当两星追上或相距最近时满足两星运动的角度差等于2π的整数倍，即ωAt－ωBt＝n·2π(n＝1,2,3…)，相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍，即ωAt－ωBt＝(2n＋1)π(n＝0,1，2…)。[对点跟进训练]1．(天体的运动规律)(2020·北京高考)我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是()A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度答案A解析当发射速度大于地球的第二宇宙速度时，火星探测器才能克服地球引力的束缚进入太阳系空间，从而被火星引力俘获，故A正确，B错误；对于在星球表面附近做匀速圆周运动的物体，所受万有引力提供向心力，则有eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mv\o\al(2,1),R)，解得该星球的第一宇宙速度为v1＝eq\r(\f(GM,R))，所以火星的第一宇宙速度为v火＝eq\r(\f(GM火,R火))＝eq\r(\f(10%GM地,50%R地))＝eq\f(\r(5),5)v地，即火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；对于在星球表面的物体，忽略星球的自转，则所受万有引力近似等于物体在该星球所受的重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg星，解得该星球表面的重力加速度g星＝eq\f(GM,R2)，所以火星表面的重力加速度为g火＝eq\f(GM火,R\o\al(2,火))＝eq\f(10%GM地,50%2R\o\al(2,地))＝eq\f(2,5)g地，即火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误。2．(人造卫星的运动规律)(2021·辽宁高考)(多选)2021年2月，我国首个火星探测器“天问一号”实现了对火星的环绕。若已知该探测器在近火星圆轨道与在近地球圆轨道运行的速率比和周期比，则可求出火星与地球的()A．半径比 B．质量比C．自转角速度比 D．公转轨道半径比答案AB解析设该探测器在近火星圆轨道与在近地球圆轨道运行的速率比eq\f(v火,v地)＝a，周期比eq\f(T火,T地)＝b。探测器在近星球轨道做圆周运动时，其轨道半径等于星球的半径，所以根据2πR＝vT可得火星与地球的半径比eq\f(R火,R地)＝eq\f(v火,v地)·eq\f(T火,T地)＝ab，故A正确；根据万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，解得M＝eq\f(v2R,G)，所以火星与地球的质量比eq\f(M火,M地)＝eq\f(v\o\al(2,火),v\o\al(2,地))·eq\f(R火,R地)＝a2·ab＝a3b，故B正确；由于不知道火星与地球的同步卫星轨道半径比或自转周期比，所以无法求解火星与地球的自转角速度比，故C错误；由于不知道火星与地球围绕太阳公转的速度比或周期比，所以无法求解火星与地球的公转轨道半径比，故D错误。3．(综合)有a、b、c、d四颗地球卫星：a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动；b在地球的近地圆轨道上正常运行；c是地球同步卫星；d是高空探测卫星。各卫星排列位置如图，则下列说法正确的是()A．a的向心加速度大于b的向心加速度B．四颗卫星的速度大小关系是：va＞vb＞vc＞vdC．在相同时间内d转过的弧长最长D．d的运动周期可能是30h答案D解析由题意可知，卫星a、c的角速度相同，根据an＝ω2r，可知a的向心加速度小于c；b、c是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力有：Geq\f(Mm,r2)＝man，得：an＝eq\f(GM,r2)，可知b的向心加速度大于c；综上分析可知，a的向心加速度小于b的向心加速度，故A错误。因为a、c的角速度相同，根据v＝ωr，可知a的速度大小小于c，即va＜vc；b、c、d是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力有：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得：v＝eq\r(\f(GM,r))，因rb＜rc＜rd，则vb＞vc＞vd，故B错误。因b的线速度最大，则在相同时间内b转过的弧长最长，故C错误。c、d是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力得：T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，因d的轨道半径大于c的轨道半径，则d的周期大于c，而c的周期是24h，则d的运动周期可能是30h，故D正确。4．(天体的运动规律)(2021·湖北高考)2021年5月，天问一号探测器软着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步。火星与地球公转轨道近似为圆，两轨道平面近似重合，且火星与地球公转方向相同。火星与地球每隔约26个月相距最近，地球公转周期为12个月。由以上条件可以近似得出()A．地球与火星的动能之比B．地球与火星的自转周期之比C．地球表面与火星表面重力加速度大小之比D．地球与火星绕太阳运动的向心加速度大小之比答案D解析设地球和火星的公转周期分别为T1、T2，由题意知火星和地球每隔约t＝26个月相距最近一次，又火星的轨道半径大于地球的轨道半径，则eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝1，可解得T2＝eq\f(156,7)月，则地球与火星绕太阳的公转周期之比T1∶T2＝12∶eq\f(156,7)＝7∶13，但不能求得地球与火星的自转周期之比，B错误；由开普勒第三定律eq\f(r\o\al(3,1),r\o\al(3,2))＝eq\f(T\o\al(2,1),T\o\al(2,2))可求得地球与火星的轨道半径之比，又由Geq\f(M太M星,r2)＝M星eq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM太,r))，则地球与火星的线速度之比可以求得，但由于地球与火星的质量关系未知，因此不能求得地球与火星的动能之比，A错误；由Geq\f(M星m,R2)＝mg得g＝eq\f(GM星,R2)，由于地球和火星的质量关系以及半径关系均未知，则不能求得地球表面与火星表面重力加速度大小之比，C错误；由Geq\f(M太M星,r2)＝M星a得a＝eq\f(GM太,r2)，由于两星球的轨道半径之比可以求得，则地球与火星绕太阳运动的向心加速度大小之比可以求得，D正确。考点4卫星变轨问题[科学思维梳理]当卫星开启发动机，或者受空气阻力作用时，万有引力不再等于卫星所需向心力，卫星的轨道将发生变化。1．卫星轨道的渐变(1)当卫星的速度增加时，Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r)，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，如果速度增加很缓慢，卫星每转一周均可看成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道运行时，由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其运行速度比在原轨道时小。例如，由于地球的自转和潮汐力，月球绕地球运动的轨道半径缓慢增大，每年月球远离地球3.8厘米。(2)当卫星的速度减小时，Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，如果速度减小很缓慢，卫星每转一周均可看成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道运行时，由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其运行速度比在原轨道时大。例如，人造卫星受到高空稀薄大气的摩擦力，轨道高度不断降低。2．卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道。如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1。(2)变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，这时eq\f(GMm,r2)<meq\f(v2,r)，卫星脱离原轨道做离心运动，进入椭圆形的转移轨道Ⅱ。(3)卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。飞船和空间站的对接过程与此类似。卫星的回收过程和飞船的返回则是相反的过程，通过突然减速，eq\f(GMm,r2)>meq\f(v2,r)，变轨到低轨道，最后在椭圆轨道的近地点处返回地面。3．卫星变轨时一些物理量的定性分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ、Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v4，在轨道Ⅱ上过P、Q点时的速率分别为v2、v3，在P点加速，则v2>v1；在Q点加速，则v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。(2)加速度：因为在P点不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过，P点到地心的距离都相同，卫星的加速度都相同，设为aP。同理，在Q点加速度也相同，设为aQ。又因Q点到地心的距离大于P点到地心的距离，所以aQ<aP。(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径或半长轴分别为r1、r2、r3，由eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3。例5(2021·天津高考)2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器()A．在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态B．在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短C．从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速D．沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大[答案]D[解析]天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速运动，受力不平衡，故A错误；轨道Ⅰ的半长轴大于轨道Ⅱ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错误；天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，是从高轨道进入低轨道，则应在P处减速，故C错误；天问一号探测器沿轨道Ⅰ向P飞近时，万有引力做正功，动能增大，速度增大，故D正确。[关键能力升华]航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径(半长轴)的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝eq\r(\f(GM,r))判断。两个不同轨道的“切点”处线速度不相等，同一椭圆上近地点的线速度大于远地点的线速度。(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。只考虑万有引力作用，不考虑其他阻力影响，航天器在同一轨道上运动时，机械能守恒。在椭圆轨道上运动时，从远地点到近地点，万有引力对航天器做正功，动能Ek增大，引力势能减小。(3)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同。[对点跟进训练]1．(卫星变轨问题)(2021·福建省厦门市高三三模)(多选)“嫦娥五号”从环月轨道Ⅰ上的P点实施变轨，进入近月点为Q的环月轨道Ⅱ，如图所示，则“嫦娥五号”()A．在轨道Ⅱ上的机械能比在轨道Ⅰ上的机械能小B．在轨道Ⅱ运行的周期比在轨道Ⅰ上运行的周期大C．沿轨道Ⅰ运动至P点时，点火后发动机喷气方向与运动方向相同才能进入轨道ⅡD．沿轨道Ⅱ运行在P点的加速度大于沿轨道Ⅰ运行在P点的加速度答案AC解析同一卫星绕行的轨道半径(或半长轴)越大机械能越大，故可知“嫦娥五号”在轨道Ⅱ上机械能小，A正确；由开普勒第三定律可知，“嫦娥五号”在轨道Ⅱ运行的周期比在轨道Ⅰ上运行的周期小，故B错误；“嫦娥五号”沿轨道Ⅰ运动至P点时进入轨道Ⅱ，需要制动减速，所以点火后发动机喷气方向与运动方向相同，故C正确；由牛顿第二定律可知，“嫦娥五号”沿轨道Ⅱ和轨道Ⅰ运行到P点的加速度相同，故D错误。2．(卫星变轨问题)(2021·浙江6月选考)空间站在地球外层的稀薄大气中绕行，因气体阻力的影响，轨道高度会发生变化。空间站安装有发动机，可对轨道进行修正。图中给出了国际空间站在2020.02～2020.08期间离地高度随时间变化的曲线，则空间站()A．绕地运行速度约为2.0km/sB．绕地运行速度约为8.0km/sC．在4月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒D．在5月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒答案D解析由题意可知，空间站绕地运行的轨道半径略大于地球半径，根据v＝eq\r(\f(GM,r))可知，空间站绕地运行速度略小于地球的第一宇宙速度7.9km/s，故A、B错误；由图中曲线知，在4月份空间站绕行的轨道半径出现明显变化，则可知空间站的发动机做功对轨道进行了修正，修正时空间站的机械能明显变大，不可视为守恒，故C错误；由图中曲线知，在5月份空间站绕行的轨道半径变化很小，故任意两个小时内机械能可视为守恒，D正确。建模提能2双星、多星模型前面我们讨论的是类似太阳系的单星系统，其特点是有一个主星，质量远大于周围的其他星体，可以看成近似不动，所以其他星体绕它运动。除此之外，在宇宙空间，还存在两颗或多颗质量差别不大的星体，它们离其他星体很远，在彼此间的万有引力作用下运动，组成双星或多星系统。双星系统轨道比较稳定，很常见，三星及其他更多星体的系统轨道不稳定，非常罕见。下面介绍具有代表性的双星模型和三星模型。1双星模型(1)两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2。②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。④两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)。⑤双星的运动周期T＝2πeq\r(\f(L3,Gm1＋m2))。⑥双星的总质量m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G)。2三星模型(1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比较稳定，三颗星的质量一般不同，其轨道如图2所示。每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。(2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。(3)理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)。②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图3乙所示)。【典题例证】“双星系统”由相距较近的星球组成，每个星球的半径均远小于两者之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在彼此的万有引力作用下，绕某一点O做匀速圆周运动。如图所示，某一双星系统中A星球的质量为m1，B星球的质量为m2，它们球心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是()A．B星球的轨道半径为eq\f(m2,m1＋m2)LB．A星球运行的周期为2πLeq\r(\f(L,Gm1＋m2))C．A星球和B星球的线速度大小之比为m1∶m2D．若在O点放一个质点，则它受到两星球的引力之和一定为零[答案]B[解析]由于两星球的周期相同，则它们的角速度也相同，设两星球运行的角速度为ω，轨道半径分别为r1、r2，根据牛顿第二定律，对A星球有：Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1，对B星球有：Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2r2，得r1∶r2＝m2∶m1，又r1＋r2＝L，得r1＝eq\f(m2,m1＋m2)L，r2＝eq\f(m1,m1＋m2)L，A错误；根据Geq\f(m1m2,L2)＝m1eq\f(4π2,T2)r1，r1＝eq\f(m2,m1＋m2)L，解得A星球运行的周期T＝2πL·eq\r(\f(L,Gm1＋m2))，B正确；A星球和B星球的线速度大小之比eq\f(vA,vB)＝eq\f(ωr1,ωr2)＝eq\f(m2,m1)，C错误；O点处质量为m的质点受到B星球的万有引力FB＝eq\f(Gm2m,r\o\al(2,2))＝eq\f(Gm2m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m1,m1＋m2)L))2)，受到A星球的万有引力FA＝eq\f(Gm1m,r\o\al(2,1))＝eq\f(Gm1m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2,m1＋m2)L))2)，故该质点受到两星球的引力之和不为零，D错误。【名师点睛】解决双星、多星问题，要抓住四点(1)根据双星或多星的运动特点及规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。(3)星体的角速度相等。(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。【针对训练】1．(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A．质量之积 B．质量之和C．速率之和 D．各自的自转角速度答案BC解析依题意已知两颗中子星的周期T、距离L，各自的自转角速度不可求，D错误；对m1：Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1，对m2：Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2r2，已知几何关系：r1＋r2＝L，ω＝eq\f(2π,T)，联立以上各式可解得：r1＝eq\f(m2,m1＋m2)L，r2＝eq\f(m1,m1＋m2)L，m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2)，B正确；速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω(r1＋r2)＝eq\f(2πL,T)，C正确；质量之积m1m2＝eq\f(ω2L2r2,G)·eq\f(ω2L2r1,G)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2πL,T)))4,G2)·r1r2，r1r2不可求，故m1m2不可求，A错误。2．(2021·河南省济源市、平顶山市、许昌市高三下第三次质量检测)(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星球位于边长为R的等边三角形的三个顶点上，并绕其中心O做匀速圆周运动。忽略其他星球对它们的引力作用，引力常量为G，以下对该三星系统的说法正确的是()A．每颗星球做圆周运动的半径都为eq\f(\r(3),3)RB．每颗星球做圆周运动的加速度都与三颗星球的质量无关C．每颗星球做圆周运动的周期都为2πReq\r(\f(R,3Gm))D．若距离R和m均增大为原来的3倍，则每颗星球的线速度大小不变答案ACD解析由几何关系知每颗星球做圆周运动的半径r＝eq\f(\r(3),3)R，故A正确；任意两颗星球之间的万有引力为F＝eq\f(Gm2,R2)，每一颗星球受到的合力F1＝eq\r(3)F，由合力提供向心力，有eq\f(\r(3)Gmm,R2)＝ma，解得a＝eq\f(\r(3)Gm,R2)，即每颗星球做圆周运动的加速度都与三颗星球的质量m成正比，故B错误；由合力提供向心力，有eq\f(\r(3)Gmm,R2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得每颗星球做圆周运动的周期T＝2πReq\r(\f(R,3Gm))，故C正确；由合力提供向心力，有eq\f(\r(3)Gmm,R2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(Gm,R))，若距离R和m均增大为原来的3倍，则每颗星球的线速度大小不变，故D正确。一、选择题(本题共8小题，其中第1～5题为单选，第6～8题为多选)1．(2021·北京高考)2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。“天问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距离火星表面2.8×102km、远火点距离火星表面5.9×105km，则“天问一号”()A．在近火点的加速度比远火点的小B．在近火点的运行速度比远火点的小C．在近火点的机械能比远火点的小D．在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动答案D解析根据牛顿第二定律有Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，故“天问一号”在近火点的加速度比远火点的大，故A错误；根据开普勒第二定律，可知“天问一号”在近火点的运行速度比远火点的大，故B错误；“天问一号”在同一轨道上运行时，只有火星的万有引力做功，则其机械能守恒，故C错误；“天问一号”在近火点做的是离心运动，若要变为绕火星做圆周运动，需要在近火点减速，故D正确。2．(2021·江苏高考)我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从“东方红一号”到“北斗”不断创造奇迹。“北斗”第49颗卫星的发射迈出组网的关键一步。该卫星绕地球做圆周运动，运动周期与地球自转周期相同，轨道平面与地球赤道平面成一定夹角。该卫星()A．运动速度大于第一宇宙速度B．运动速度小于第一宇宙速度C．轨道半径大于“静止”在赤道上空的同步卫星D．轨道半径小于“静止”在赤道上空的同步卫星答案B解析根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可知r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，因为“北斗”第49颗卫星的运动周期与地球自转周期相同，等于“静止”在赤道上空的同步卫星的周期，可知该卫星的轨道半径等于“静止”在赤道上空的同步卫星的轨道半径，C、D错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可知v＝eq\r(\f(GM,r))，第一宇宙速度是指物体绕地球表面做匀速圆周运动的速度，该卫星的轨道半径远大于地球的半径，可知运行速度小于第一宇宙速度，A错误，B正确。3．(2021·河北高考)“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日。假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日。已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为()A．eq\r(3,4) B．eq\r(3,\f(1,4))C．eq\r(3,\f(5,2)) D．eq\r(3,\f(2,5))答案D解析飞船或卫星绕中心天体做圆周运动时，根据万有引力提供向心力，可得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，则r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))；已知eq\f(T飞,T同)＝2，eq\f(M火,M地)＝0.1，则eq\f(r飞,r同)＝eq\r(3,\f(M火,M地)·\f(T\o\al(2,飞),T\o\al(2,同)))＝eq\r(3,0.1×22)＝eq\r(3,\f(2,5))，D正确。4．(2020·海南高考)2020年5月5日，长征五号B运载火箭在中国文昌航天发射场成功首飞，将新一代载人飞船试验船送入太空，若试验船绕地球做匀速圆周运动，周期为T，离地高度为h，已知地球半径为R，万有引力常量为G，则()A．试验船的运行速度为eq\f(2πR,T)B．地球的第一宇宙速度为eq\f(2π,T)eq\r(\f(R＋h3,R))C．地球的质量为eq\f(2πR＋h3,GT2)D．地球表面的重力加速度为eq\f(4π2R＋h2,RT2)答案B解析试验船的运行速度为eq\f(2πR＋h,T)，故A错误；近地轨道卫星的速度等于地球的第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力，对近地卫星有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，对试验船有Geq\f(Mm船,R＋h2)＝m船eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2(R＋h)，联立两式，解得地球的第一宇宙速度v＝eq\f(2π,T)eq\r(\f(R＋h3,R))，故B正确；根据Geq\f(Mm船,R＋h2)＝m船eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2(R＋h)，解得地球的质量为M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，故C错误；地球表面的重力加速度等于近地轨道卫星的向心加速度，对近地卫星，根据万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,R2)＝mg，再根据地球的质量M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，可得地球表面的重力加速度g＝eq\f(4π2R＋h3,R2T2)，故D错误。5．北京时间2019年4月10日晚21点，人类史上首张黑洞照片面世。黑洞的概念是：如果将大量物质集中于空间一点，其周围会产生奇异的现象，即在质点周围存在一个界面——事件视界面，一旦进入界面，即使光也无法逃脱，黑洞的第二宇宙速度大于光速。把上述天体周围事件视界面看作球面，球面的半径称为史瓦西半径。已知地球的半径约为6400km，地球的第一宇宙速度为7.9km/s，天体的第二宇宙速度是第一宇宙速度的eq\r(2)倍，光速为3.0×108m/s，假设地球保持质量不变收缩成黑洞，则地球黑洞的史瓦西半径最接近()A．1mm B．1cmC．1m D．1km答案B解析设地球半径为R，则第一宇宙速度v1＝eq\r(\f(GM,R))；当地球收缩成黑洞时，设半径为R0，根据题意，这时的第二宇宙速度v2′＝eq\r(2)v1′＝eq\r(\f(2GM,R0))≥c，联立可得R0≤eq\f(2v\o\al(2,1),c2)R，代入数据得，R0的最大值R0max≈9×10－3m≈1cm，B正确。6．(2021·湖南高考)2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨道。根据任务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022年完成空间站在轨建造。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的eq\f(1,16)。下列说法正确的是()A．核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,17)))2倍B．核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9km/sC．核心舱在轨道上飞行的周期小于24hD．后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小答案AC解析根据万有引力定律F＝Geq\f(Mm,r2)，核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小与它在地面时所受地球的万有引力大小之比为eq\f(F1,F2)＝eq\f(r\o\al(2,2),r\o\al(2,1))＝eq\f(R2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋\f(1,16)R))2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,17)))2，A正确；7.9km/s是地球的第一宇宙速度，也是近地卫星的环绕速度，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可知v＝eq\r(\f(GM,r))，则核心舱在轨道上飞行的速度小于7.9km/s，B错误；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r可知T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，核心舱