大学物理B第四章-振动1课件

螳螂虾和枪虾1螳螂虾和枪虾2螳螂虾高：身长30-160cm富：武器多、色锥细胞16种帅：五彩斑斓、披盔戴甲枪虾矮：身长~5cm穷：武器单一挫：其貌不扬螳螂虾捕食35为什么枪虾攻击瞬间温度高达4000度以上？枪虾攻击与核弹爆炸有联系吗？冲击波与声速？振动与波动事关最先进的科学与技术简单的机理蕴含着许多未知之谜6第四章振动与波动7物体在一定的位置附近作来回往复的运动。机械振动：振动：任何一个物理量（物体的位置、电流强度、电场强度、磁场强度等）在某个确定的数值附近作周期性的变化。波动：振动状态在空间的传播。1、物体的来回往复运动（弹簧振子、单摆等）2、电流、电压的周期性变化8横跨经典物理各子学科：机械振动、机械波；电磁振荡、电磁波；量子力学又称波动力学；光是电磁波……振动波动物质基本运动形式周期性运动振动的传播声波、计时器、无线电信号、生物信号等10机械振动的原因：物体所受的回复力和物体所具有的惯性

可以证明任何复杂的振动都可以认为是由若干个简单而又基本振动的合成。这种简单而又基本的振动形式称为简谐运动。12§4-1简谐运动4-1-1简谐运动的基本特征位移与时间的关系：凡质点的运动遵从余弦（或正弦）规律时，其运动形式为简谐运动。yt14由牛顿第一定律：得:令微分方程的解：

A、为积分常数，由初始条件确定。15结论：（1）弹簧振子的振动为简谐运动

。

（2）周期：角频率：（3）弹簧振子的振动频率和周期仅与振子本身的性质（k和m）有关，而与其它因素无关。16Ol

mgT2、单摆

17结论：单摆的振动是简谐运动

。（1）为振动角位移，不是相位。为振幅。（2）、T与m无关，但T与l成正比、与g成反比。18简谐运动表达式：简谐运动：物体的运动遵从余弦（或正弦）规律。简谐运动的三项基本特征：

归纳204-1-2描述简谐运动的物理量A

：振幅，（最大位移，x=±A）

变量x离平衡位置的最大位移量的绝对值。21

周期T：完成一次全振动所经历的时间。：角频率

，

（圆频率）频率：单位时间内完成全振动的次数。余弦函数的周期为23

：振动的“初相位

”。（t+)：振动的“相位

”。决定了谐振动的运动状态(位置和速度)

t=0时的相位物体在正向最大处物体在平衡位置处物体在负向最大处物体在平衡位置处24

称为速度幅。速度相位比位移相位超前/2。

称为加速度幅。加速度与位移反相位。26例1.

质量为m的比重计，放在密度为的液体中。已知比重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后，在竖直方向的振动为简谐运动。并计算周期。解：取平衡位置为坐标原点平衡时：浮力：

其中V为比重计的排水体积0mgF270xx问题：若物体为一个长方体或球体，其情况如何？28例2.

证明图示系统的振动为简谐运动。其频率为证一：

设物体位移x，弹簧分别伸长x1和x2k1k230证二：

xk1k2Ｏ

x问题：若两弹簧并联，其情况如何？31下列各运动是否为简谐运动?振动周期怎样计算?f=f1+f2K=K1+K2f=f1+f2K=K1+K2N个弹簧（k）串联，总劲度系数为k/N;N个弹簧（k）并联，总劲度系数为Nk。324-1-3简谐运动的旋转矢量表示法

旋转矢量A在x轴上的投影点M的运动规律：结论：

投影点M的运动为简谐运动。yxMo（1）简单直观（位相）；（2）方便处理振动的合成。特点：33yxPM

旋转矢量A旋转一周，M点完成一次全振动。

旋转矢量的模A：振幅

旋转矢量A的角速度：角频率

t=0时，A与x

轴的夹角

：初相位。

旋转矢量A与x

轴的夹角(

t+

)：相位周期：必须是逆时针方向旋转A34利用旋转矢量法作

x-t

曲线xx(cm)t(s)t=0OOT35简谐运动矢量图与振动曲线36位相差当二个振动的频率相同时，相位差为：yxA1O37振动曲线的讨论（1）曲线反映的是质点的振动情况。一个质点的运动方向（速度方向）如图。峰值v=0，其余点看后。（2）图上反映出周期T、振幅A、初位相、位相。xtO38xt（3）时间与位移的关系：如质点从平衡点到峰值点所需时间t；位相差与时间的关系：以上的讨论在单位圆上较为方便。x39（4）质点的受力方向及加速度的方向f=-kx

质点受力f方向与位移方向相反；加速度a的方向与f相同。（5）质点的动能及势能的最大点和最小点位置。动能的最大点在平衡位置，最小点在峰值；势能的最大点在峰值位置，最小点在平衡位置。x40解题方法由初始条件求振动方程（确定A和）设t=0时，振动位移：x=x0

振动速度：v=v041不唯一振幅：42确定两种分析方法：在第四象限在第一象限在第三象限yxPov0>0v0<0在第二象限(2)旋转矢量法确定初位相：求振动方程的一般方法：（1）由公式求A；（2）旋转矢量法求0。(1)43（2）若已知t=0时，k为常数，则再已知质点的运动方向即可得有二个值，从矢量图上，利用v的方向可定出。总之，不管怎样，只要知道初始条件，即可利用方程（一般为位移方程和速度方程）来求得积分常数A、。（3）有时，已知的不是t=0时的x、v，同样可以利用位移方程，速度方程、加速度方程求A，。如已知t时刻的等。特别要注意利用、44例3.

一轻弹簧一端固定，另一端连一定质量的物体。整个振动系统位于水平面内。系统的角频率为6.0s-1。今将物体沿平面向右拉长到x0=0.04m处释放，试求：1、简谐运动方程；2、物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时的速度。解：得：（1）45先求位相（2）46用矢量圆解47例4：一简谐运动曲线如图所示，则振动周期x（m）t（s）421（A）2.62s（B）2.40s（C）0.42s（D）0.382sKey：ByxPov0>048例5.一质点沿x轴作简谐运动，振幅为12cm，周期为2s。当t=0时,

位移为6cm，且向x轴正方向运动。求1、振动方程。2、t=0.5s时，质点的位置、速度和加速度。3、如果在某时刻质点位于x=-6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：设简谐运动表达式为已知：A=12cm,T=2s，初始条件：t=0时，x0=0.06m,v0

>0（1）490.06=0.12cos振动方程：yx50设在某一时刻

t1，x=-0.06m代入振动方程：（2）（3）51x用旋转矢量解xv<0取52例6.

两质点作同方向、同频率的简谐运动，振幅相等。当质点1在x1=A/2处，且向左运动时，另一个质点2在x

2=-A/2处，且向右运动。求这两个质点的相位差。解：A-AoA/2-A/253A-AoA/2-A/254A-AOA/2-A/221解二：旋转矢量法2/3AA/2Ax1－A/2yO/3554-1-4简谐运动的能量振子动能：振子势能：xxov56谐振系统的总机械能：57（1）振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但任一时刻总机械能保持不变。（2）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方成正比。（适合于任何谐振系统）结论：

位移最大，势能最大，但动能最小。在振动曲线的峰值。位移为0，势能为0，但动能最大。在振动曲线的平衡位置。58弹性势能59平均值的计算（1）振动位移的平均值：（2）谐振动势能的平均值：60（3）谐振动动能的平均值：

平均意义上说，简谐运动系统的能量中一半是动能，另一半是势能。结论：

归纳：（1）给定振动系统，m、（T）、k一定。（2）给定初始条件，A、一定。（3）总能量在给定系统后与成正比。61例7.

当简谐运动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？解：62mXFO例8：如图有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数k=24N/m，重物的质量m=6kg，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力F=10N向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力F。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。解：63例9

一物块悬挂在弹簧下方作简谐运动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能量。（设平衡位置处的势能为零）当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长，这一振动系统的周期为。64

例10.

一劲度系数为k

的轻弹簧，在水平面作振幅为A

的谐振动时，有一粘土（质量为m

，从高度h

自由下落），正好落在弹簧所系的质量为M

的物体上，求（1）振动周期有何变化？（2）振幅有何变化？设（a）粘土是在物体通过平衡位置时落在其上的；（b）粘土是当物体在最大位移处落在其上的。Mm解：（1）下落前下落后65（2）（a）在平衡位置落下下落前：A，v下落后：由机械能守恒：水平方向动量守恒：得66（b）在最大位移处落下下落前：A，v=0下落后：所以振幅不变：67坐标原点的选取对振动方程的影响1、取平衡位置为坐标原点：

自由端平衡位置Oyy682.取弹簧的自由端为坐标原点yy

自由端O振动方程的形式随坐标原点选取的不同而不同（相差一个常数），一般把坐标原点取在平衡位置，其方程形式最简单。(2)弹簧振子的振动频率与振子的放置位置无关。结论69

例11-2:

一质点沿x轴作简谐运动,振幅为24cm,周期为2s。当t=0时,位移为12cm,且向x轴负方向运动.求:(1)振动表达式；(2)质点运动到x=-12