自动控制原理第2章

第二章线性系统的数学模型2.1列写系统微分方程2.2非线性数学模型的线性化2.3传递函数2.4对控制系统的基本要求2.5信号流程图2.6脉冲响应函数12.1列写系统微分方程人们常将描述系统工作状态的各物理量随时间变化的规律用数学表达式或图形表示出来，这种描述系统各个物理量之间关系的数学表达式或图形称为系统的数学模型。建立数学模型有两种方法：机理分析法和实验辨识法。机理分析法是通过理论推导得出，这种方法是根据各环节所遵循的物理规律来编写；实验辨识法是由实验求取，即根据实验数据通过整理编写出来。本章着重讨论机理分析法。一、列写部件微分方程的目的、方法与步骤

目的：通过该方程确定被控量与给定量及扰动量之间的函数关系。（1）根据实际情况，确定系统的输入、输出变量。（2）从输入端开始，按信号传递遵循的有关规节列出元件微分方程。（3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程。（4）整理，输入量项=输出量项。2举例1

编写RC电路微分方程

（1）确定输入、输出量为ui

、u0

（2）根据电路原理列微分方程（3）消去中间变量，可得电路微分方程3举例2

编写电枢控制的他励直流电动机的微分方程

解：（1）确定输入、输出量为ud

、n

（2）根据电路原理列微分方程根据电动机力矩平衡原理列微分方程4（3）消去中间变量，可得电路微分方程令则得二、系统动态微分方程的编写（1）确定系统输入量、输出量；（2）从输入端开始将系统划分为若干个元部件，依有关定理列写各个部件的方程组；（3）消去中间变量；（4）整理。52.2非线性数学模型的线性化对于部分的非线性系统来说，是在一定的条件下可近似地视作线性系统，这种有条件地把非线性系统数学模型化为线性数学模型来处理的方法，称为非线性数学模型的线性化。这样做会使问题简化，给控制系统的研究工作带来很大的方便，是工程中一种常见的、比较有效的方法。线性化原理：设非线性方程为，工作点为，其各阶导数均存在，则可在工作点附近展开成泰勒级数当很小时，忽略二次以上导数项6或可表达为简写为式中这就是非线性化方程，这种线性化方法叫做小偏差方法。注意：1.非线性方程必为连续。原因：断续的方程不能用台劳级数展开，因此不能采用此方法。这类非线性称为本质非线性。2.K值与工作点的位置有关。3.考虑增量ΔX较小。72.3传递函数求解微分方程可求出系统的输出响应，但如果方程阶次较高，则计算非常繁琐，因此对系统的设计分析不便，所以应用传递函数将实数中的微分运算变成复数中的代数运算，可使问题分析大大简化。一、传递函数的概念及意义

（1）传递函数的定义：线性系统在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比。线性定常系统微分方程的一般表达式:

其中为系统输出量，为系统输入量在初始情况为零时，两端取拉氏变换：“传递函数”这个概念是经典控制理论中最重要的概念，甚至可以说是极为重要的概念8移项后得：上式中Xc(s)输出量的拉氏变换；Xr(s)输入量的拉氏变换；W(s)为系统或环节的传递系数。（2）传递函数的两种表达形式

a.传递函数的零极点表示形式

b.传递函数的时间常数表示形式9（3）关于传递函数的几点说明

a.传递函数的概念只适应于线性定常系统。

b.传递函数只与系统本身的特性参数有关，而与输入量变化无关。

c.传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动规律。

d.传递函数分子多项式阶次低于或至多等于分母多项式的阶次。二、典型环节的传递函数及其暂态特性无论什么样的系统，它的传递函数都是一些基本因子相乘积而得到的。这些基本因子就是典型环节对应的传递函数。把复杂的物理系统划分为若干个典型环节，利用传递函数和框图来进行研究，这是研究系统的一种重要方法。

（1）比例环节（放大环节/无惯性环节）特点：输入量与输出量的关系为一种固定的比例关系。0tKXr(s)Xc(s)r(t)y(t)y(t)/r(t)1011（2）惯性环节

特点：只包含一个储能元件，使其输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上的延迟。（3）积分环节

特点：输出量随时间成正比地无限增加。Xr(S)Xc(S)0tr(t)/y(t)y(t)r(t)tr(t)0

Y(s)R(s)y(t)y(t)/r(t)1213（4）振荡环节

特点：振荡的程度与阻尼系数有关。（5）微分环节

特点：是积分环节的逆运算.动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。实践中，理想的微分环节难以实现。0R(s)Y(s)ωntξ=0.2ξ=0.5ξ=1y(t)/r(t)14传递函数：

G（s）=Ks

测速发电机15（6）延迟环节

（时滞环节、滞后环节）特点：输出信号经过一段延迟时间τ后，可完全复现输入信号。

tr(t)y(t)y(t)/r(t)0τR(s)Y(s)例如：在化工系统中，管道传输、温度传输等都是时间延迟环节。16小结（1）不同物理性质的系统，可以有相同形式的传递函数。例如：前面介绍的振荡环节中两个例子，一个是机械系统，另一个是电气系统，但传递函数的形式完全相同。

（2）同一个系统，当选取不同的输入量、输出量时，就可能得到不同形式的传递函数。

例如：电容：输入—电流，输出—电压，则是积分环节。反之，输入—电压，输出—电流，则为微分环节。172.4系统动态结构图一、结构图的基本概念

1.动态结构图：是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形，它表示了系统的输入输出之间的关系。

2.结构图的组成：

（1）信号线：带箭头的直线，箭头表示信号传递方向。（2）引出点（分离点）：表示信号引出或测量的位置。（3）比较点（相加点）：对两个以上信号加减运算。（4）方框：方框图内输入环节的传递函数。G(S)H(S)Xf(S)E(S)Xr(S)XC(S)-18

二.系统动态结构图的绘制：（1）确定系统输入量与输出量。（2）将复杂系统划分为若干个典型环节。（3）求出各典型环节对应的传递函数。（4）作出相应的结构图。（5）按系统各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来。19例：电网络方块图将上图汇总得到：20重点！（一）环节的合并

法则一环节串联，传递函数相乘。二、结构图的简化法则常用的结构图变换方法可归纳为两类：一类是环节的合并，另一类是信号的分支点或相加点的移动。结构图的变换必须遵循的原则是：变换前后的数学关系保持不变，因而也称为结构图的等效变换。法则二环节并联，传递函数相加。21法则三反馈连接的等效传递函数。G1(s)G2(s)E(s)B(s)+/-R(s)C(s)G(s)R(s)C(s)式中，负反馈时为加号，可见，反馈连接可以等效为一个环节，如下图所示。等效环节的传递函数如上式所示。22（二）信号相加点及分支点的移动

法则四相加点从环节输入端移到输出端

23法则五相加点从环节输出端移到输入端

法则六分支点从环节输入端移到输出端

法则七分支点从环节输出端移到输入端

24法则八两个分支点、相加点间可以相互换位。相加点和分支点之间一般不能换位

25四、开环传递函数定义：反馈信号B(s)与偏差信号E(s)之比

结论：开环传递函数等于前向通路传递函数G(s)和反馈通路传递函数H(s)的乘积。

262.开环传递函数的求法（1）单回路系统（2）多回路系统

a.无交错局部反馈结论：27b.有交错局部反馈结论：28五、闭环传递函数

1.闭环传递函数：在初始条件为零的情况下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

2.闭环传递函数的求法典型结构的闭环控制系统中有两个输入量——给定输入和扰动输入，它们同时作用于系统。对于线性系统而言，可通过分别讨论在不同输入信号作用下的系统传递函数和相应的输出，再通过叠加得到总的输出。29（1）给定输入单独作用下的闭环系统（2）扰动输入单独作用下的闭环系统把系统输入量以外的作用信号均称之为扰动信号30R（s）、N（s）同时作用时：31误差传递函数

1)在给定输入作用下误差传递函数：

假设N(s)＝0，则

——称为误差传递函数

322)扰动输入作用下系统的误差传递函数：3)在给定输入R(s)和扰动输入N(s)同时作用时，系统误差：

33例

结构图化简(1)结构图化简方案ⅠH1H2G1G2G3G4(-)(-)RYRH2+G3H1G1G2G3H2G4(-)Y(a)G4G3H2YR(b)G4YR(c)34(2)结构图化简方案ⅡH1+H2/G3H2/G3G2G3G1G4(-)RY(a)H2/G3G4RY(b)H1H2G1G2G3G4(-)(-)RY351.等效为单位反馈系统其它等价法则R(s)(-)C(s)G(s)H(s)G(s)H(s)(-)C(s)R(s)G(s)H(s)R(s)C(s)-1E(s)C(s)R(s)G(s)-H(s)E(s)

2.负号可在支路上移动

E(s)=R(s)-H(s)C(s)=R(s)+(-1)H(s)Cs)=R(s)+[-H(s)]C(s)36例

双RC网络的结构图简化。Ui(s)R1(-)(-)(-)Uo(s)(b)Ui(s)(-)(-)Uo(s)R1(c)

R1C2sUi(s)Uo(s)(-)(e)(d)Ui(s)R1C2s(-)Uo(s)(-)Ui(s)(-)(-)(-)I1(s)IC(s)U(s)I2(s)Uo(s)(a)37例解：利用方块图变换法则

(a)比较点A前移，分支点D后移38

(b)消除局部反馈回路39注意：方块图的化简方法不是唯一的，人们应充分地利用各种变换技巧，选择最简捷的路径，以达到省时省力的目的。

40414243例：44例：45例4647例2-12482.5信号流程图一、基本概念信号流程图简称信号流图，是一种用图线表示线性方程组的方法。设有线性方程组经拉氏变换将微分方程转化成为线性代数方程可以用信号流图来表示以上方程组各变量之间的关系。信号流图的绘制方法：设系统的描述方程为，其中为输入变量，为输出变量，a为两个变量间的传输。该系统可以用信号流图表示为：49二、常用术语：1.节点表示信号/变量。（1）源节点只有输出量的节点。（2）汇节点只有输入量的节点。（3）混合节点既有输入又有输出的节点。2.支路连接两节点间的有向线段。3.支路增益表示信号间的因果关系。4.通路从一个节点到另一节点的路径，其间每个节点只通过一次。（1）前向通路从源点到汇点（2）闭通路起点与终点为同一点5.通路增益通路中所有支路增益之积6.不接触回路回路之间没有公共节点50三、信号流图的绘制方法一：将系统微分方程作拉氏变换后，按所得代数方程作图。例1

绘制二级RC滤波电路的信号流图。解（1）列写系统微分方程组u1u2R1R2C1C2i1i2i351（2）对上述微分方程作拉氏变换（3）对上述代数方程作信号流图u1i1u3-1u3i3u2-1i1i2i3i3u2i2u3-152u1i1i2u3i3u2u2-1-1-1u1i1u3-1u3i3u2-1i1i2i3i3u2i2u3-1（4）综合作出系统信号流图53方法二：由系统动态结构图变形得来。变形原则：原信号线变为节点，传递函数变为支路增益。GH-Y(s)R(s)R(s)G-HY(s)54四、信号流图的简化55因为x2=ax1+cx3

x3=bx2

用代入法消去中间变量x2得到：对图中的(d)作一简单推导：56三、由梅逊公式求传递函数梅逊公式：T——闭环传递函数Δ——特征式其中——为所有不同回路的增益之和

——每两个互不接触回路增益乘积之和

——每三个互不接触回路增益乘积之和

——每m个互不接触回路增益乘积之和

n——前向通路的条数

——第K条前向通路的增益

——第K条前向通路的余因子，在Δ中除去与第K条前向通路相接触的回路增益后剩余的Δ值。Δk——与第k条前向通道不接触的那部分信流图的Δ重点！57例2-14

用梅逊公式求下图中信号流图的传递函数。解：（1）找出上图中所有的前向通路只有一条前向通路（2）找出系统中存在的所有的回路共有三个回路，三个回路的传输之和为（3）这三个回路都存在公共节点，即不存在不接触回路。故系统的特征方程式为：58（4）由于这三个回路都与前向通路相接触，故其余因子Δ1=1。（5）故该系统的传递函数为：

59四个单独回路，两个回路互不接触e1abcdfghC(s)R(s)C(s)R(s)=1––