偏微分方程数值解试题参考答案

PAGEPAGE6/6偏微分方程数值解一（10、AJx)

1(Ax,x)(b,x)(xRn)，证明下2x0

RnJx0

minJx;(2bxRn解:设x Rn是J(x)的最小值点,对于任意的xRn,令0()J(x0

x)J(x0

)(Ax0

b,x)22

Axx, (3因此0是()的极小值点,'(0)0,即对于任意的xRn,(Ax b,x)0,特0别取xAx b,则有(Ax b,Ax b)Ax b||20,得到Ax b. (3)0 0 0 0 0反 之 , 若 x Rn 满 足 Ax b , 则 对 于 任 意 的 x ,0 0J(x0

x)(0)1(Ax,x)J(x2

),因此x0

是J(x)的最小值点. (4分)评分标准:()的表示式3分,每问3分,推理逻辑性1分二0Lu

d(pdu)quf x(a,b) dx dxu(a),ub)0其中pC1([a,b]),p(x)minp(x)px[a,b]

min0,qC([a,b]),q0,fH0([a,b])建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz形式和Galerkin形式的变分方程。解:设H10

{u|uH1(a,b),u(a)u(b)0}为求解函数空间,检验函数空间.取vH1(a,b),乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分)0a(u,v)b(pdu.dvquv)dxbfvdxf(v),vH1(a,b)a dx dx a 0即变分问题的Galerkin形式. (3分)J(u

a(u,u)(f,u)

1b[p(du)2qu2fu]dx,则变分问题的Ritz 形式为12 2a dx1求u*H1(a,b),使J(u*)minJ(u) (4分)0 uH10评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20、对于边值问题2ux2u|

2uy20

1 ,(x,y)GG（五点棱形格式又称正五点格式取h1/3（）h1/N的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示。解:(1)区域离散xj

jh,yk

kh,差分格式为u uj1,k jk h2

u uj,kjk j,kh2

1 (5应用Tayloy 展开得到,截断误差为h2[4u4u]

O(h4

O(h2)

(3分)12 4

y4 jk未知量为U(u ,u ,u ,u )T,矩阵形式为AUF,其中11 12 21 224 1 1 0 11 4 0 11111A F

(4分)1 0 4 1

910 1 1 4 1解为u1(3分)18B I 4 1 I B I 1 4 1 矩阵为

,B

(5分) I B

1 4 评分标准:第1问8分,格式4分,截断误差4.(2)7分,方程4分,解3分.(3)5分,形式3分,B的形式2分u四（20、对于初边值问题

a2u,0xtT2 u(x,0)(x),0x1 u(0,t)u(1,t)tT建立向前差分格式（最简显格式，推导截断误差的主项，指出误差阶;（AUk1BUkF的形式格式的稳定性Fourier方法（分离变量法）格式的稳定性。解:(1)区域离散,格式为uk1

uk 1

, (5j j a

2uk h2 x j应用Taylor展开得到,误差主项为

1 2u( )k

ah2

(4u)

2h4),阶为k2 t2 j 12 x4 jkh2) (3(2AE,Bdiag{r,12r,r, (4稳定条件为r1/2 (3分)(3)格式为uk1

uk a (

)

, (3j j

uk1

uk h2 x j j当1格式恒稳定,当1,稳定条件为r 1

(2分)2 2 1五（10uau

0un1un1

una

unj10j t x 2hj 分析格式的稳定性解:计算形式为un1

ar(un

un

)un1

(2分)j j此为三层格式,化为两层格式.令vn1un,则有j jun1

ar(un

un

)vn

(4分) j

j1 jvn1j

unj令un

wneijh,vn

wneijh,代入格式,消去公因子,得到j 1 j 2 sinh 1wn

(2分) 1

122 1 0wn22放大矩阵为

2arsinhi 1,特征方程为

2arsinhi 1G

1 0

| EG

1 2arsinh 44a2r2sin22arsinh 44a2r2sin21,2 21,max{||,|

|}1的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根,即12 1 244a2r2sin2h0.考虑到的变化,稳定条件为|ar1 (2分)六（102t2

a

2ux2

的初值问题的显格式，推导截断误差.un12un

un1

1 , (5j j

a2

2un2 h2 x j截断误差为

14un

4un ( )12t

j

a2x

h2j

O

h

,阶为O(2

h2) (5（10

a(2u

2u)（隐格式，t x2指出截断误差阶，分析格式的稳定性。

y2jk解: 差分格式为un1jk

unjk

a(2un1

2un1

) (4误差阶为h2) (3分)

h2 x jk y jk h 放大因子为G(,,) 1 ,恒稳定. (3 h 14rsin2 4rsin22 2八（10、分析差分格式uk1

uk

uk 2uk

uk

uk uk的稳定性

j j a

jj jh2

j2hcukj

(a0)解:写出计算形式,忽略低阶项2分,写出放大因子3分|Gsin2kh1coskh)42coskh)2coscoskh)1coskh)42coskh)21coskh)[442coskhcoskh)] (2vonNeumann条件|