函数与复变函数

关于函数与复变函数1第一页，共四十六页，2022年，8月28日一、复数列的极限二、级数的概念第一节复数项级数三、典型例题四、小结与思考2第二页，共四十六页，2022年，8月28日一、复数列的极限1.定义记作3第三页，共四十六页，2022年，8月28日2.复数列收敛的条件那末对于任意给定的就能找到一个正数N,证4第四页，共四十六页，2022年，8月28日从而有所以同理反之,如果5第五页，共四十六页，2022年，8月28日从而有定理一说明:可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.[证毕]6第六页，共四十六页，2022年，8月28日课堂练习:下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.7第七页，共四十六页，2022年，8月28日二、级数的概念1.定义表达式称为复数项无穷级数.其最前面n

项的和称为级数的部分和.部分和8第八页，共四十六页，2022年，8月28日收敛与发散说明:与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:9第九页，共四十六页，2022年，8月28日10第十页，共四十六页，2022年，8月28日2.复数项级数收敛的条件证因为定理二11第十一页，共四十六页，2022年，8月28日说明

复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理二)12第十二页，共四十六页，2022年，8月28日解所以原级数发散.课堂练习13第十三页，共四十六页，2022年，8月28日必要条件重要结论:14第十四页，共四十六页，2022年，8月28日不满足必要条件,所以原级数发散.启示:判别级数的敛散性时,可先考察?级数发散;应进一步判断.15第十五页，共四十六页，2022年，8月28日3.绝对收敛与条件收敛注意应用正项级数的审敛法则判定.定理三16第十六页，共四十六页，2022年，8月28日证由于而根据实数项级数的比较准则,知17第十七页，共四十六页，2022年，8月28日由定理二可得[证毕]18第十八页，共四十六页，2022年，8月28日非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.说明如果

收敛,那末称级数

为绝对收敛.定义19第十九页，共四十六页，2022年，8月28日所以综上:20第二十页，共四十六页，2022年，8月28日下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限.而解

三、典型例题例121第二十一页，共四十六页，2022年，8月28日解

所以数列发散.22第二十二页，共四十六页，2022年，8月28日例3故原级数收敛,且为绝对收敛.因为所以由正项级数的比值判别法知:解23第二十三页，共四十六页，2022年，8月28日故原级数收敛.所以原级数非绝对收敛.例4解24第二十四页，共四十六页，2022年，8月28日25第二十五页，共四十六页，2022年，8月28日四、小结与思考通过本课的学习,应了解复数列的极限概念;熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对收敛与条件收敛的概念与性质.26第二十六页，共四十六页，2022年，8月28日思考题27第二十七页，共四十六页，2022年，8月28日思考题答案否.放映结束，按Esc退出.28第二十八页，共四十六页，2022年，8月28日

1.幂级数的概念

2.收敛定理

3.收敛圆与收敛半径

4.收敛半径的求法

5.幂级数的运算和性质§4.2幂级数29第二十九页，共四十六页，2022年，8月28日1.幂级数的概念定义设复变函数列：---称为复变函数项级数级数的最前面n项的和---级数的部分和

30第三十页，共四十六页，2022年，8月28日若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数---级数(1)的和函数特殊情况，在级数(1)中称为幂级数31第三十一页，共四十六页，2022年，8月28日2.收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理1(阿贝尔(Able)定理）32第三十二页，共四十六页，2022年，8月28日证明33第三十三页，共四十六页，2022年，8月28日(2)用反证法，3.收敛圆与收敛半径由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处处收敛。(ii)除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。34第三十四页，共四十六页，2022年，8月28日显然，<否则，级数(3)将在处发散。将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，逐渐变大，在c内部都是红色,逐渐变小，在c外部都是蓝色，红、蓝色不会交错。故播放35第三十五页，共四十六页，2022年，8月28日36第三十六页，共四十六页，2022年，8月28日

(i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。定义这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径为R的圆域.37第三十七页，共四十六页，2022年，8月28日4.收敛半径的求法定理3(根值法)定理2(比值法)38第三十八页，共四十六页，2022年，8月28日例4.1解

综上39第三十九页，共四十六页，2022年，8月28日40第四十页，共四十六页，2022年，8月28日例4.3

求下列幂级数的收敛半径解41第四十一页，共四十六页，2022年，8月28日5.幂级数的运算和性质

代数运算

---幂级数的加、减运算---幂级数的乘法运算42第四十二页，共四十六页，2022年，8月28日---幂级数的代换(复合)运算幂级数的代换运算在函数展成幂级数中很有用.例4.4解代换43第四十三页，共四十六页，2022年，8月28日