用判别式求解几何最值问题

用“A”求解几何最值问题江苏省睢宁县双沟中学赵光朋（221212）通过恰当的途径，构建一元二次方程模型，在其有解的前提下，应用A20或A>0去探讨某些几何最值（或不等）问题，有时可收到条理清晰、简捷明快的解题效果举例说明如下：例1.当斜边一定时，求直角三角形周长的最大值.分析：.当三角形的斜边c一定时，两条直角边的和a+b与积ab都可表示为周长l与c的代数式，由此想到以a、b为实数根构造一元二次方程，再通过判别式A求解.解：设直角三角形的两条直角边长分别为 a、b，斜边为c，周长为l.则a+b+c=l,a+b=l—c（1）.所以（a+b）2=（l一c）2，即a2+2ab+b2=12一2cl+c2.又a2+b2=c2，所,12—2cl l l八 12—2cl八以ab=--一（2）.由（1）、（2）知a、b是方程x2—（c—l）x+---=0的两个实数根.所以..12—2clA=[—（c—l）]2—4X--一>0.整理，得12—2cl—c2>0,求得l<（1+、.：2）c，所以周长l的最大值是（1+v2）c.点评：上述解法中，以三角形的斜边c和周长l表示两条直角边a和b,并利用韦达定理构造一元二次方程，再巧用判别式“A”化“相等”为“不等”，为求得周长的最大值疏通了渠道.例2.三角形有一个内角为600,此角所对的边长为1,求证其余两边的和不大于2.设BD=x，通过证明：如图1,AABC中，/B=600,AC=1.过A作AD±BC设BD=x，通过RtAABD和RtAADC,得AB=2x,AD=.<3x,DC=、；1—3x2.令J=AB+BC=2x+x+V1—3x2，整理，得关于x的一元二次方程12x2—6xy+j2—1=0.由A=36j2—4x12(j2—1)>0,得—12y2+48>0，所以，一2<y<2,y的最大值为2，即其余两边的和不大于2.为构造一元点评：在此解法中，适时地引入变量x、y，并将他们的关系用一个等式表达出来为构造一元次方程明确了目标，为应用“A”埋下了伏笔.更体现了几何问题代数化的转换思想.例3.如图2,已知AABC的面积为S，作一条直线l〃BC,且与AB、AC分别交于D、E两点。记ABED的面积为k，证明：k<4S.

证明：因为DE〃BC,则可令X=ADAE证明：因为DE〃BC,则可令X=ADAEABAC.又AABC和AABE是以B为顶点的等高三角形，S

所以TABE

SAE S——=X，即S=Sx.同理可证aBDEAC aabe SAABEBDAB-ADABAB二1-X，所以k=(1-x)Sx,整理，得关于x的方程Sx2-Sx+k=0.因为x是实数，所以A=S2-4Sk>0，而S>0,所以S-4k>0，即k<-S.4点评：在上述解法中，以线段比为未知数X,并用X表示三角形的面积比，通过等式变形得一元次方程，构思巧妙.再应用“A"，所证的结论则一目了然.例4.如图3,AABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，DE//BC,DF//AC.设S=S,S=S，求证S<-S.AABC 四边形DFCE1 1 2分析：设DE=X，由已知的平行线可得两对相似三角形，再利用相似三角形的性质可找到各个三角形的面积与x的关系，由此会萌生构造一元二次方程，再应用“A”探讨证明思路的念头.证明：设BC=a,DE=x，则FC=x,BF=A-a-x,易证AADEsAABCsADBF,SAADESx2DE2

~BCSAADESx2DE2

~BCX2 S——, ADBFa2S，SADBFS(a-x)2易得Sx2+S(a-x)2+S-=S，整图3理,得关于X的一元二次方程2Sx2-2aSx+a2S1=0,因为X是实数，所以A=(-2aS)2-4义2Sa2\>0,化简得S-2S->0，所以\<-S.2 1 ^2例5.如图4,四边形ADPE是一给定矩形PD=m,PE=n(m、n均不为0),BC是过点P的动直线，与AD、AE的延长线交于B、C.求AABC面积的最小值.m解：设/DBP=ZEPC=9，则BD= ,tan91,mEC=ntan9.S=—( —+n)(m+ntan9).即AABC 2tan9n2tan29+2(mn-S)tan9+m2=0(m丰0),因为tan9为实数，所以

A=4(mn—S)2—4m2n2>0，得S(S—2mn)>0.因为S>0,所以S>2mn.即AABC面积的最小值是2mn.点评：以角度为变量，以正切函数为主元，构造一元二次方程，再应用'A"，为这道题的快速求解增添了色彩.求AE+AF的最小值.例6.如图5,过正方形ABCD的顶点C作一直线与AB、AD的延长线交于E、F，设AB求AE+AF的最小值.解：设AE=x,AF=y，根据面积关系,即xy=a(x+y).设x+y=t，则xy=at,个实数根，所以A=12—4at>0.因为t>0，所以t>4a.当x=y=2a时t=4a,故AE+AF的最小值是4a.注：一般地，在解题过程中，如果能出现x+y=a,xy=b型的关系式，则可考虑利用一元次方程的根与系数的关系构造方程例7.如图6,已知四边形电。的对角线AC与BD相交于。，若SaaOb二4，Sacod=9，则四边形ABCD面积的最小值为()(A)21 (B)25 (C)26 (D)36分析:若设S分析:若设SAAOD=S1，SABOC=S2，则问题就转化为求"+S2的最小值.设\+S2=^，再求出S1-S2的值，就可构造以S1、出S1-S2的值，就可构造以S1、S2为两个实数根的一元二次方程，根据A>0，可求出k的取值范围，进而求出k的最小值.解：设sAOD=s1,sab0c=S2,,S9因为-1二—4S2DO°c，所以S•SOB12=36由⑴、⑵知\、S2是方程t2-kt+36=0的两个实数根.所以A(-k)2-4x36>0,即k2>144，又k>0，所以k>12.因此，S四边形ABCD=4+9+S1+S2>4+9+12=25.即S四边形abcd的最小值是25.止匕时，S1=S2=6.例&如图7,AABC与AA'BC是两个直角边都等于2a，且叠在一起的等腰直角三角形其中，AABC固定，直角边AC、BC的中点分别为M、N，保持斜边A'B'在直线MN上可使，变形可AA'BC位置左右移动.求两个三角形重叠部分的六边形面积的最大值.，变形可解析：直接求解，难以入手，而由M、N分别为AC、BC的中点，可知DE=a，EB=、2(a-x)，3 1 1/ 、所以EK=a—x.则有S=—a2-x2-(a-x)2^2 ^2 ^2D、E也为AC、BC的中点.于是若记多边形DE=a，EB=、2(a-x)，3 1 1/ 、所以EK=a—x.则有S=—a2-x2-(a-x)2^2 ^2 ^2得关于x的方程x2-ax+S-a2=0.因为x是实数，所以A=(-a)2-4(S-a2)>0，所以S<5a2.故S =5a2，此时x=a.由于xe[0,a]，x=a符合条件，所以，两个三角形重4max4 2 25叠部分面积的最大值是:a2.4例9.如图8,PT切。O于点T，直线PN交。O于点M、N，求证PM+PN>2PT.分析：“PM+PN”及PM•PN=PT2给出暗示，构造一元二次方程，应用“A”也许可得巧证.证明：由割线定理，得PM•PN=PT2,于是PM,PN是方程x2-(PM+PN)x+PT2=0的两个根.因为PM丰PN,所以「 一「一图8A=(PM+PN)2-4PT2>0,由此可得PM+PN>2PT.例10.当直角三角形ABC的周长一定时，求其内切圆面积的最大值.解析:设直角三角形ABC的三边长为a、b、c(c为斜边)，其周长为2p，内切圆半径为r，则有a+b+c=2p (1)<a2+b2=c2 (2)，由(1)、(3)得c=p-r，从而a+b=2r+c=p+r(4).又a+b-c=2r (3)=2pr7 (a+b)2-(a2+b2)(p+r)2-(p-r)2=2prab= = 由(4)、(5)知a、b是一元二次方程x2-(p+r)x+2pr=0的两个根.要使此方程有实数根，必须

A=(p+r)2一4-2pr>0，即r2—6pr+p2>0，所以(r-3p)2>8p2.因为r>(3+2<2)p与c=p-r>0矛盾，故取r<(3-2<2)p.所以当r=(3-2v2)p时，内切圆半径最大，并推得a=b时内切圆有最大面积九(3-2<2)2p2平方单位.注：这一解法中，尽力寻找a、b两数的和与积，是构造方程、应用"A”求得结果的关键.例11.如图9,AB是。O的直径，过A、B引圆的切线AD、BC,又过上任意一点E的切线与AD、BC交于D、C,求证OE<1CD.证明：如图，连结OD、OC,因为AD、BC、CD均为。O的切线，且AD//BC,所以，OD±OC,又OE±CD，易证AODEsACOE，可得DE•EC=OE2.又DE+EC=CD,可知DE、EC是关于x的方程x2-CDx+OE2=0的两个根.由A=(-CD)2-4OE2>0，知OE<1CD.2例12.如图，半圆O的半径为1,AC1AB于A,BD1AB于B，且AC=1,BC=3,P是半圆上任意一点，求封闭图形ABDPC面积的最大值.分析:先添辅助线，把封闭图形ABDPC分割成规则图形.利用他们的面积关系构造一元二次方程，在应用“A”将是一个可取的途径.解：如图10,过P作PE1AB交AB于E,设PE=x,AE=y，封闭图形ABDPC面积为S，则x2=y(2-y),x=\；y(y-2),S=；(1+x)y+；(x+3)(2-y)=x-y+3=、.：2y-y2-y+3S+y-3=v'2y-y2.两边平方、化简得关于y的一元二次方程2y2+2(S-4)y+S2-6S+9=0.由A=4(S-4)2-8(S2-6S+9)>0，得S2-4S+2<0,解得2-、/2<S<2+.v2.故封闭图形ABDPC面积的最大值是2+、；2.例13.有一块圆心角为600,半径长为1米的扇形余料，打算利用此扇形余料锯一个面积最大的矩形，求这个最大面积.

解：为了使矩形的面积尽可能大，此矩形应为扇形的内接矩形为此，分以下两种情况讨论，如图11（1）、（2）,先研究第一种情况，如图11（1），连结0。，设CD=x米，S矩ABCD=y平方米，则TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"「 x. -3 .於BC=0C-0B=<1-x2- =%：1—x2———x，所以y=x（%■1—x2———x），所以\o"CurrentDocument"tan600 3 3y+号x2=xvl-x2，两边平方，整理得4x4+（2<3y-3）x2+3y2=0.由A=(2v3y—3)2—4x4x3y2>0，得八’」v'3 <3,=,0«y«所以y=为最大.6 6再研究第二种情况，如图11（2）.作/0的平分线交AB于E、CD于F,连结0C，设BE=x米，S矩abcd=y平方米，则BC=EF=0F—0E=-口―x2—一x一=、；1—x2—、"x,所以tan300y=2x(H-x2-3x).所以y+2<3x2=2