高中数学汇编-函数应用

2012版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用第六节函数应用1212y

f(xxDf(x)0xy

f(x)x 方程f(x0有实数根函数y

f(xxD的图象与x轴有交点函数 yf(x)x y

f(xxDxy

f(xxDxf(x0y

f(x)x y如果函数

f(x)x 在区间[a,b] f

f(b0y

f(x)x 在区间（a,b）内有零点，即存在c∈（a, f(c)=0cf(x0（a,b）2、二次函数f(x)ax2bxc(a0的图象与零点的关系3对于在区间[a,b]f

f(b0y

f(xf(xf(x第一步，确定区间[a,b],f(a)f(b0，给定精确度第三步，计算f(x1)：f(x1=0x1f(x1)f(x1)f(x1

，则令bx1（x0(ax1f(b0，则令ax1（此时零点x0(x1b第四步，判断是否达到精确度aba（或b函数模一次函二次函指数函

f(xax2bxc(a,bc为常数af(xbaxc(abc为常数，a0且a对数函

f(x)b

xc(abc,为常数a0且a幂函数

f(xaxnb(ab为常数，ayax(a1yxn(n在区间0naxaxxn，但由于ax的xnx0xx0时，有ax>xn。ylogax(a1yxn（n0ylogax(a1anyxn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使xx0时有logaxxn。档次上，因此在0x0xx0时有axxnlogax（一）○相关yf

f(x在[a,b]x0f(b0yf(xg(x

f(xyg(x)（1）f(x)=x2-3x-18x∈[1,8]存在零点f(x)=0x2-3x-18=0，x∈[1,8]∴(x-∴x=6∈[1,8],x=-3∴f(x)=x2-3x-18x∈[1,8]故y=log2(x+2),y=x,1x3f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]○相关零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0。还必

f(x)4xx223

f(1f(1的值判断函数在1,1上的单调性函数零点个数。f(1)41270,f(1)41213 f(x)在1,1上有零点又f(x42x2x292(x1)2 当1x1时，0

f(x)92f(x)在1,1上是单调递增函数f(x)在1,1上有只有一个零点。 ○相关x1x2ax2bxc0(a0根的分布（mn

图 满足的条且mn均为常数

x1x2

2af(m) mx1x1m

2af(m)f(m)

(m,

m2af(m)f(n)m

n

f(m)f(n) f(p) m,n

mb 或f(n)f(n)（1）m为何值时，f(x)=x2+2mx+3m+4①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比-1（2）f(x)=|4x-x2|+a4a（1）（2）（1）4m2-12m-16=0,m2-3m-4=0,m=4m=-1f(x)有两个零点且均比-1x1,x2,x1+x2=-2m,4m243m4

m23m4

m4或m(x1)x1

2m2

m

1)

1

3m42m1

m故只需 m|5m m若f(x)-14m243m4

m23m4

m4或m m

f(1) 12m3m4 m|5m ∴m的取值范围

m>- ，故5m由图象可知要使|4x-x2|=-ag(x)h(x)4个交点。0<-a<4,即-4<a<0.∴a的取值范围是（-4，0（二）○相关上升（0）或直线下降（02A，B方案B从500分钟以后，每分钟多少元通话时间在什么范围内，方案B比方案AfA(xfB(xM（60，98，N（500，230，C（500，168，MN∥CD；则（1）2116元、168∴方案B从500分钟以后，每分钟0.3元（3）0≤x≤60fA(xfB(x60<x≤500fA(xfB(xx＞500fA(xfB(x综上，通话时间 内，方案B比方案A530小时以内(30小时)90超过30小时的部分每张球台每小时2元.准备下个月从这两家中的一家租一张球台开1540小时(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的为f(x)元(15≤x≤40),乙家租一张球台开展活动x小时的为g(x)元(15≤x≤40).试求f(x)和g(x);(2)问：选择哪家比较合算？为什么【解析】(2)f(x)=g(x)得，x=18x=10(舍).15≤x<18时，f(x)-g(x)=5x-x=18时，f(x)=g(x),即可以选甲家，也可以选乙家；18<x≤30时，f(x)-g(x)=5x-90>0,30<x≤40时，f(x)-g(x)=5x-(2x+30)=3x-30>0,∴f(x)>g(x),即选乙家15≤x<18x=1818<x≤40时，选乙家.○相关利用二次函数关系式或图象求最值利用二次函数单调性求参数取值或范围的产值函数为R(x)=3000x-20x2 MP(x)（解：①P(x)=R(x)-C（x)=-20x2 x-4000(x∈N*,且x∈[1,100])；MP(x)=P(x+1)-P(x)=-40x (x∈N*,且x∈[1,100])；②P(x)=-

(x∈N*,x∈[1,100])x=6263x-（元，因为MP(x)=-40x 为↘，则当x=1时，MP(x)max=2440元，故利润函数与边〖例2〗奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向奥组委交特许经营2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚经过发现每枚纪念章的在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售x元。y（元）与每枚纪念章的销售x的函数关系式（并写出这个函数的定义域。当每纪念章x为多少元时，该特许专营店一年内利润y（元）最大，并求出（1）（1）（0，400<x20,x=16时，ymax=32400（元

2时，ymax=27225（元x=1632400○相关胞等增长问题可以利用指数函数模型来表示；y=a(1+x)n40200613.141%2016年底至多有多少亿？思路解析：(1)本题求每年人口增长率,40年内翻一番,所以在解题方法上,可用方程的(2)1010年前以及每年的增长率，所以

40=0.0071+x≈1.017,得两边取对数得，lgy≤lg13.14+10lg(1+1%)≈1.1616,y≤14.51,201614.51亿21001.2%,10年以后该城市人口总数（0.1万人120万人（1年yx的函数关系y（2（1）12年后该城市人口总数为同理，3X（3）x120（年16120【感悟高考1（2011·福建卷文科·Ｔ6）xx2+mx+1=0的取值范围是 （A）.(-（B）.(-（C）.(-∞，-2)x2+mx+1=0若有两个不相等的实数根，需满足其判别式m240，m的取值范围.【精讲精析】选 方程x2mx10有两个不相等的实数根，需判别m240m2m2 高考文科·Ｔ10）在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的 1,0

0,1

1,1

1,3

4

42

24A.

D. f(x4f(x的解析

f(xR f()e4 3e42

f()e24 3e21

f(x)42142 内存在唯一零点x3（2011·陕西高考理科·T6）函数f(x) cosx在[0,)内（x 有且仅有两个零 xx【精讲精析】选 （方法一）数 ，令f(x) cosx0，xx

xx设函数y 和ycosx，它们在[0,)的图象如图所示，显然两函数的图象的交点有且只有一个，所以函数f(x) cosx在[0,)内有且仅有一个零点；xx（方法二）

x[,x x

1，cosx1，所以f(x) cosx0xxx 2

f(x) sinx12122x

f(x) cosxx

f(0)

f()

f(x cosx

x[0,

4（2011·山东高考文科·Ｔ16）已知函数f（x）logaxxb(a＞0，且a1＜3＜b＜4

(nn1nN*,则..f(x)logaxxb(2a3在（0f(2)loga22blogaa2b3bf(3)loga33blogaa3b4b0x0(23n2）17（的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（cm）C（x）k=3x

(0x

8f（x）20kf(x)解答:(I)设隔热层厚度为xcm,由题设,

C(x)

3x5.再由C(0)=8,k=40,

C(x)

3x5,而建造费用为C1(x)60.最后得隔热层建造费用与20f(x)20C(x)C(x) 6x

6x(0x 3x 3xf(x)6

(3x

.令f(x0,即

(3x

.解得x5x25(舍去3当0x5时，f(x0,当5x10时，f(x0,故x5是f(x)对应的最小值为f(565

15

那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（ B、 C、 D、2y（

f(x在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是f(af(b)0，不存在实数cabf(c)0f(af(b)0，存在且只存在一个实数cabf(c)0f(af(b)0，有可能存在实数cabf(c)0f(af(b)0，有可能不存在实数cabf(c)0DBf(xx(x1)(x1在区间[2,2f(2f(20，但其存在三个解{1,0,1Af(x)(x1)(x1在区间[2,2f(2f(2)0，但其存在两个解{1,1”；选项D正确，见实例“f(x)x21在区间[2,2上满足f(2)f(2)0，但其不存在实数解”yf(x在[a,b]yf(x在[a,b]yf(x在[a,b]f(x)0在[a,b] f gx4x2x f4若函 的零点 fx4x

fx(xfxInx1fxex

2答案fx4x

1x=4

fx(x的零点为

fxex

fxInx1 2

gx4x2x为 的零点为x=2.现在我们来估的 的

为g(0)=1,g(

)=1,所以g(x)

f

gx4x2xfx4x 5y(万元)x(台)y=3000+20x-∈N)25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()(A)100 (B)120 (C)150 (D)180C.3000+20x-解上式得：x≤-200∴x6、(2011·模拟)如图所示，一质点P(x,y)在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不变，其xQ(x,0)V=V(t)的图象大致为()【解析】选B.x,yx,0)的速度先由00Ax,y)Dx,y)x,0C是错误B.7、(2011·济南模拟)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、行驶之后停车，若把这一st的函数，其图象可能是()【解析】选A.从汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、行驶之后停车，可比较图象中所反映的速度，速度是由慢到快，再到匀速，最后到，所以A选项正确.8801000件,根据市场预测,100可全部售完,定价每提高1元时销售量就减少5件,若要获得最大利润,销售价应定为每件( (A)100元 (B)110元 (C)150元 (D)190元x元的函数D.x元,y=(1000-5x)×(20+x)=- x=90时,ymax=60500,190元价5元，该店制定了两种方法：①买一副球拍一个羽毛球；②按总价的92%付款.现计划4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更的一种是()(A)不能确定(B)①②同样(C)②∵210＜211.6，故方法①10、在一次数学试验中，到如下一组数据则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)( b (D)y=a+【解题提示】先观察两组数据的关系，然后代入选项后验证即可11lgx+x=3的解所在区间为（C） 单凭直观就比 lg2＜1x0＞2x0∈(2，3)C128008004000的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税.已知一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为( (A)2800 (B)3000(C)3800 (D)3818解答:C.xy为分段函数，由题意，得如果稿费为4000元应纳税为448元，现知共纳税420元，所以稿费应在800～4∴(x-800)×14%=420,∴x=31、一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0<x≤m)的函数，其关系式y=f(x)可写成 2、某出租车公司规定乘车标准如下：3公里以内为起步价8元(即行程不超过3公里，一律8元)；若超过3公里，除起步价外，超过的部分再按1.5元/公里计价；若 =14.615元.答案：15元23、(2011·焦作模拟)33,81009年后的价格大约 元 11

(，1∴9y=8

( 1=8100×3)3=300(元答案4HA，B，C，D若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的a，则水瓶的形状 若水量v与水深h的函数图象是下图中的b，则水瓶的形状 若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的c，则水瓶的形状 若注水时间t与水深h的函数图象是下图中的d，则水瓶的形状 【解析】(1)aC中的容器能做到，所C；bvhch与注水时间之间的对应关系，且反映出来的是升高的速度是由DD；dhtBB．答案 (2)A 1、(2011·潍坊模拟)某企业拟在2011年度进行一系列促销活动，已知其产品年销量x万件t3-xt+1t=0132150%与“平均每件促销费2011 【解析】(1)