巧用三角反代换 单位圆中破疑难-魏榜

数学教学通讯>魏榜首都师范大学教师教育学院100048胡凤娟首都师范大学教师教育学院100048刘明华四川省古蔺县蔺阳中学646500张茜首都师范大学教师教育学院100048三角反代换借助单位圆直观地反映了同角三角函数的关系，不仅能快速确定一般情况

f（θ，sinθ）=时角在单位圆中的位置，还能实现三角问题向代数和几何问题的转化

0θ.单位圆；三角反代换；数形结合；三角方程；三角不等式化，甚至使一些很难求的问题快速求一是数形结合在单位圆中确定角的具引言襛解那么，“三角反代换”会有什么样的体位置；二是将三角问题转化为代数或］三角函数在高中数学中有着相当.妙用呢几何问题接下来将逐一介绍重要的地位，在全国卷高考中大约占？.：至分但在日常教学中发现，学生2030.三角反代换与单位圆在求解三角方程问题时难以精确确定襛三角反代换后作出函数f（x，y）=0的角的范围，容易出现多解漏解等情况对任意f（θ，sinθ），均有［1］.许多题目的解答过程尝试了多种方法对角的范围进行限制，但大多是通过sin，进行换元即三角反代换襛，22sin，图像，通过其与单位圆的交点可以确定角的终边，也就是确定了角的位置下.运算的技巧来缩小角的范围，然而技巧较多，适应范围也较为局限，尚无一般令=x，则方程组转化为襛sin=y，f（x，y）=0，襛22x=1，面以例为例，详细说明三角反代换的具1体步骤.通法在由决定的定义域内解得1已知，求.θ（x，y）=nn1sin=.笔者通过研究，在任意角三角函数值定义的基础上总结出了一套通过数相（θ，sinθθ）.由于（θ，sinθ）与角nn对应，记函数f（x，y）=0的图像与单位圆2解：第一步：三角反代换令sinθ=y，形结合解三角方程以及三角不等式的通用方法—三角反代换法，可有效解——通用方法—三角反代换法，可有效解决上述问题.我们知道，三角代换是数学中常用交点为则是角终边，P，P，P，…，PPθ123nnn与单位圆的交点，即为所求∠xθ+n（注为轴正方向任意一点：xx）.（注为轴正方向任意一点+原式变成第二步作出：和112.y=x+22第三步标出：并标出其交点和2yPP.12和，记为和，再加上周∠x∠xθθ+1+212的换元法之一，它能够利用三角函数的期即为所求θ（图1）.第四步：求出第一性质将代数或几何问题转化成三角问题，合理的代换将会使求解过程简单三角反代换用法举例分析襛三角反代换的用法可分为两大类，象限θ=1π6+2kπ，k∈Z.由对称关系得作者简介：魏榜（1998-），首都师范大学教师教育学院学科教学（数学）专业研究生胡凤娟（1983-），博士，首都师范大学教师教育.学讲师，教育部高中数学课程标准修订组成员兼秘书，北师大版高中数学教材编写组成员，主要从事数学教育、数学课程与教学研究刘明华（1977-），本科学历，中学数学高级教师，从事高中数学教学工作（1997-），首都师范大学教师教育学院学科教学张茜..（数学）专业研究生.2021年7<63>数学教学通讯64>2021年7数学教学通讯>且反比例函数与单位圆在总结b襛2（x+1）第四象限相切时，b有最小值（图8）.笔者认为三角反代换是众多核心知识点、核心思想方法的交汇处，其教学对于提高学生的综合能力、培养学生思维、领悟数学基本思想方法大有益处.评注：此题以直线与圆的几何关系数学家波利亚曾说：“一个想法使为背景考查了三角关系式的证明，有一用一次是技巧，经过多次的使用就可以定综合性解题关键在于构造直线与单成为一种方法”.三角反代换在解三角.位圆相交的模型，进而挖掘目标式的几方程、三角不等式等问题时有显著优何意义即可求证需要特别注意的是势，尤其是在确定角的范围、估计角的

.，设切点，则点在圆b大小时使用方便灵活三角反代换丰富由于直线与圆的特殊位置关系，在三角Ax，AAA0.2（x+1）0了单位圆的应用，既体现了坐标定义三函数中也应该有与之对应的丰富的关系式等待读者的挖掘］.例4（2017全国二卷文科13）函数2上=1，曲线在点处切b2：x+AAA02（x+1）0角函数的优势，又能培养学生的数形］结合能力、综合应用知识的能力此外.，b三角反代换还实现了三角函数问题向f（x）cosx+sinx的最大值为________.解：令三角反cosθsinθ=k，θ∈R，线与垂直，即OA－b22（x+1）0·2（x+1）0x0几何或代数问题的转化，为解决三角函=数问题打开了一扇新的大门！笔者水平代换得由于该直线与单位圆必2x+y=k.%联立两方程解得1，x=133姨有交点，即直线到原点距离，b=02x+y=kd=22.有限，本文实乃抛砖引玉，期待读者朋友们对三角反代换进行更加深入的研k%22姨21，整理得－5%%姨k≤姨5，%故f（x）最小值为33姨－2.究，探寻三角函数更深处的奥秘！故最大值即f（x）最大值为%k5姨.此题是典型的三角函数问题，常见解法是借助辅助角公式和三角函数图像进行求解上述解法通过挖掘三.评注：与导数法、基本不等式法等其他方法相比，三角反代换思路“新奇”，充分挖掘三角函数的隐含条件，为解决三角最值问题提供了一条全新的思路.［1］吴志鹏三角函数中确定角范围.的几种方法［J］.数理化解题研究，问题转化为代数问题，又通过数形结合能解决一些导数所不能解决的问题，如求的最值等］f（x）sinx+cosx+sin.2019（22）.［2］王立芳三角代换的功能.学数学月刊，1998（Z1）.角函数隐含的平方和关系，将三角函数

［J］.中转化为几何问题［3］贾顺星十种方法求解三角函数..（2）f（x，y）=0为曲线型教学建议襛问题［J］.中学数学教学参考，2018例5（2018全国一卷理科16）已知版高中数学课程标准中特别（36）.函数f（x）sinx+sin2x，则f（x）的最小值指出：在三角函数的教学中，应发挥单［4］李文东巧用单位圆求解三角函.是位圆的作用三角反代换在单位圆中数问题［J］.中学数学研究（华南］________..本题由人教版导数章节教材复习的应用兼具思想性、实用性与新颖性等师范大学版A），2020（11）.题稍加改变而来.许多教师对此题做了特点，契合新课程标准的理念，不仅集］［5］黄洪光.多管齐下，破解三角函数非常深入的研究，提出了多种解法，有中体现了众多数学思想方法，更体现了最值题—以年高考数学全——2018常规的导数法，技巧性较强的基本不等国卷Ⅰ理科第［J］.中学数学的对称美题为例！16在教学过程中教师要注意启发学数学教学参考式法，运算量较大的均值不等式法，还

，2019（15）.生，引导学生体会几个重要的转化过［6］中华人民共和国教育部普通高有构造单位圆内接三角形的构造模型.程，注意思想方法的渗透，让学生感受中数学课程标准（2017年版年法等，思路新颖笔者结合三角反代］2020.转化思想的奇妙笔者认为重要的转修订）［S］.北京：人民教育出版社

.，换，分析一种新的解题方法.化过程有：①换元，将和换元为方便起见，先将题换成

cosθsinθ2020.sinθ+和方程的解与图像交点的转化［7］胡凤娟，吕世虎，王尚志

xy.②，深度理解三角反代换令.sinθ=2sinθ+2sinθcosθ，cossin，得，即b），即方程组f（x，y）=0，的解转化为两曲襛22x+y=1《普通高中课程方案（2017年版）