导数的概念经典例题

经典例题透析类型一：求函数的平均变化率例1、求y二2x2+1在x到x+Ax之间的平均变化率，并求X二1,Ax=f'(1)f'(1)=lim学=0002Ayf(x+Ax)-f(x)思路点拨：求函数的平均变化率，要紧扣定义式子=00进行操作.TOC\o"1-5"\h\zAxAx解析：当变量从x变到x+Ax时，函数的平均变化率为00=4x+2Ax0f(x+Ax)-f(x)[2(x+Ax)Ax=4x+2Ax0Axt0Ax00=00—AxAx当x=1，Ax=1时，平均变化率的值为：4xl+2X1=5.022总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，只要求出平均变化率的表达式，其他就迎刃而解.举一反三：【变式1】求函数y=5x2+6在区间［2,2+Ax］内的平均变化率。【答案】Ay=5(2+Ax)2+6-(5x22+6)=20Ax+5Ax2，所以平均变化率为学=20+5Ax。Ax【变式2】已知函数f(x)=x2,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率:［1，3］；［1，2］；［1，1.1］；［1，1.001］.【答案】(1)4；(2)3；(3)2.1；(4)2.001.1【变式3】自由落体运动的运动方程为s=gt2，计算t从3s到3.1s,3.01s,3.001s各段内的平均速度位移s的单位为m)。As【答案】要求平均速度，就是求〒的值，为此需求出As、At。At设在［3,3.1］内的平均速度为V］,贝yAt=3.1-3=0.1(s)，1As=s(3.1)-s(3)=—gx3.12-—gx32=0.305g(m)。122所以v1£=°30l=3.05g(m/s)。1As0.03005g同理v=2==3.005g(m/s)。At0.012

As0.0030005g30005(/、v=3==3.0005g(m/s)。At0.0013【变式4】过曲线y二f(x)二x**总结升华：利用导数的定义求导数的步骤：上两点P(l,l)和Q(l+Ax,l+Ay)作曲线的割线，求出当Ax二0.1总结升华：利用导数的定义求导数的步骤：线的斜率.【答案】3.31当Ax二0.1时kPQ=(1kPQ=(1+Ay)-1=(1+Ax)-1Axf(1+Ax)_f(1)_(1+Ax)3—1_1.13—1AxAx0.1二3.31第一步求函数的增量A第一步求函数的增量Ay；第二步求平均变化率舊第三步取极限得导数。类型二：利用定义求导数例2、用导数的定义，求函数y=f(x)=丄在x=1处的导数。x解析：•・•Ay=f(1+Ax)-f(1)=占—11—\：'1+Ax1一1—Ax1+Ax(1+p1+Ax)p1+Ax—Ax(1+\1+Ax+AxAy二一1_Ax(1+©1+Ax)1+Ax举一反三：【变式1】已知函数y=1―匠x(1)求函数在x=4处的导数.1_7(2)求曲线y=「7上一点P(4,一(2)求曲线y=答案】(1)f'(4)=limAxtOf(4+Ax)—f(4)Ax=lim乙二4竺士Axt0Ax精品文档精品文档1111limAxtOi、,--(J4+Ax-2)4丿Ax-AxAxlim4(4+Ax)J4+Ax+2AxtOAx-limAxtO\-14(4+Ax)1、J4+Ax+2丿7(2)由导数的几何意义知，曲线在点P(4,-丁)处的切线斜率为f'(4),4・•・所求切线的斜率为-2。1675・••所求切线方程为y+了=-(x-4)，整理得5x+16y+8=0。16【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数：f(x)=c；f(x)=x；f(x)二x2；f(x)=。x答案】•Ay=f(x+Ax)-f(x)=0

Ax'Ay•Ay=f(x+Ax)-f(x)=0

Ax'Ax・y'=lim乞=lim0=0。Axt0AxAxt0Ay=f(x+Ax)-f(x)=x+Ax-x=Ax,Ay=Ax=i•AxAx.•y'=lim—=lim1=1。Axt0AxAxt0Ay=f(x+Ax)一f(x)=(x+Ax)2一x2=2x-Ax+(Ax)2,A=2x•山+(Ax)2=2x+Ax,AxAx•ylimAyAxt0Ax=lim(2x+Ax)=2x。Axt04)Ay=f(x+Ax)-f(x)=x-x-Ax

(x+Ax)-x—Ax(x+Ax)-x精品文档精品文档OOO2O4Ay=_1Ax(x+Ax)-x・•・ylimAyA・•・ylimAyAxtOAx=limAxtO_1(x+Ax)-xx2例3、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x3+2x在x=l处的导数值，再由导数的几何意义,得所求切线的斜率，将x=l代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.解析：设f(x)二x3+2x.f'(1)=limf(l+心)_f(1)AxtOAx十(1+Ax)f'(1)=limf(l+心)_f(1)AxtOAxAxtOAxAx[(Ax)2+3Ax+5]=limAxtOAx

=lim[(Ax)2+3Ax+5]=5AxtO由f(l)=3,故切点为(1,3)，切线方程为y-3=5(x-1),即y=5x-2.总结升华：求函数y=/(x)图像上点P(xo,yo)处的切线方程的求解步骤:求出导函数在x=x处的导数f'(x)(即过点P的切线的斜率)，OO用点斜式写出切线方程，再化简整理。举一反三：【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线：平彳丁于直线y=4x-5；垂直于直线2x—6y+5=0；与x轴成135°的倾斜角。f(x+Ax)_f(x)(x+Ax)2_x2AxAx【答案】f'(x)=lim=limAxAxAxtOAxAxtO设所求切点坐标为P(x0,y0)，则切线斜率为k=2x0(1)因为切线与直线y=4x—5平丁，所以2xO=4，xO=2，yO=4，即P(2，4)。139因为切线与直线2x—6y+5=0垂直，所以2xx=_1，得x=一三，y=，O3O2O439即P(_2,4)。11因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为一1。即2x0=—1，得x=_—，y=，即p(_2,4)。精品文档精品文档3)3)例4•已知函数f(x)可导，若f(1)=3，f'(1)=3，求解析：limf(x2)1-3=lim[f(x2)-3-(x+1)](f⑴=3)x-1x-1x-1x2-1=lim[f(X2)-f(1)•(x+1)]x-1=limf(x2)-f⑴-lim(x+1)(令t=x2,x-1,t一1)x-1x2-1x-1=2limf(t)一f(1)t-1t-1=2f'(1)=2X3=6举一反三：x-3x-3【变式】已知函数f(x)可导，若f⑶=2,f'(3)=2，求lim2xx-3x-32x-3f(x)(2x-6)+6-3f(x)TOC\o"1-5"\h\z【答案】lim匕=lim—-x-3x-3x-3x-3=lim{2+3[2一f(x)]}x-3x-3=2+3limf⑶一f(x)x-3x-3=2-3limf(x)-f⑶x-3x-3=2-3f'(3)=2-3x(-2)=8类型三：利用公式及运算法则求导数例51)求下列函数的导数1y=一；x4(2)y二5x类型三：利用公式及运算法则求导数例51)求下列函数的导数1y=一；x4(2)y二5x33)y二lOg2X2一lOg2X；(4)y=2x3—3x2+5x+4解析：1)y'=(丄)'=(x-4)'=-4x-4-1=-4x-5=-—x4x52)y'=(5‘帀=(x5)'=5x3=5x「5=乙y=logx2-logx=logxy'=(logx)'2222_1x-ln2(4)y'二2(x3)'-3(x2)'+5(x)'+(4)'二6x2-6x+5精品文档精品文档(ex(ex—1)24)总结升华：熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导；不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.举一反三：【变式】求下列函数的导数：(1)y二xjx；2)y2)y=-2sinl(1-2cos24)(3)y=6x3-4x2+9x-6答案】1)y'=1)y'=(x^x)'=(x2)'=3x3-1y=-2sin—(1-2cos2—)=2sin—(2cos2—一1)=2sin—cos—=sinx2)2424222)(3)y'二6(x3)'-4(x2)'+9(x)'—(6)'二18x2-8x+9例6．求下列各函数的导函数(1)f(x)=(x2+1)(2x—3)；(2)y=x2sinx;(3)y=e(3)y=ex+1ex-1,*、x+cosx(4)y=x+sinx解析：(1)法一：去掉括号后求导.f(x)=2x3—3x2+2x—3f'(x)=6x2—6x+2法二：利用两个函数乘积的求导法则f'(x)二(x2+1)'(2x—3)+(x2+1)-(2x—3)'=2x(2x—3)+(x2+1)X2=6x2－6x+2(2)y=(x2)‘sinx+x2(sinx)'=2xsinx+x2cosx(ex—1)2(3)'(ex+1)r(ex—1)—(ex+1)(ex—1)(ex—1)2(x+cosx)'(x+sinx)-(x+cosx)(x+sinx)'(x+sinx)2精品文档精品文档2222(1一sinx)(x+sinx)一(x+cosx)(l+cosx)(x+sinx)2一xcosx一xsinx+sinx一cosx一1二(x+sinx)2举一反三：【变式1】函数y二(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于()A．1B．2C．3D．4【答案】D法一：y'二[(x+1)2]'(x-1)+(x+1)2(x-1)'=2(x+1)•(x—1)+(x+1)2=3x2+2x—1・・・y'I二4.x=1法二：•/y=(x+1)2(x一1)=(x2一1)(x+1)=x3+x2一x一1・•・y'=(x3)'+(x2)'-x'-1'=3x2+2x-1・y'|=4.x=12)y=变式2】下列函数的导数2)y=(1)y=(x+1)(2x2+3x-1)；答案】(1)^法一:y=2x3+3x2—x+2x2+3x—1=2x3+5x2+2x一1二：y'=(x+1)，(2x2+3x—1)+(x+1)(2x2+3x—1)'=2x2+3x一1+(x+1)(4x+3)=6x2+10x+23一1一3(2)y=2x2一3x一2+x-1一x一2,c13一33一5・y=3x2+x2一x-2+x2变式3】求下列函数的导数.精品文档精品文档1111/11、/L八/1八x5+Jx+smx(1)y=x(x2++)；(2)y=代x+1)(-1)；(3)y二Xx3寸Xx2答案】(1)y=x3+x-2+1，.:y'=3x2一2x-3.2)1—弋x1—xy二G-'x+1)二二xx<'x_3.(3)Vy=x3+x一2+x—2sinx,.y=3x2——x52+(x—2)'sinx+x—2(sinx)'3_5=3x2—x一2—2x—3sinx+x—2cosx2类型四：复合函数的求导例7．求下列函数导数.(1)y=；(2)y=ln(x+2)；(1—3x)43)y=e2x+1；(4)y=cos(2x+1).思路点拨:求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的，然后再按复合函数的求导法则求导.解析：(1)y=u—4,u=1—3x.y'=y'-u'=(u-4)'.(1—3x)xux=—4u—5-(—3)=12u—5_12.-(1—3x)52)y=lnu，u=x+2.y'=y'.u'=(lnu)'.(x+2)'xux3)y=eu，u=2x+1.精品文档精品文档.・.y'二y'•u'二(eu)'•(2X+1)'xux=2eu=2e2x+1(4)y二cosu,u=2x+1,；.y'=y'-u'=(cosu)'-(2x+1)'xux=-2sinu=-2sin(2x+1).总结升华：复合函数的求导，一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。熟练以后，可以摆脱引入中间变量的字母，只要心中记住就行，这样可以使书写简单；求复合函数的导数的方法步骤：分清复合函数的复合关系，选好中间变量；运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数；根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数.举一反三：【变式1】求下列函数的导数：⑴y=(1+2x2)8；(2)y=Vx+3x(3)y=ln(x+J1+x2)；(4)f(x)二e-x(cosx+sinx)【答案】⑴令u=1+2x2,y=u8,y'=y'u'=(u8)'(1+2x2)'二8u7•4x=32x(1+2x2)7.xux2),丄,丄,1-21一21y'=(u3)，・(x+x3)'=—•u一3(1+—x一3)=_x333(、1x+x3丿3)x(1+)x+\'1+x21+x2V1+x24)f'(x)=e-x-(-x)'(cosx+sinx)+e-x-(cosx+sinx)'=-e-x(cosx+sinx)+e-x(-sinx+cosx)=e-x(一sinx+cosx一cosx一sinx)=e-x(-2sinx)=-2e-x-sinx类型五：求曲线的切线方程例8．求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.解析：y'—3x2+2,y'I二3xl2+2二5x=1x=1时，y=3,・•・切点为(1,3),切线斜率为5切线方程为y—3=5(x—1),即y=5x—2.总结升华：求函数y=f(x)图像上点P(x,y)处的切线方程的求解步骤:00设切点M(x，yo)，则y'|=2x设切点M(x，yo)，则y'|=2x0.④求出导1函数在x=x处的导数f'(x)(即过点P的切线的斜率)，00⑤用点斜举一反三：式写出切线方程，再化简整理。【变式1】求曲11线y=在点(三，2)处的切线的斜率，并与出切线方程.x2解析：•・•y'=(-)'=-丄xx2・切线的斜率k=y'I=-4.x=2・切线方程为y-2=-4(x-2)，即4x+y-4=0.【变式2】已知]P(-1,1)，Q(2,4)是曲线y=x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程是【答案】y=x的导数为y'=2x.00x=x0又切线平行于PQ，4又切线平行于PQ，•・•PQ的斜率k==1,=2,・•・切点m=2,・•・切点mg，4),・k=y'|=2x=1，・xx=x00・•切线方程为y—=x—，即4x—4y—1=0.42【变式3】已知曲线C:y=x3.求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?

答案】将X二1代入曲线C的方程得y=1,・•・切点P(l,l).y'二3x2y'I二3.X=1・•过点P的切线方程为y—22所以直线l的方程为y=^—x一-.=3(x—1)，即22所以直线l的方程为y=^—x一-.39{y=3x—2由\q可得(x—1)(x2+x—2)=0，解得x=1或x=—2.〔y=x11从而求得公共点为P(1,1),或P(—2,—8).・•・切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的点.例9.已知直线l为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线，l为该曲线的另一条切线，且l丄l.1212求直线l的方程；2求由直线l、l和x轴所围成的三角形的面积.12解析：(1)y'=2x+1，y'I=2x1+1=3x=1直线l的方程为y=3x—3.1设直线l过曲线y=x2+x—2上的点B(b,b2+b—2)，2贝91的方程为y—(b2+b—2)=(2b+1)(x—b)，即y=(2b+1)x—b2—2.2因为l丄l，则有2b+1=^-,b=——y=3x一3,y=3x一3,122得fy=——x——,39