湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题

第21页/共21页华中师大一附中2021-2022学年度上学期高一期末检测数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据对数的运算性质求出集合，由指数函数的单调性求出集合，然后后补集和交集的运算可得答案.【详解】由，则，即所以集合又可得，所以集合所以，则故选：C2.下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断，即可得到结论.【详解】选项：，是奇函数，在是增函数，不满足条件；选项：不是奇函数，不满足条件；选项：是偶函数，不满足条件；选项：定义域为，，是奇函数，在是减函数；故选:D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3.已知幂函数图象过点，则下列两函数的大小关系为：（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件求得，运用作差法比较两式大小即可.【详解】因为幂函数的图象过点，所以，解得.所以，因为，所以，所以，即.故选：A4.下列四个函数：①，②，③，④，其中定义域和值域相同的函数有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】B【解析】【分析】分别求出四个函数的定义域和值域即可判断.【详解】解：对①：函数的定义域和值域都是R；对②：根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R；对③：函数的定义域为，值域为R；对④：因为函数，所以函数的定义域为，值域为.所以①②④是定义域和值域相同的函数，故选：B.5.下列关于命题“若，则”（假命题）的否定，正确的是（）A.若，则B.存在一个实数，满足，但C.任意实数，满足，但D.若存在一个实数，满足，则【答案】B【解析】【分析】先要明确“若，则”是一个全称命题，因此其否定是特称命题形式，由此可判断答案.【详解】命题“若，则”（假命题）是一个全称命题，因此其否定为“存在一个实数，满足，但”，故选：B.6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式求得函数定义域，判断函数奇偶性，再取几个特殊值运用排除法得到答案.【详解】由题意知，，解得，所以定义域关于原点对称，又因为，所以此函数为奇函数，图像关于原点对称，排除A.当时，，排除B，函数只有1个零点，排除C.故选：D7.“函数在上是增函数”是：“实数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】导函数在上大于零恒成立可得的取值范围，进而比较得解.【详解】在上恒成立，可得，，所以“函数在上是增函数”是：“实数”的必要不充分条件.故选：B.8.已知实数满足，函数有两个零点，则关于函数的零点的下列关系式一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令化简可得：，令，计算可得，，，进而可判断结果.【详解】方程即为，令，，，，.根据零点存在性定理得出在上函数各有一个零点，所以.故选：D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列计算结果为有理数的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由对数的运算法则和性质可判断A,C选项；选项B.求出的值可判断；选项D.，由正弦的二倍角公式可判断.【详解】选项A.,是有理数.选项B.,不是有理数.选项C.，是有理数.选项D.是有理数.故选：ACD10.已知角是锐角，若是关于的方程的两个实数根，则下列关于实数的判断正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据韦达定理得到，由角是锐角可判断，从而判断B;将两边平方，可得到之间关系，判断A对错；利用A的结论写出的表达式，配方后可判断C的对错；利用得到，结合的范围，确定的范围，判断D的正误.【详解】是关于的方程的两个实数根,所以，因为角是锐角，所以，则，故B错误；又，即，所以，故A正确；而，故C正确,又，，所以，，由A知，则，故D正确；故选：ACD11.已知函数，列说法正确的有（）A.当时，函数的定义域为B.当时，函数的值域为C.函数有最小值的充要条件为：D.若在区间上单调递增，则实数的取值范围是【答案】AC【解析】【分析】对于AB，当时，直接求解函数的定义域和值域即可，对于C，换元后，只要即可，对于D，换元后利用复合函数求单调性的方法求解即可【详解】对于A，当时，恒成立，所以函数的定义域为，所以A正确，对于B，当时，，因为，所以，所以函数的值域为，所以B错误，对于C，令，则，当，即时，一定有最小值，反之也成立，所以C正确，对于D，令，则，当在区间上单调递增时，，解得，所以D错误，故选：AC12.如图所示，点是函数的图像与轴的交点，点在之间的图象上运动，若，且当的面积最大时，，则下列说法正确的有（）A.B.的图象关于直线对称C.的单调增区间为D.，均有【答案】ABD【解析】【分析】根据题意求出从而求得此函数表达式，再运用三角函数相关知识对各选项逐一分析即可.【详解】因为当的面积最大时，，在最高点，所以此时在中，，所以，，即，，因为函数经过，则，即，又因为，所以取.所以函数表达式为.对于A，，故A正确；对于B，，取得函数最小值，所以的图象关于直线对称，故B正确；对于C，令，解得，所以的单调增区间为，故C错误；对于D，由C选项分析以及题意可知函数图像在区间上轴上方单调递增部分，结合图像可知，此部分图像上凸，满足，均有，故D正确故选：ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13.《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4，在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是___________.【答案】【解析】【分析】根据题意可知扇形的弧长和直径，再计算扇形的面积和圆心角弧度数.【详解】解：由题意，扇形的弧长，直径，所以扇形的圆心角弧度数是，故答案为：.14.已知，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边交圆心为坐标原点的单位圆于点，且，则___________.【答案】【解析】【分析】由同角三角函数的关系先求出，由二倍角公式求出，由三角函数的定义以及同角三角函数的关系先求出，再分析出，从而求出的值，得出答案.【详解】由，则所以，所以由，，可得由角终边交圆心为坐标原点的单位圆于点，且，则，则所以所以由所以故答案为：15.已知函数是周期为4的奇函数，，则___________.【答案】【解析】【分析】由对数运算计算取值区间，再根据函数的周期性和奇函数，可以求出.【详解】因为，所以，由题意知，故答案为：16.若实数满足（为常数），为减小计算量，我们可以借助二元基本不等式求出的最大值.基本步骤如下：，当且仅当时，等号成立.这样得到的最大值为；类比上面的解题原理，我们可以解决下面的问题：若为锐角，则函数得最大值为___________，当且仅当___________时，等号成立.【答案】①.##0.125②.【解析】【分析】根据题中所给例题求解过程进行类比求解即可.【详解】因为为锐角，所以，所以，，所以，当且仅当，即时等号成立.故答案为：；四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先求出，再化简代数式求值；(2)利用二倍角，化简代数式求值.【小问1详解】由①两边平方并化简得，②由①②得：.【小问2详解】.18.已知函数的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点坐标为.（1）求函数的解析式；（2）若将函数的图象向左平移个单位长度后，再向下平移2个单位长度得到的图象，写出函数在区间上的单调递增区间（不需要写过程）；并求出函数在区间上的值域.【答案】（1）（2）单调递增区间为：，值域为【解析】【分析】(1)由条件确定最大值，周期求，，再代特殊点求，由此可得函数的解析式；(2)由三角函数图象变换结论求函数的解析式，再结合余弦函数的性质求的单调区间和值域.【小问1详解】依题意可知：，解得：，又的图像的一个最低点为，，又【小问2详解】将函数的图象向左平移个单位长度可得的图象，将函数的图象向下平移2个单位长度可得的图象，所以，由可得，所以函数在区间()上为增函数，又函数在区间上的单调递增区间为：又，所以函数在区间上的值域为19.如图，是半圆的直径，是半圆上的两点，，设，四边形的周长为.（1）求函数的解析式；（2）关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)过点作，垂足为，在中求出的长，从而得出的长，从而得出答案.（2）将问题转化为方程或在上有两个不等实数根，然后根据函数的单调性可得答案.【小问1详解】如图，过点作，垂足为，在中，【小问2详解】由及等价转化为或依题意：方程或在上有两个不等实数根.函数在上单调递增，图像在直线的下方，值域为函数在上单调递增，图像在直线的上方，值域为要满足题意，则，即故实数的取值范围为.20.函数.（1）若，求；（2）若函数的图象在区间有且仅有一条经过最高点的对称轴，求的取值范围（不需要证明唯一性）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先化简函数的解析式，由条件可得，由同角三角函数的关系，求出，再由角变换结合正弦函数的差角公式可得答案.(2)设，则,由题意，在时，有且仅有一条经过最高点的对称轴即的对称轴或仅有一条在定义域内,得出端点与对称轴或间的大小关系，从而得出答案.【小问1详解】（1）由又，故【小问2详解】，设，由，则由，则，由题意，在时，有且仅有一条经过最高点的对称轴即的对称轴或仅有一条在定义域内.所以或解得或又，故的取值范围为故答案为：21.如图，直线，点是之间的一个定点，过点的直线垂直于直线，（为常数），点分别为上的动点，已知.设（）.（1）求面积关于角的函数解析式；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用三角函数表示各个边长的关系,再用梯形的面积减去两个直角三角形表达出即可.(2)由(1)有,将正切值用正弦除以余弦表示,再利用三角函数的和差角二倍角与辅助角公式化简成再求最值即可.【详解】（1）由题意,,∴,在中,,,,在中,.∴的面积,∴的面积,∴梯形的面积.∴.（2）令.∴当时,即时,取得最小值,此时取得最小值.【点睛】本题主要考查了三角函数求解几何图形中的关系的方法.同时也考查了三角函数的公式以及最值的方法等.属于难题.22.已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且（1）分别求出函数解析式；（2）若，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）