工程制图精品课课件

画法几何及土木工程制图第二章直线1画法几何及土木工程制图第二章直线1目录§2-1直线的投影§2-2直线上的点§2-3直线的倾角和直线段的实长§2-4各种位置直线的投影§2-5两直线的相对位置§2-6一边平行于投影面的直角的投影§2-7直线的辅助投影2目录§2-1直线的投影2§2-1直线的投影

确定一直线只需要两个点，故画一直线的投影，只需知道直线上两点的投影，即可连成直线的投影。

直线的投影仍为直线。3§2-1直线的投影确定一直线只需要两个点，故§2-2直线上的点

一、直线上的点

从属性：直线上的点其投影必在直线的同面投影上。定比性：直线线段上一点把线段分成两段，其长度之比，等于这两段在同一投影面上的投影长度之比。

ac：cb=a′c′：c′b′=a″c″：c″b″=AC：CB4§2-2直线上的点一、直线上的点ac：cb§2-2直线上的点

例2-1已知线段EF的两投影，试在其上取一点K,使EK:KF=3:4。

动画5§2-2直线上的点例2-1已知线段§2-2直线上的点

二、直线的迹点

直线与投影面的交点称为直线的迹点。与H面的交点叫水平迹点，记作M;与V面的交点叫正面迹点，记作N;与W面的交点叫侧面迹点，记作S。根据直线与投影面的倾斜状态不同，它可能有一个、两个、三个迹点。6§2-2直线上的点二、直线的迹点6§2-2直线上的点

迹点投影的两个特征：

1.迹点在所属投影面上的投影就是迹点本身，即Mm、Nn′、Ss″；2.迹点的其他投影必在直线的相应投影与投影轴的相交处，即m′在OX轴上，m″在OY轴上（因zm=0）；n在OX轴上，n″在OZ轴上（因yn=0）；s在OY轴上，ｓ′在OZ轴上（因xs=0）。7§2-2直线上的点迹点投影的两个特征：7§2-2直线上的点

迹点是直线穿越相邻两分角或卦角间的投影面上的点；直线在其两相邻迹点之间的部分，必处在同一分角或卦角中，这部分直线段上所有点的同名坐标值的正、负号相同。8§2-2直线上的点迹点是直线穿越相邻两分角或卦§2-3直线的倾角和直线段的实长

一、倾角和实长

空间直线与某投影面的夹角，称为直线对该投影面的倾角。

对H面的倾角记为α

直线段的真实长度称为实长，标为TL。

直线的各投影与投影轴的夹角一般都不反映直线的倾角，各投影也不反映线段的实长。直线的倾角和线段的实长一般都需要通过作图求出。对V面的倾角记为β对W面的倾角记为γ9§2-3直线的倾角和直线段的实长一、倾角和实长对§2-3直线的倾角和直线段的实长

二、直角三角形法

求一般倾斜直线段的实长和倾角的基本方法是直角三角形法。下图表示它的原理和作图过程。水平倾角实长（点击鼠标5次看作图）10§2-3直线的倾角和直线段的实长二、直角三角形法水§2-3直线的倾角和直线段的实长

例2-2

已知直线CD的正面投影c′d′和点C的水平投影c，且知直线CD对H面的倾角α=30°，求作线段CD的H面投影。

11§2-3直线的倾角和直线段的实长例2-2已知直线§2-4各种位置直线的投影

一、直线与投影面的相对位置

这里的“位置”是指直线在投影面体系中对于投影面的倾斜状态，并非直线的远近、上下、左右、前后等线性度量关系。投影面平行线

投影面垂直线

一般位置直线（一般倾斜直线）铅垂线正垂线侧垂线

水平线正平线侧平线

12§2-4各种位置直线的投影一、直线与投影§2-4各种位置直线的投影

投影面垂直线和投影平行线，统称为特殊位置直线。

投影面垂直线的投影特征:在所垂直的投影面上积聚成一点，其他两个投影垂直于相应的投影轴（同时平行于第三条轴），并且反映线段的实长。

二、特殊位置直线的投影特征13§2-4各种位置直线的投影投影面垂直线和投影平行线，统§2-4各种位置直线的投影

α=90°

M有倾角β=0°迹点N无

γ=0°

S无bbb铅垂线（⊥H）14§2-4各种位置直线的投影α=90°

§2-4各种位置直线的投影正垂线（⊥V）

α=0°

M无倾角β=90°迹点N有

γ=0°

S无15§2-4各种位置直线的投影正垂线（⊥V）§2-4各种位置直线的投影bbb

α=0°

M无倾角β=0°迹点N无

γ=90°

S有侧垂线（⊥W）16§2-4各种位置直线的投影bbbα=0°§2-4各种位置直线的投影

在所平行的投影面上反映实长，并且反映于其他两个投影面的真实倾角，其他两个投影平行于相应的投影轴（同时垂直于第三条投影轴）。注意：投影面平行线是指仅平行于一个投影面的直线。投影面平行线的投影特征：17§2-4各种位置直线的投影在所平行的投影面上反映实

§2-4各种位置直线的投影a’b’∥OX轴，长度缩短ab倾斜，反映实长、β和γ角a”b”∥OYW轴，长度缩短投影特征水平线（∥H）

α=0°

M无倾角β有迹点N有

γ有S有18§2-4各种位置直线的投影a’b’∥OX轴，长度缩短投影

投影特征

α有M有倾角β=0°迹点N无

γ有S有正平线（∥V）a’b’倾斜，反映实长、α和γ角ab

∥OX轴，长度缩短a”b”∥OZ轴，长度缩短§2-4各种位置直线的投影19投影特征α有M有正平§2-4各种位置直线的投影a’b’∥OZ轴，长度缩短ab∥OYH轴，长度缩短a”b”倾斜，反映实长、α和β角投影特征侧平线（∥W）

α有M有倾角β=0°迹点N有

γ有

S无20§2-4各种位置直线的投影a’b’∥OZ轴，长度缩短投影§2-5两直线的相对位置

有三种情况：平行、相交、交错（交叉）。

相交平行交错21§2-5两直线的相对位置有三种情况：平行、相交、交错（§2-5两直线的相对位置

空间平行的两直线，其所有的同面投影都各自保持平行关系。

反之，若三面体系中两直线的所有同面投影都各自保持平行关系，则空间两直线平行。

一、两直线平行22§2-5两直线的相对位置空间平行的两直线，其所有§2-5两直线的相对位置

只要有一组同面投影不平行，空间两直线就不平行。

注意：一般情况下，只要检查两组同面投影就能判断出两直线是否平行。对于平行于同一投影面的两直线，则需要求出它们在该投影面上的投影，或根据两直线共面、定比等关系作图进行判断。23§2-5两直线的相对位置只要有一组同面投影不平行，空间§2-5两直线的相对位置

两直线相交，有一个共有点，即交点。且各投影的交点是同一点的投影,应符合点的投影规律。二、两直线相交24§2-5两直线的相对位置两直线相交，有一个共§2-5两直线的相对位置例2-3试判断两直线AB和CD是否相交。

各投影的交点不符合点的投影规律，所以两直线不相交。25§2-5两直线的相对位置例2-3试判断两直线AB和CD§2-5两直线的相对位置

例2-4已知平行两直线AB、CD，试作一直线KL与AB、CD都相交，且该直线距H面为10。

已知（点击鼠标看作图过程）26§2-5两直线的相对位置例2-4已知§2-5两直线的相对位置

若两直线既不平行也不相交，那必然是交错两直线，也称交叉两直线，即异面直线。下面这些都是交错直线。

交错直线同面投影的交点是二直线上一对重影点的投影，对此重影需进行可见性判断。三、两直线交错27§2-5两直线的相对位置若两直线既不平行也不相§2-5两直线的相对位置

例2-5试判断交错两直线AB、CD之重影的可见性。已知判别28§2-5两直线的相对位置例2-5试判断交错两直线§2-6一边平行于投影面的直角的投影

当构成角度的两直线平行于同一投影面时，在该投影面上的投影，反映该角度的真实大小。若构成平面角度的两直线都是一般位置时，在一般情况下，平面角与其投影角是不相等的。

29§2-6一边平行于投影面的直角的投影当构成角§2-6一边平行于投影面的直角的投影

当构成直角的两条直线中，有一直线是投影面平行线，则此两直线在该投影面上的投影仍相交成直角。

逆定理也成立。

直角投影法则:30§2-6一边平行于投影面的直角的投影当构成直§2-6一边平行于投影面的直角的投影证明：AB⊥BC、AB⊥Bb,∴AB⊥BbcC又ab∥AB∴ab⊥BbcC,∴ab⊥bc即∠abc=90°31§2-6一边平行于投影面的直角的投影证明：AB⊥BC、AB§2-6一边平行于投影面的直角的投影

直角投影法则不仅适用于相交垂直的两直线，也适用于交错垂直的两直线。下面都是符合直角投影法则的投影图。32§2-6一边平行于投影面的直角的投影§2-6一边平行于投影面的直角的投影

例2-6试补全矩形ABCD的两面投影图。动画33§2-6一边平行于投影面的直角的投影例2-6试§2-6一边平行于投影面的直角的投影例2-7已知点A和水平线BC的投影，试求点A至直线BC的距离。动画34§2-6一边平行于投影面的直角的投影例2-7已知点A§2-7直线的辅助投影

作辅助投影的目的：辅助投影或者它能表明形体的真实形状、大小，或者它能简化某些空间几何问题的求解。

求直线的辅助投影只须求出直线上两个点的辅助投影，将它们联接起来就得到了直线的辅助投影。35§2-7直线的辅助投影作辅助投影的目的：辅助

设置辅助投影面的原则是：辅助投影面一定要垂直于原有两面体系中的一个投影面，且使辅助投影有利于解决预定问题。因此，辅助投影面的设置在投影图上就表现为辅助投影轴的设置。§2-7直线的辅助投影36设置辅助投影面的原则是：辅助投影面一定要垂直于原有两§2-7直线的辅助投影

例2-8求一般位置线段AB的实长及水平倾角α。

解：在适当位置作O1X1与ab平行，求出两端点的新投影即可连成线段的辅助投影，该辅助投影上反映出线段的实长和水平倾角。37§2-7直线的辅助投影例2-8求一般位置线段AB§2-7直线的辅助投影

例2-9求点C到正平线AB的距离。

解：当AB的投影积聚成一点时，C到AB的距离可在投影图上直接量出。为此，应建立H1投影面使垂直于V和AB，投影图上就表现为作O1X1垂直于a’b’。38§2-7直线的辅助投影例2-9求点C到正平线AB的距离§2-7直线的辅助投影

例2-10求点C到一般位置直线AB的距离。二、直线的复辅助投影39§2-7直线的辅助投影例2-10求点C到一般位置直§2-7直线的辅助投影

解：一般倾斜直线不能一次作出积聚成点的辅助投影，根据上例，应先建立辅助投影面使AB在新投影面体系中成为投影面平行线，然后再第二次建立辅助投影面，使AB成为第二个新投影面体系中的投影面垂直线，这时点C到AB的距离即可直接反映出来。40§2-7直线的辅助投影解：一般倾Thanks!41Thanks!41画法几何及土木工程制图第二章直线42画法几何及土木工程制图第二章直线1目录§2-1直线的投影§2-2直线上的点§2-3直线的倾角和直线段的实长§2-4各种位置直线的投影§2-5两直线的相对位置§2-6一边平行于投影面的直角的投影§2-7直线的辅助投影43目录§2-1直线的投影2§2-1直线的投影

确定一直线只需要两个点，故画一直线的投影，只需知道直线上两点的投影，即可连成直线的投影。

直线的投影仍为直线。44§2-1直线的投影确定一直线只需要两个点，故§2-2直线上的点

一、直线上的点

从属性：直线上的点其投影必在直线的同面投影上。定比性：直线线段上一点把线段分成两段，其长度之比，等于这两段在同一投影面上的投影长度之比。

ac：cb=a′c′：c′b′=a″c″：c″b″=AC：CB45§2-2直线上的点一、直线上的点ac：cb§2-2直线上的点

例2-1已知线段EF的两投影，试在其上取一点K,使EK:KF=3:4。

动画46§2-2直线上的点例2-1已知线段§2-2直线上的点

二、直线的迹点

直线与投影面的交点称为直线的迹点。与H面的交点叫水平迹点，记作M;与V面的交点叫正面迹点，记作N;与W面的交点叫侧面迹点，记作S。根据直线与投影面的倾斜状态不同，它可能有一个、两个、三个迹点。47§2-2直线上的点二、直线的迹点6§2-2直线上的点

迹点投影的两个特征：

1.迹点在所属投影面上的投影就是迹点本身，即Mm、Nn′、Ss″；2.迹点的其他投影必在直线的相应投影与投影轴的相交处，即m′在OX轴上，m″在OY轴上（因zm=0）；n在OX轴上，n″在OZ轴上（因yn=0）；s在OY轴上，ｓ′在OZ轴上（因xs=0）。48§2-2直线上的点迹点投影的两个特征：7§2-2直线上的点

迹点是直线穿越相邻两分角或卦角间的投影面上的点；直线在其两相邻迹点之间的部分，必处在同一分角或卦角中，这部分直线段上所有点的同名坐标值的正、负号相同。49§2-2直线上的点迹点是直线穿越相邻两分角或卦§2-3直线的倾角和直线段的实长

一、倾角和实长

空间直线与某投影面的夹角，称为直线对该投影面的倾角。

对H面的倾角记为α

直线段的真实长度称为实长，标为TL。

直线的各投影与投影轴的夹角一般都不反映直线的倾角，各投影也不反映线段的实长。直线的倾角和线段的实长一般都需要通过作图求出。对V面的倾角记为β对W面的倾角记为γ50§2-3直线的倾角和直线段的实长一、倾角和实长对§2-3直线的倾角和直线段的实长

二、直角三角形法

求一般倾斜直线段的实长和倾角的基本方法是直角三角形法。下图表示它的原理和作图过程。水平倾角实长（点击鼠标5次看作图）51§2-3直线的倾角和直线段的实长二、直角三角形法水§2-3直线的倾角和直线段的实长

例2-2

已知直线CD的正面投影c′d′和点C的水平投影c，且知直线CD对H面的倾角α=30°，求作线段CD的H面投影。

52§2-3直线的倾角和直线段的实长例2-2已知直线§2-4各种位置直线的投影

一、直线与投影面的相对位置

这里的“位置”是指直线在投影面体系中对于投影面的倾斜状态，并非直线的远近、上下、左右、前后等线性度量关系。投影面平行线

投影面垂直线

一般位置直线（一般倾斜直线）铅垂线正垂线侧垂线

水平线正平线侧平线

53§2-4各种位置直线的投影一、直线与投影§2-4各种位置直线的投影

投影面垂直线和投影平行线，统称为特殊位置直线。

投影面垂直线的投影特征:在所垂直的投影面上积聚成一点，其他两个投影垂直于相应的投影轴（同时平行于第三条轴），并且反映线段的实长。

二、特殊位置直线的投影特征54§2-4各种位置直线的投影投影面垂直线和投影平行线，统§2-4各种位置直线的投影

α=90°

M有倾角β=0°迹点N无

γ=0°

S无bbb铅垂线（⊥H）55§2-4各种位置直线的投影α=90°

§2-4各种位置直线的投影正垂线（⊥V）

α=0°

M无倾角β=90°迹点N有

γ=0°

S无56§2-4各种位置直线的投影正垂线（⊥V）§2-4各种位置直线的投影bbb

α=0°

M无倾角β=0°迹点N无

γ=90°

S有侧垂线（⊥W）57§2-4各种位置直线的投影bbbα=0°§2-4各种位置直线的投影

在所平行的投影面上反映实长，并且反映于其他两个投影面的真实倾角，其他两个投影平行于相应的投影轴（同时垂直于第三条投影轴）。注意：投影面平行线是指仅平行于一个投影面的直线。投影面平行线的投影特征：58§2-4各种位置直线的投影在所平行的投影面上反映实

§2-4各种位置直线的投影a’b’∥OX轴，长度缩短ab倾斜，反映实长、β和γ角a”b”∥OYW轴，长度缩短投影特征水平线（∥H）

α=0°

M无倾角β有迹点N有

γ有S有59§2-4各种位置直线的投影a’b’∥OX轴，长度缩短投影

投影特征

α有M有倾角β=0°迹点N无

γ有S有正平线（∥V）a’b’倾斜，反映实长、α和γ角ab

∥OX轴，长度缩短a”b”∥OZ轴，长度缩短§2-4各种位置直线的投影60投影特征α有M有正平§2-4各种位置直线的投影a’b’∥OZ轴，长度缩短ab∥OYH轴，长度缩短a”b”倾斜，反映实长、α和β角投影特征侧平线（∥W）

α有M有倾角β=0°迹点N有

γ有

S无61§2-4各种位置直线的投影a’b’∥OZ轴，长度缩短投影§2-5两直线的相对位置

有三种情况：平行、相交、交错（交叉）。

相交平行交错62§2-5两直线的相对位置有三种情况：平行、相交、交错（§2-5两直线的相对位置

空间平行的两直线，其所有的同面投影都各自保持平行关系。

反之，若三面体系中两直线的所有同面投影都各自保持平行关系，则空间两直线平行。

一、两直线平行63§2-5两直线的相对位置空间平行的两直线，其所有§2-5两直线的相对位置

只要有一组同面投影不平行，空间两直线就不平行。

注意：一般情况下，只要检查两组同面投影就能判断出两直线是否平行。对于平行于同一投影面的两直线，则需要求出它们在该投影面上的投影，或根据两直线共面、定比等关系作图进行判断。64§2-5两直线的相对位置只要有一组同面投影不平行，空间§2-5两直线的相对位置

两直线相交，有一个共有点，即交点。且各投影的交点是同一点的投影,应符合点的投影规律。二、两直线相交65§2-5两直线的相对位置两直线相交，有一个共§2-5两直线的相对位置例2-3试判断两直线AB和CD是否相交。

各投影的交点不符合点的投影规律，所以两直线不相交。66§2-5两直线的相对位置例2-3试判断两直线AB和CD§2-5两直线的相对位置

例2-4已知平行两直线AB、CD，试作一直线KL与AB、CD都相交，且该直线距H面为10。

已知（点击鼠标看作图过程）67§2-5两直线的相对位置例2-4已知§2-5两直线的相对位置

若两直线既不平行也不相交，那必然是交错两直线，也称交叉两直线，即异面直线。下面这些都是交错直线。

交错直线同面投影的交点是二直线上一对重影点的投影，对此重影需进行可见性判断。三、两直线交错68§2-5两直线的相对位置若两直线既不平行也不相§2-5两直线的相对位置

例2-5试判断交错两直线AB、CD之重影的可见性。已知判别69§2-5两直线的相对位置例2-5试判断交错两直线§2-6一边平行于投影面的直角的投影

当构成角度的两直线平行于同一投影面时，在该投影面上的投影，反映该角度的真实大小。若构成平面角度的两直线都是一般位置时，在一般情况下，平面角与其投影角是不相等的。

70§2-6一边平行于投影面的直角的投影当构成角§2-6一边平行于投影面的直角的投影

当构成直角的两条直线中，有一直线是投影面平行线，则此两直线在该投影面上的投影仍相交成直角。

逆定理也成立。

直角投影法则:71§2-6一边平行于投影面的直角的投影当构成直§2-6一边平行于投影面的直角的投影证明：AB⊥BC、AB⊥Bb,∴AB⊥BbcC又ab∥AB∴ab⊥BbcC,∴ab⊥bc即∠abc=90°72§2-6一边平行于投影面的直角的投影证明：AB⊥BC、AB§2-6一边平行于投影面的直角的投影

直角投影法则不仅适用于相交垂直的两直线，也适