江西省赣州市2021-2022学高一上学期期末数学试题

第18页/共18页赣州市2021~2022学年度第一学期期末考试高一数学试题2022年1月（考试时间120分钟，试卷满分150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据补集、并集的定义可求解.详解】，，，，∴A∪∁U故选：C.2.“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜（简称），是具有我国独立自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，则“中国天眼”获取数据的方式是（）A.调查 B.实验 C.观察 D.查询【答案】C【解析】【分析】利用统计学中获取数据的方法分析判断【详解】由于自然现象会随着时间的变化而变化，所以“中国天眼”获取数据的方式是观察，故选：C3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的解法，求得不等式解集对应的集合，结合是的真子集，即可求解.【详解】由不等式，解得，设为集合又由，解得，设为集合，则是的真子集，所以是充分不必要条件.故选：A.4.已知狄利克雷函数则下列结论正确的是（）A.是偶函数 B.是单调函数C.的值域 D.【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的定义、单调函数的定义、值域的定义进行判断即可.详解】A：当时，显然，此时恒有，当时，显然此时是无理数，显然也是无理数，此时恒有，所以是偶函数，因此本选项结论正确；B：因为，所以函数不是实数集上的单调函数，因此本选项结论不正确；C：由函数的解析式可知：的值域为，因此本选项结论不正确；D：，因此本选项结论不正确，故选：A5.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用对数函数的运算求出，再利用指数函数的单调性比较大小得到答案.【详解】，，因为，所以，所以.故选：D.6.设函数，若是奇函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用奇函数的性质结合函数解析式可求得结果.【详解】由已知可得.故选：B.7.如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为，截面半径为（，为常量），油面高度为，油面宽度为，油量为（，，为变量），则下列说法错误的（）

A.是的函数 B.是的函数C.是的函数 D.是的函数【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义即可确定．【详解】根据圆柱的体积公式的实际应用，油面高度为h，会影响油面的宽度w，从而影响油量v，A：由于v确定，故h确定，w就确定，符合函数的定义，故A正确；B：由于w确定，h有两个（上下对称），所以v有两个，故与函数的定义相矛盾，不是函数，故B错误；C：由于v确定，故h确定，符合函数的定义，故C正确；D：由于h确定，故v确定，符合函数的定义，故D正确.故选：B.8.若实数，满足，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由指数函数的性质可知是上的增函数；根据题意可知，即，再根据函数的单调性，可得，由此即可得到结果．【详解】令，由于均为上的增函数，所以是上的增函数，因为，所以，即，所以，所以.故选：C．二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分）9.新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，我国的“新冠肺炎”疫情在2020年二月份已得到基本控制.甲、乙两个地区措施采取防护后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成的折线图（如图），则下列关于甲、乙两省新增确诊人数的说法，正确的是（）A.甲省的平均数比乙省低 B.甲省的方差比乙省大C.乙省的中位数是23 D.甲省的极差是17【答案】ABC【解析】【分析】根据题意列出数据，进而求出对极差、中位数和平均数，然后再观察数据的波动幅度，最后判断答案.【详解】由图可知，甲省的极差为27-9=18，D错误；乙省的中位数为23，C正确；甲省的平均数,乙省的平均数，A正确.根据数据可以判断，乙省的数据波动较小，则方差较小，甲省的数据波动较大，则方差较大，B正确.故选：ABC.10.下列各结论正确的是（）A.“”是“”的充要条件B.的最小值为2C.命题“，有”的否定是“，有”D.若，，则【答案】AD【解析】【分析】直接利用充分条件和必要条件的定义，对勾函数，命题的否定，作差法证明不等式分别判断各个选项即可.【详解】对于选项，“”“”，可知，“”是“”的充要条件，则选项正确；对于选项，令，其中，则，在上单调递增，故最小值为，则选项不正确；对于选项，命题“，有”的否定为“，有”，则选项不正确；对于选项，，即，则选项正确.故选：.11.高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则关于函数的叙述中正确的是（）A.B.函数的值域为C.在R上为增函数D.函数在区间有12个零点【答案】AB【解析】【分析】画出的图象，结合图象逐项判断可得答案.【详解】画出的图象，根据“高斯函数”定义，故A正确；由图象可得函数的值域为，故B正确；由图象可得在R上不是增函数，故C错误；由函数在区间有13个零点，故D错误.故选：AB.12.已知函数在上单调递增，且，则（）A.B.C.为偶函数D.任意且，都有【答案】CD【解析】【分析】根据题意可得函数关于直线对称，在上单调递增，在上单调递减，进而可判断，即可判断选项A；根据函数图象平移的性质即可判断选项B；根据指数函数的性质即可判断选项C、D.【详解】由知，函数关于直线对称，又在上单调递增，所以在上单调递减.A：因为点和点关于直线对称，所以，故A错误；B：因为，在上单调递增，所以，故B错误；C：因为函数关于直线对称，所以函数关于直线对称，即函数关于y轴对称，为偶函数，故C正确；D：当时，，所以，当时，，所以，所以且时，恒有，故D正确.故选：CD第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知幂函数在区间上单调递减，则实数的值为______.【答案】【解析】【分析】根据幂函数的概念，求得，再结合幂函数的性质，即可求解.【详解】由题意，幂函数，可得，解得或，当时，函数在区间上单调递增，不符合题意；当时，函数在区间上单调递减，符合题意，所以实数的值为-.故答案为：-.14.在运动会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手.若从中任选2人，则选出火炬手编号相连的概率为______.【答案】##【解析】【分析】先求出基本事件总数，再求出选出的火炬手的编号相连包含的基本事件个数，由此能求出选出的火炬手的编号相连的概率．【详解】有编号为的名火炬手，从中任选人，基本事件有，共10个；选出的火炬手的编号相连包含的基本事件有，共个；所以选出的火炬手的编号相连的概率．故答案为：．15.若，且，则实数的值为______.【答案】18【解析】【分析】由指对数互化可得，，代入题设等式，结合换底公式及对数运算性质即可求k的值.【详解】由题设，，，所以，则.故答案为：18.16.已知函数其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个相异的实数解，则实数的取值范围是______.【答案】.【解析】【分析】作出函数的图象，结合图象可得答案．【详解】时，，由解得，的图象如图如下：方程恰有三个相异的实数解，则故答案为：．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设全集，已知集合，集合B=xa+1<x<3a−1.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）利用并集和补集的基本运算结合一元二次不等式的解法即可求解；（2）根据交集的运算结果得出集合间的包含关系，再利用分类讨论即可求出实数的取值范围【小问1详解】因为当时，所以所以或【小问2详解】因为，所以（ⅰ）当时，则，即（ⅱ）当时，则由，得a+1≥−13a−1≤4a>1，所以综上所述：实数的取值范围是18.已知函数（，为常数）是奇函数.（1）求实数的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1）-1（2）【解析】【分析】（1）根据函数是奇函数可得答案；（2）利用单调性定义判断出单调性，再利用单调性解不等式即可.【小问1详解】由函数（，为常数）是奇函数，令，则，即得，经检验当时，为奇函数.【小问2详解】任意，且，，因为且，所以，所以，所以在R上单调递增函数，由，得，即，因为，即，所以或，所以不等式的解集为.19.随着新课程改革和高考综合改革的实施，学习评价更关注学科核心素养的形成和发展，为此，某市于2021年举行第一届高中文科素养竞赛，竞赛结束后，为了评估该市高中学生的文科素养，从所有参赛学生中随机抽取1000名学生的成绩（单位：分）作为样本进行估计，将抽取的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）请补全频率分布直方图并估计这1000名学生成绩的平均数和计算80%分位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从以上各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人.若第三组学生实际成绩的平均数与方差分别为74分和2，第四组学生实际成绩的平均数与方差分别为84分和1，求这20人中分数在区间所有人的成绩的方差.【答案】（1）直方图见解析，平均数67分，80%分位数76.67分（2）【解析】【分析】(1)根据题意求出成绩落在频率，补全频率分布直方图，利用频率分布直方图求出平均数和80%分位数；(2)根据分层抽样的性质求得第三组和第四组抽取的人数，进而求得该两组成绩的平均值，利用方差公式即可求出这两组成绩的方差.【小问1详解】成绩落在的频率为补全的频率分布直方图，如图样本的平均数(分)设80%分位数为，则，解得：(分}【小问2详解】由分层抽样可知，第三组和第四组分别抽取3人和2人分层抽样的平均值：（分）分层抽样的方差：20.已知函数.（1）设，求函数的值域；（2）若不等式在区间有解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意可得，，则等价于，即可求出值域．（2）根据题意可得在恒成立，则，由对数函数的单调性可得在区间有解，即在区间有解；利用分离参数法，可得在区间有解，再令，则，根据单调性即可求出结果.【小问1详解】解：令，则等价于，因为所以当时，所以的值域为；【小问2详解】解：首先考虑定义域：在区间恒成立，得由于在上是单调递增的，所以在区间有解.即等价于在区间有解，即在区间有解而，所以在区间有解因为，令，设，函数在区间上单调递增所以在区间有解等价于，即综上实数的取值范围为21.某兴趣小组在研究性学习活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以天计）的日销售价格（元）与时间（天）的函数关系近似满足（为常数）.该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示：（天）（个）已知第天该商品的日销售收入为元.（1）求出该函数和的解析式；（2）求该商品的日销售收入（元）的最小值.【答案】（1），（2）最小值为元【解析】【分析】（1）利用可求得的值，利用表格中的数据可得出关于、的方程组，可解得、的值，由此可得出函数和的解析式；（2）求出函数解析式，利用基本不等式、函数单调性求得在且、且的最小值，比较大小后可得出结论.【小问1详解】解：依题意知第天该商品的日销售收入为，解得，所以，.由表格可知，解得.所以，.【小问2详解】解：由（1）知，当且时，，当且时，.，当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，即.当时，因为函数、均为减函数，则函数为减函数，所以当时，取得最小值，且.综上所述，当时，取得最小值，且.故该商品的日销售收入的最小值为元.22.已知函数的定义域是，且.（1）求函数的定义域和值域；（2）若函数对定义域内任意的实数，，，，都有恒成立，