吉林省吉林市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

吉林市普通高中2021—2022学年度高一上学期期末调研测试数学试题本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合A,B,接着求出，根据集合的交集运算求得答案.【详解】，，故故，故选：D2.命题“R，”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定方法即可解答.【详解】命题的否定是“”.故选：C.3.若为第三象限角，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据角所在象限，可判断其三角函数值的正负，即可得答案.【详解】为第三象限角，则，，，，由此可得：A，B，D错误，C正确，故选：C.4.下列函数中与是同一个函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数相等的定义是：定义域相同且对应关系相同，逐个分析可得答案.【详解】对于A，的定义域为，与的定义域为不同，故A不正确；对于B，与是同一函数，故B正确；对于C，与的对应关系不同，故C不正确；对于D，与的定义域不同，故D不正确.故选：B5.若，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数、对数函数、正切函数的单调性进行判断即可.【详解】因，所以，故选：D6.若，则（）A B. C.3 D.5【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的性质进行计算.【详解】解：由题意得：故选：A7.已知函数是定义域为R的偶函数，且在区间上单调递增，若，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．【详解】是定义在R上的偶函数，且在区间，上单调递增，若，则不等式等价为，即，即，故不等式的解集为：.故选：B．8.屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代.某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为，内环弧长为，径长（外环半径与内环半径之差）为，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设扇环的圆心角为，内环半径为，外环半径为，根据题设可得和，从而可求扇环的面积.【详解】设扇环的圆心角为，内环半径为，外环半径为，则，由题意可知，，，所以，所以扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为符号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】分别由不等式的同加同乘性质可得，注意选项B中为0的情况.【详解】选项A：，在不等式两边同除以得，A正确；选项B：当时，，B错误；选项C：同向不等式相加，不等号方向不变，C正确；选项D：，，两边同除以得，，D正确.故选：ACD.10.下列函数在定义域内既是奇函数，又是减函数的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义判断和基本函数的单调性判断.【详解】A.的定义域为R，因为，所以是奇函数，因为是增函数，所以是减函数；B.的定义域为R，因为，所以是奇函数，因为是增函数，则是减函数，所以是减函数；C.定义域为，不关于原点对称，所以不是奇函数；D.的定义域为，因为，所以是奇函数，在定义域上不单调.故选：AB11.已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】依题意可得、两个数一个大于，一个大于且小于，再分类讨论，结合指数函数的性质判断即可；【详解】解：令，解得、，根据二次函数图形可知，、两个数一个大于，一个大于且小于，①当，时，则在定义域上单调递增，且，即，所以满足条件的函数图形为C；②当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足条件的函数图形为A；故选：AC12.已知函数，下列结论中不正确的有（）A.函数的最小正周期为且图象关于对称B.函数的对称中心是C.函数在区间上单调递增D.函数的图象可以由的图象向右平移个单位得到【答案】BC【解析】【分析】首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．【详解】函数，∴函数的最小正周期为，故A正确；令，即，函数的对称中心是，故B错误；时，，显然在其上不单调，故C错误；的图象向右平移个单位得到，故D正确.故选：BC三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．13.已知，，若，则的最小值为____________．【答案】8【解析】【分析】由基本不等式求得最小值．【详解】因为，，，所以，当且仅当即时等号成立，故答案为：8.14.已知幂函数的图象过点，则______．【答案】3【解析】【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.【详解】设，由于图象过点,得，，，故答案为3.【点睛】本题考查幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.15.已知，均锐角，若，则值为____________．【答案】【解析】【分析】由两角和的余弦公式求得的值，再由特殊角的三角函数值得结果．【详解】由已知，又，均为锐角，所以，所以．故答案为：．16.已知函数，若函数有4个零点，，，，则____________；若关于的方程有个不相等的实数根，则的取值范围是____________．【答案】①.②.【解析】【分析】根据指数函数与二次函数的性质，作出函数的图象，结合函数图象的对称性，即可求解的值，再令令，根据有8个不等的实数根，转化为在有2个不同的实数根，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数，根函数的图象变换，函数的图象关于对称，根据二次函数的性质，可得函数的图象关于对称，在坐标系中作出函数的图象，如图所示，函数有4个零点，，，，可得，所以；令，则方程可化为，因为有8个不等的实数根，则方程必有4个实数根，所以，所以在有2个不同的实数根，令，可得其对称轴的方程为，则满足ℎ54=所以实数的取值范围是.故答案为：；.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知集合，．（1）当时，求，；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出集合B，进而求出交集和并集；（2）根据是的充分不必要条件得到A是B的真子集，进而得到不等式组，求出实数的取值范围.【小问1详解】．当时，所以，；【小问2详解】是的充分不必要条件∴A是B的真子集，故即所以实数m的取值范围是.18.已知函数（1）化简函数，并求；（2）在以原点为圆心的单位圆中，已知角终边与单位圆的交点为，求的值．【答案】（1），；（2）－1.【解析】【分析】(1)根据诱导公式化简即可，化简后将x＝代入计算；(2)根据三角函数的定义求出tanα，再利用正切的差角公式即可计算.【小问1详解】，；【小问2详解】角终边与单位圆的交点为，，，.19.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）将图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，求函数的单调递减区间．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数图象，求得，，得到，将点，代入，结合，求得，即可求得函数的解析式；（2）根据三角函数的图象变换求得，结合正弦型函数的性质，即可求解.小问1详解】解：由函数图象，可得，，所以，因为，可得，所以，又因为图象过点，可得，所以，解得，又由，所以，所以的解折式为.【小问2详解】解：将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到令，解得，所以函数的单调递减区间是.20.已知函数且，且．（1）求值及函数的定义域；（2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围．【答案】（1）2，（2）【解析】【分析】（1）根据代入即可求出参数的值，再根据对数函数的真数大于零得到不等式，解得即可；（2）依题意函数与在区间上有公共点，根据对数函数的单调性求出在上的值域，即可求出参数的取值范围；【小问1详解】解：因为且，且，所以，所以，令，解得，所以的定义域为【小问2详解】解：方程在区间上有解，所以函数与在区间上有公共点，因为在区间上单调递增，所以当时，取最小值0，当时，取最大值2，所以函数的值域为，所以实数m的取值范围为时，函数与在区间上有公共点，综上：实数m的取值范围为21.当前新冠肺炎疫情防控形势依然严峻，要求每个公民对疫情防控都不能放松．科学使用防护用品是减少公众交叉感染、有效降低传播风险、防止疫情扩散蔓延、确保群众身体健康的有效途径．某疫情防护用品生产厂家年投入固定成本万元，每生产万件，需另投入成本（万元）．当年产量不足万件时，；当年产量不小于万件时，．通过市场分析，若每万件售价为400万元时，该厂年内生产的防护用品能全部售完．(利润=销售收入－总成本)（1）求出年利润（万元）关于年产量（万件）的解析式；（2）年产量为多少万件时，该厂在这一防护用品生产中所获利润最大？并求出利润的最大值．【答案】（1）Lx（2）当年产量为90万件时，该厂在这一防护商品生产中所获利润最大为1050万元【解析】【分析】（1）根据题意直接利用利润=销售收入－总成本，写出分段函数的解析式即可；（2）利用二次函数及其基本不等式分别求出各段的最大值，再取两个最大的即可.【小问1详解】当且时，，当且时，综上：L【小问2详解】当且时，∴当时，取最大值（万元）当且时，当且仅当，即时等号成立．∴当时，取最大值（万元）∵，综上所述，当年产量为90万件时，该厂在这一防护商品生产中所获利润最大为1050万元.22.已知实数，函数是定义域为的奇函数．（1）求函数的解析式；（2）已知且，若对于，，使得恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）