吉林省白山市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

2021~2022学年上学期白山市高一期末数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次方程求集合B，再由集合的并运算求.【详解】由，所以.故选：D.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由根式、对数的性质可得，即可得定义域.【详解】由题设，，解得：，故函数定义域为.故选：B.3.已知扇形的面积为9，半径为3，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】利用扇形面积公式即可求解.【详解】设扇形的圆心角的弧度数为，由题意得，得.故选：C.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由可以得到，但是反向推导不成立，故可以得到答案.【详解】由可以得到，但是由，得或.故选：A.5.函数在上的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】应用排除法，结合函数的奇偶性及即可确定函数大致图象.【详解】由知：是奇函数，排除B、C.由，排除A.故选：D.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简即得解.【详解】解：由题得.故选：B7.要得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A.向右平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向左平移个单位【答案】C【解析】【分析】根据图象平移前后的函数解析式，结合诱导公式，写出平移过程即可【详解】将向右平移个单位得到.故选：C.8.假设某地初始物价为1，其物价每年以5%的增长率递增，当该地物价不低于1.5时，至少需要经过的年数为（）（参考数据：取，，）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】应用指数函数表示x年后该地物价，可得指数不等式，结合指对数的关系及对数的运算性质求解即可.【详解】经过x年后该地物价为，∴由题意得：，得，而，∴，故至少需要经过的年数为9.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数（且）的图象过定点P，且角的终边经过P，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】先根据对数函数的性质求出定点P，再根据三角函数的定义及两角和的正切公式计算即可【详解】令，得，进而，则，，，.故选：BD.10.若函数，则下列函数为偶函数的是（）A B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义判断各选项函数的奇偶性即可.【详解】，故是奇函数，A错误.，故是偶函数，B正确.，故是偶函数，C正确.，故是偶函数，D正确.故选：BCD.11.函数（，）的部分图象如图所示，则（）A.B.C.的单调递减区间为（）D.图象的对称轴方程为（）【答案】AD【解析】【分析】由图知且求，根据五点法求参数，即可得的解析式，再由正弦型函数的性质求递减区间、对称轴方程，即可判断各选项的正误.【详解】由图可得：且，∴，则，A正确.由，则（），得（），即，B错误.综上，有，由，（），得（），C错误.由（），得（），D正确.故选：AD.12.设函数，则（）A.当时，的值域为B.当的单调递增区间为时，C.当时，函数有2个零点D.当时，关于x的方程有3个实数解【答案】ABD【解析】【分析】对A，先求出函数在每一段的范围，进而求出函数的值域；对B，先得出函数的单调区间，然后结合条件求出a的范围；对C，根据函数零点的个数讨论出a的范围，进而判断答案；对D，画出函数的图象即可得到答案.【详解】对A，当时，若x>1，，若x≤1，，于是的值域为，A正确；的单调递增区间是和，因为的单调递增区间是，所以，即，B正确；当时，由，得，当时，令，得.此方程有唯一解，得，即，C错误；当时，如图所示，的图象与直线有3个交点，D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.写出一个最小正周期为的奇函数：___________.【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】根据题设函数性质写出一个符合要求的函数即可.【详解】最小正周期为奇函数，有如：、()等.故答案为：(答案不唯一).14.已知，，且，则的最小值为___________，此时___________.【答案】①.4②.3【解析】【分析】由基本不等式可得，结合已知条件可得的最小值，再根据等号成立的条件求出对应的a、b，即可求.【详解】由，当且仅当，即，时等号成立，此时.故答案为：4，3.15.已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据题意求出函数解析式，进而判断出函数的奇偶性和单调性，最后求得答案.【详解】设，则，得，所以.容易判断是定义在R上的增函数，且为奇函数，所以由，得，得，故a的取值范围是.故答案为：.16.若函数（）的图象在上恰有2个零点，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据题意，将问题转化为函数（）图象与直线的交点个数，进而结合三角函数的图象和性质求得答案.【详解】函数（）的零点个数等价于函数（）图象与直线的交点个数.因为，，所以.由题意得，解得.故答案为：.四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.求值：（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）尽量将底数改写成幂的形式，根据分数指数幂运算可得；（2）根据对数的运算及恒等式直接计算可得.【小问1详解】原式【小问2详解】原式18.已知，且为第二象限角.（1）求值；（2）求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意先求出，进而根据同角三角函数的基本关系求得答案；（2）先用诱导公式将式子化简，进而进行弦化切，然后结合（1）求出答案.【小问1详解】由.得.因为为第二象限角，所以，故.【小问2详解】.19.某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的准备费用､生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期的准备费用为800元，成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记生产件产品的总费用为y元.当时，成本费用为3000元，仓储费用为450元.（1）求y关于x的函数解析式；（2）试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？【答案】（1）（2）当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元【解析】【分析】（1）根据已知设成本费用为，仓储费用为元，则，，当时，，，代入即可求得解析式.（2）平均费用为，利用基本不等式计算即可.【小问1详解】设成本费用为，仓储费用为元，则，，当时，，，可得，，故.【小问2详解】平均费用，当且仅当，即时，等号成立.故当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元.20.已知函数，．（1）求不等式的解集；（2）求当取得最大值、最小值时的值，并求最大值、最小值．【答案】（1）.

（2）时，;

时，.

【解析】【分析】（1）运用三角函数倍角公式化简函数的表达式，再求解三角不等式可得出结果；（2）根据函数的定义域及三角函数的单调性，求解函数在特定区间上的最值即可.【小问1详解】根据题意，

，即时,解上面不等式得，

即不等式的解集为.【小问2详解】由（1）可知，

时，

时，即时，取得最小值，且最小值为;时，即时，取得最大值，且最大值为.

21.已知函数（且）.（1）若，求的单调区间；（2）已知有最大值，且，，，求a的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则求得答案；（2）根据题意求出函数的最大值，及的最大值，最后求出答案.【小问1详解】由得，则的定义域为.当时，，函数单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减.故的单调递增区间为.单调递减区间为.【小问2详解】，.得.因为有最大值.所以在上有最大值，则，.因为，所以.因为，，，所以.所以，解得，故a的取值范围为.22.已知函数，当时，取得最小值．（