点到直线的距离教案

《点到直线的距离》教学设计新人教版高二第二册（上）第七章第三节第4小节浮山中学数学组李善飞【教材分析】.教材的地位和作用“点到直线的距离”是高中课本第二册（上册）第七章第三节“直线”的最后一节，其主要内容是：点到直线的距离公式的推导及应用。在此之前，学生已经学习了两点间的距离公式、定比分点公式、直线方程、两直线的位置关系，同时也学习了用代数方程研究曲线性质的“以数论形，数形结合”的数学思想方法。在这个基础上，教材在第一章的最后安排了这一节。点到直线的距离公式是解决理论和实际问题的重要工具，它使学生对点与直线的位置关系的认识从定性的认识上升到定量的认识。点到直线的距离公式可用于研究曲线的性质如求两条平行线间的距离，求三角形的高，求圆心到直线的距离等等，借助它也可以求点的轨迹方程，如角平分线的方程，抛物线的方程等等。.教材的内容安排和处理教参安排“点到直线的距离”这部分内容的授课时间为2个课时。第一课时：侧重于公式的推导及记忆。第二课时：侧重于公式的应用。本节为第一课时。【教学目的】1、知识目标：掌握点到直线距离的公式的推导及其运用；2、能力目标：培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力，数形结合、转化（或化归）、等数学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力；3、德育目标：引导学生用联系与转化的观点看问题，了解和感受探索问题的方式方法，在探索问题的过程中获得成功的体验。【教学重点】公式的推导及其结论以及简单的应用。【教学难点】发现点到直线距离公式的推导方法。【教学方法】启导法、讨论法。【教学过程】一、创设情景给出定义师：同学们到学校要到公路上乘车，怎么走到村边的公路上，才使所走的路最短？生：垂直于公路走最短。［板书］点到直线的距离二、提出问题初探思路“求点P（-1,2）到直线l：2x+y-10=0的距离。”提问学生解题思路，估计学生的思路：先求过点的1的垂线11的方程；再联立l、l,求垂足Q,最后用两点间距离公式求Pq|。［使学生巩固已学过的知识和方法，同

时也为问题二的解决作铺垫。］三、自主探索推导公式已知点P（x0，y0）,直线l：Ax+By+C=0,求点P到直线l的距离.怎样求点到直线距离呢？学生思考，做垂线找垂足Q，求线段PQ的长度.怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况.学生提出平行于x轴和y轴的特殊情况.学生解决.板书:l:By+C=0,|PQ|=卜0-yl:Ax+C=0,|PQ|=|x-x当AB中0时，如何求p^Q|?学生思考回答下列想法：思路一：［学生类比问题一，容易有思路］过P作0—

|A|P(x0,y0)PQ11于0—

|A|P(x0,y0)由PQ与l联立方程组解得Q点坐标，然后利用两 \点距离公式求得.教师继续提出问题：（1）求线段长度可以构造图形吗？（2）什么图形？如何构造？⑶第三个顶点在什么位置？ （4）特殊情况与一般情况有联系吗？学生探讨得到：构造三角形，把线段放在直角三角形中. 鸟1项）［老师引导学生观察图形，抓住直角特征，构造以垂线段为一直角边的直角三 \角形。］思路二:过P点做x,y轴的平行线与直线l的交点R、S.在直角△PQR,或直角△PQS中，求边长与角（角与直线倾斜角有关，但分情况），用余弦值.思路三：在直角△PRS中，求线段PR、PS、RS,利用等面积法（不涉及角和分情况），求得线段PQ长.学生分组练习，教师巡视，根据学生情况演示探索过程.（思路一）解：直线PQ:=OQ-x)Qwx),§PBx-Ay=Bx-Ay

Aoo ooBx-Ay=Bx-Ay*ooAx+By+C=OB2x-ABy-ACX= 9 9 Q 4+和（思路一）解：直线PQ:=OQ-x)Qwx),§PBx-Ay=Bx-Ay

Aoo ooBx-Ay=Bx-Ay*ooAx+By+C=OB2x-ABy-ACX= 9 9 Q 4+和B2X-ABy-AC-A^x一B?xx—x= e e e e-Q0 M+B2—A(^Ax+By+C)

0 0

M+B?_B( \Ax+By+Cy-y——vx—x)=—B—o--q e0Ao A2+B21A2+B2Ax+By+c\=0 0IAx+By+C\——Q- 0._L7A2+B2（思路二）解：在RtAPSQ中，已知IPSI、0,要求帆q|,只需求cos。。而已知/的方程，就知道tga（当B关0时，tga=—2）,也就知道tg0,也B就知道sec0，就可以求出cos0；*.*0<90°,AJl+tg2。'A2YA2+B2

\!+B?在RtAPSQ中，已知|PS|,cosZQPS即COS0，则IPQI=IPSIcos。IAx+By+C

0 Q IB|IBX-1JA2+B2VA2+B2（思路三）解：设儿。，八），。\,/我\），火工）Ax+By+C=0,x=_色+。

R0 R A4n„„ A.x+CAx+By+C=0?y=——o 0s sb因尸|=-xI

i)RAx+By+C——0 0 AAx+By+C

——00BRS\由I尸妹皮|=|pr|-ps|,pel=RS\而RS|=.f|Rp|2+1Psl2=代十小°7A^A^x+By+C। =-__°———0 AA2+B2lABl・•・pel=1Ax02B02CAA2+B2教师又提出：点到直线的距离是点与直线上的点距离的最小值吗？那么能不能用不等式的知识解决呢？思路四：使用柯西不等式（师生共同）解：（A2+B2）[（x-x）2+（y-y）2]>[A（x一x）+B（y一y）]2TOC\o"1-5"\h\z0 0 0 0\o"CurrentDocument"=[(Ax+By)-(Ax+By)]2=[(Ax+By+C)-(Ax+By+C)]200 00=(Ax+By+C)2 ( Ax+By+C=0)0 0两边开方后可得：\：,(x-x)2+(y-y)2>1Ax0+By0+C^0 0 v1A2+B2问：等号什么时候成立呢?x一xy一y y-yB答：当 a=二甘即2―=:时等号成立。AB x一xA0教师继续引导学生思考，不构造三角形可以求吗？（在前面学习的向量知识中，有向量的模.由于在证明两直线垂直时已经用到向量知识，且也提出过直线的法向量的概念.）能否用向量知识求解呢？思路五：已知直线/的法向量n，则PQ=九n,元=।九in，如何选取法向量？直线的方向向量fl,-A]，则法向量为fl,B],或（A,B），或其IB） IA）它.由师生一起分析得出取n=（A,B）.教师板演：PQ=1一x,y一y),九n=6A,九B)

yQ｛一.yQxxTQ0Ax0+By0+CA2+B2yQ—y0Ax0+By0+CA2+B2A（x+九A）+B（y+九B）+C—0,解得.•.九・•.「QI—k|口―1Ax0+B0+C以F——0+B0+CA2+B2 AA2+B2教师评析：向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点.而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中，用坐标联系转化是常用方法.四、掌握公式学会应用例1：求点P0（—1,2）到下列直线的距离：①3x=2 ②5y=3 ③2x+y=10 ④y=-4x+1例2：点（4,m）到直线4x-3y-1=0的距离为3,求m。师生共同总结出公式的结构特征、公式的适用范围、使用公式时应注意的问题等等，即如下几点：.公式的结构特征：分子是将点的坐标代入直线方程一般式的左边得到的代数式加绝对值，分母是<A2+B2。.公式的适用范围：①该公式对于任何位置的点P（包括直线上的点）及任意直线都适合。②当A=0或B=0时，公式仍成立，计算时常用图形直接求解也可套用公式。.使用公式时应注意的问题：使用点到直线距离的公式时，应先将直线方程化为一般式。.用方程的观点理解公式：该公式是含有6个量的方程，知道其中5个量可以求第6个量。五、学生小结教师点评①知识：点到直线的距离的公式推导以及应用.②数学思想方法：类比、转化（或化归）、数形结合、特殊与一般的方法.六、课外练习巩固提高①课本习题7.3的第13题----14题；②总结写出推导点到直线距离公式的多种方法.七、课后思《点到直线的距离》教学设计说明一、教材分析我主要从三方面：教材的地位和作用、教学目标分析、教学重点和难点来说明的.教学目标包括：知识、能力、德育等方面的内容.我确定教学目标的依据有教学大纲、考试大纲的要求、新教材的特点、所教学生的实际情况.二、教学方法1、指导思想：“以生为本”的理念，在课堂中充分体现“教师为主导，学生为主体”.“授人以鱼，不如授人以渔。”我体会到，必须在传授知识给学生的同时，教给他们好的学习方法，就是让他们“会学习”。2、教学方法：启导法、讨论法.启导法属于启发式教学，它符合辩证唯物主义内因和外因相互作用的观点，符合教学论中的自觉性、积极性、巩固性、可接受性，教学与发展相结合，教师的主导作用与学生的主体地位相统一等原则。启导法的关键是通过教学中的引导、启发、充分调动学生学习的主动性。在教学中，我采用启导法，引导学生探索公式推导的思路并完成公式推导，培养学生思维的灵活性、严密性、批判性等，渗透数学思想。三、教学过程这节课在：“创设情景提出问题——提出问题初探思路——自主探索推导公式一一掌握公式学会应用一一学生小结教师点评一一课外练习巩固提高”六个环节中，始终以学生为本.教师主导，学生自主探究，将问题解决.首先提出学生自己亲历的问题，引发学生的学习的兴趣和求知欲望，从而引出数学问题.通过一系列问题引导学生通过图形观察，进而思考、分析、归纳总结选择较好的方法具体实施.学生分组练习，落实计算能力，培养合作学习能力.关于思路五，在课本中没有出现这样的证法，我在课堂上选取这样的证法.主要是考虑到：向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点.而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中，用坐标联系转化是常用方法，这样思路五的给出不仅符合新教材的要求，也为今后的学习方法奠定了基础.我选择练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式，主要通过学生口答完成.我强调注意在公式中直线方程的一般式.例1的选取来自课本，但是课本只有一种特殊点的解法.我把本例题进行挖掘，引导学生多角度考虑问题.例2是公式的逆应用。在整个过程中让学生注意体会解题方法中的灵活性.在整节课的处理中，采取了知识、方法来源于课本，挖掘其深度、广度，符合现代教学要求.四、教学评价学生在学习点到直线的距离公式时，经常会出现以下两个问题：.使用公式时，未将直线方程写成一般式，随意改写方程；.遇到A=0或B=0的情形，不会套公式或用数形结合没有加绝对值算出的结果是负的；课堂上，老师可以通过巡堂，或提问等方式来发现学生的错误，而采取直接讲解，或采取实物投影学生的错误解答，组织学生集体讨论，并