2009数一真题、答案及解析

第-PAGE1-页共19页年2009入学统一考年x0fxxsinaxgxx2ln1bx等价无穷小，(A)a1,b1 (B)a1,b1 (C)a1,b1 (D)a1,b1 DD1421-1-如图，正方形x,yx1,y1DD1421-1-四个区域Dk1,2,3,4，I ycosxdxdy，则maxI

1k (A)I1 (B)I2 (C)I3 (D)I4xx设函yfx在区间1,3上的图形xff1-O-123x则函Fx0ftdt的图形ff1-O123-f1-O12 - PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 第-PAGE7-页共19页f1-f1- 23x 设有两个数列an,bn，若liman0n

1- - （A）当bn收敛时，anbn收敛 （B）当bn发散时，anbn发散 (C)当b收敛时，a2b2收敛 (D)当b发散时，a2b2 n

n

n设,3R3的一组基，则由基11 12,23,31 1

1 0

23

3

3 3 1 1 (C)

1

1 6

4

4 1 1 6

6 A 设A,B均为2阶矩阵，A,B分别为A,B的伴随矩阵，若A2,B3，则分块矩阵 3B* 2B*A B 2 O O 3A* 2A*C D O Ox12 ，其中x为标准正态分布函数，2 EX(A)0 （8）设 量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N0,1，Y的概率分布 为 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分

2设函数fu,v具有二阶连续偏导数，zfx,xy，则xy 若二阶常系数线性齐次微分方程yayby0的通解为yCCxex，则非齐次方程 yaybyx满足条件y02,y00的解为y L已知曲线L:yx20x 2，则xds L设x,y,zx2y2z21，则z2dxdydz 若3维列向量,满足T2其中T为的转置则矩阵T的非零特征值 (14)X1X2,

若XkS2为np2的无偏估计量，则k （15（f(xyx22y2ylny的极值（16（an为曲线yxnyxn1n1,2所围成区域的面积， S1anS2a2n1，求S1S2的值 17（x2y217（x2y2

求S1S2的方求S1与S2之间的体积（18（证明拉格朗日中值定理：若函数fx在ab上连续，在(ab)可导，则存在a,b，使fbfafba证明：若函数fxx0处连续，在0,0内可导

fxAf0存在f0A（19（

xdydzydzdx3x2y2z23

，其中2x22y2z24的外侧（20（ 设A ， （Ⅰ）求A21的2

A231的所有向量23（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量23证明123无关（21）（11分）fxxxax2ax2a1x22xx2x 1 2f fy2y2，求a （球，以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.（Ⅰ）pX1Z（Ⅱ）求二维 量X,Y概率分布

2xex,x

求参数（Ⅱ）求参数的最大似然估计量年2009入学统一考年数学一试x0fxxsinaxgxx2ln1bx等价无穷小，(A)a1,b1 (B)a1,b1 (C)a1,b1 (D)a1,b1 【答案】f(xxsinaxg(x)x2ln(1bxf( xsin xsin 1acos a2sinlim lim lim 洛

洛x0g(

x0x2ln(1

x0x2

x0 lima2sinaxa3x06b a

a3 另外lim1acosax存在，蕴含了1acosax0x0故a 排除 DD1421-1-如图，正方形x,yx1,DD1421-1-四个区域Dk1,2,3,4，I ycosxdxdy，则maxI

1k (A)I1 (B)I2 (C)I3 (D)I4【答案】 D2D4xf(xy)ycosxf(xyyI2I40D1,D3两区域关于y轴对称，而f(x,y)ycos(x)ycosxf(x,y)，即被积函数是关于x的偶函数，所以I12 ycosxdxdy0；(x,y)I3 (x,y)yx设函yfx在区间1,3上的图形xff1-O-123x则函Fx0ftdt的图形f1-f1-O123x-1

- -

f1-f1-O1231x

- -【答案】yf(xxyxx0所围的图形的代数面积为所求函数Fx)，从而可得出几个方面的特征：x0,1Fx0，且单调递减②x1,2Fx)单调递增PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 第-PAGE9-页共19页x2,3Fx)为常函数x10Fx0为线性函数，单调递增⑤由于F(x)为连续设有两个数列an,bn，若liman0n 当bn收敛时，anbn收敛 （B）当bn发散时，anbn发散 (C)当b收敛时，a2b2收敛 (D)当b发散时，a2b2 n

n

n【答案】举反例：（A）ab1)nn n11（B）取anbn1取

bn故答案为方法二：因为liman0,则由定义可知N1使得nN1an又因为

收敛，可得lim

0,则由定义可知N2nN2bnn从而，当nNN时，有a2b2b，则由正项级数的比较判别法可知a2b2收敛n n n设,3R3的一组基，则由基11 12,23,31 1

1 0

23

3

3 3 1 1 (C)

1

1 6

4

4 1 1 6

6 【答案】【解析】因为1,2,,n1,2,,nAA称为基1,2,,n到1,2,,n的过渡矩阵则由基,11到

,,的过渡矩阵M1223 ,,,1,1 12233 ,1,1

3

3 A 设A,B均为2阶矩阵，A,B分别为A,B的伴随矩阵，若A2,B3，则分块矩阵 3B* 2B*A B 2 O O 3A* 2A*C D O【答案】

OC【解析】根据CCCE，若CCC1C11C A 分块矩阵 O的行列式 O（1）AB236，即分块矩阵可 B A A A B1 1BB 6 6 O 0 O O A A 第-PAGE10-页共19页 1B 6 1

2B

O 故答案为

x12 ，其中x为标准正态分布函数，2 EX(A)0 【答案】x12 2 Fx0.3x0.7x12 2 xFxdx x0.35x1 EX

x 20.3xxdx0.35xx1

而xxdx0

2 xx1 x

22u1udu 2 2u

EX00.3520.7（8）设 量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N0,1，Y的概率分布 为 【答案】第-PAGE12-页共19页FZ(z)P(XYz)P(XYzY0)P(Y0)P(XYzY1)P(Y1[P(XYzY0)P(XYzY1)]1[P(X0zY0)P(XzY1)]X,Y

(z)1[P(X0z)P(Xz)]11（1）z0FZz211z0为间断点，故选二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上设函数fu,v具有二阶连续偏导数，zfx,xy，则xy xf"f 2 xf1f2yxyxf12f2yxf22xf12f2xyf22若二阶常系数线性齐次微分方程yayby0的通解为yCCxex，则非齐次方程 yaybyx满足条件y02,y00的解为y yxexx2yccx)ex，得1a2,b y''2y'yy*AxByAA2AAxB2B0,B 特解y*x y(c1c2x)exx把y(0) ，y'(0)0代入，得c10,c2yxexxLL

2，则xds 62【解析】由题意可知，xx,yx2,0x ，2dsx2y2dx 14x2dx所以xds

2x14x2dx1214x2d14x2L18

214x220

86设x,y,zx2y2z21，则z2dxdydz

4 z2dxdydz2dd12sin2cos2 2dcos2dcos1 2cos31d4 0 方法二：由轮换对称性可知z2dxdydzx2dxdydz z2dxdydz1x2y2z2dxdydz1d2d1r4sin 3 3 2sind1r4dr21sind 若3维列向量,满足T2其中T为的转置则矩阵T的非零特征值 【答案】【解析】T第-PAGE13-页共19页TT2 T的非零特征值为若XkS2为np2的无偏估计量，则k 【答案】【解析】XkS2np2的无偏估E(XkX2)npknp(1p)1k(1p)k(1p)pk（15（f(xyx22y2ylny的极值fx(x,y)2x(2y2)fy(x,y)2x2ylny11x0,yef2(2y2),f2x21,f 则f 12(21)，f 0，f exx(0,

yy(0,1e(0,e f0而f)2ff xxf(0,二元函数存在极小 11f(0, （16（an为曲线yxnyxn1n1,2所围成区域的面积，第-PAGE16-页共19页 S1anS2a2n1，求S1S2的值 yxn与y=xn+1x0x1所以

1(xnxn1)dx

1xn1

xn2)1 (

n

n

n

n 从而S1 an anlim( - ) ) N N N1N N N S2 a2n1 （ =（ ) n1 1由ln(1+x)=x-2

(n1)xnn

x12ln(2)1(111)12

1ln2x2y21x轴旋转而成，圆锥面S是过点4,017（ x2y2

求S1S2的方求S1与S2之间的体积 4

y23

1 过点4,0与 1的切线为y x2 所以Sy2z21x22 V32(4x2dx5.954 （18（证明拉格朗日中值定理：若函数fx在ab上连续，在(ab)可导，则存在a,b，使fbfafba证明：若函数fxx0处连续，在0,0内可导

fxAf0存在f0A【解析】（Ⅰ）作辅助函数(xfxf(a

f(b)fb

xa)，易验证(x)f(b)f(a(b(x在闭区间ab上连续，在开区间ab内可导，且xf'(x根据罗尔定理，可得在ab内至少有一点，使)0

b f'()f(b)f(a)0,f(b)f(a) b

0（Ⅱ）任取x0(0,，则函数f(x)满足：在闭区间0,x0上连续，开区间0,x0内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在x0,x00,，使得0f' f(x0)fx0

x0

……

f'xA，对上式（*式）两边取x00时的极限可得f'0x0

f(x0)f0x0

x0

f'()limf'0 x 0

) f(0)f(0)A （19（

xdydzydzdx3x2y2z23

，其中2x22y2z24的外侧xdydzydxdz

I

(x2y2z2

，其中

2yz y2z2 23/2) ,x(xyz (x2y2z2 x2z22 23/ ) 23/y(xyz (x2y2z2)5 x2y2 23/ ) 23/z(xyz (x2y2z2①+②+③=

)(x2y2z2

)y(x2y2z2

z(x2y2z2

):x2y2z2R2.0R1 xdydzydxdzzdxdy

xdydzydxdzzdxdy

34R3

(x2y2z2

R3

（20（ 设A 1

11 2 （Ⅰ）求A21的2.A231的所有向量23（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量23证明123无关

1 1 11

1

1 22 1 0 rA2故有一个自由变量x32Ax0x21x11x1x20x311 0 故2k110

，其中k1为任意常数A2

2 2 0 0 第-PAGE17-页共19页 01 A2,

0

2 2 0 x1A2x0x1,x12

12求特解200

故3k2100 0

，其中k2为任意常数

k212 12由于 2k1

2k1k2(2k11)(k22)2k1(k22)k2(2k11 故, 线性无关 （21）（11分）fxxxax2ax2a1x22xx2x 1 2f fy2