2021北京通州潞河中学高三（上）10月月考数学（教师版）

2021北京通州潞河中学高三（上）10月月考数学一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）若函数f（x）＝x2在区间[x0，x0+△x]上的平均变化率为k1，在区间[x0﹣△x，x0]上的平均变化率为k2，则（）A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1＝k2 D．k1与k2的大小关系与x0的取值有关2．（4分）已知角α的终边经过（3，﹣4），则tan（α﹣）＝（）A． B．﹣ C．7 D．﹣73．（4分）若α＝2，则（）A．sinα＞0且cosα＞0 B．sinα＞0且cosα＜0 C．sinα＜0且cosα＜0 D．sinα＜0且cosα＞04．（4分）若函数f（x）＝3sin（ωx+φ）对任意x∈R都有f（）（），则f（）＝（）A．3或0 B．﹣3或3 C．0 D．﹣3或05．（4分）设函数f（x）＝g（x）+x2，曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y＝2x+1（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（）A．4 B．﹣ C．2 D．﹣6．（4分）已知函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为4（3）＝﹣2，则f（2021）＝（）A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣47．（4分）已知函数f（x）＝3x+2cosx，若a＝f（32），b＝f（2），c＝f（log27），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a8．（4分）函数f（x）＝sin（x﹣），x∈[﹣π（）A． B． C． D．9．（4分）函数f（x）＝kx﹣lnx在[1，+∞）单调递增的一个必要不充分条件是（）A．k＞0 B．k＞1 C．k≥1 D．k＞210．（4分）函数在[﹣2，2]上的最大值为2（）A． B． C．（﹣∞，0] D．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）函数f（x）＝的定义域为．12．（5分）在△ABC中，已知BC＝8，AC＝5，则sinC＝．13．（5分）已知cosα＝，α∈（﹣，0），则sin＝．14．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2（x）为f（x）的导函数（x）的图象如图所示，则f（x）．15．（5分）已知函数f（x）＝xlnx+2+，g（x）＝﹣x2﹣bx﹣4，x＝是函数g（x），若对任意的x∈[e﹣1，1]，总存在唯一的x2∈（﹣∞，3），使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，共85分）16．已知函数f（x）＝ex﹣2x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的最小值．17．某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中2题才可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．（1）分别写出甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值；（2）试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成2题的概率方面比较两位考生的实验操作能力．18．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ），其中A＞0，0＜φ＜π，函数f（x），且在处取到最小值﹣2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将向左平移，得到函数g（x）图象（x）的单调递增区间；（3）若函数g（x）在内的值域为[﹣2，1]19．在下列3个条件中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题的解答．①2cosA（bcosC+ccosB）＝a；②；③（sinB+sinC）2﹣3sinBsinC＝sin2A中已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是，______．（1）若，求cosC；（2）求的最大值，以及此时的内角B20．已知函数f（x）＝axex﹣x2﹣2x．（1）曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣x；（2）当x＞0时，若曲线y＝f（x）在直线y＝﹣x的上方21．已知函数f（x）＝x3﹣x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅲ）设函数，x∈（0，π），试判断t（x），并证明你的结论．

2021北京通州潞河中学高三（上）10月月考数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．【分析】直接代入函数的平均变化率公式进行化简求解．【解答】解：∵函数y＝f（x）＝x2在x0到x3+△x之间的平均变化量为：△y＝f（x0+△x）﹣f（x0）＝（x4+△x）2﹣（x0）4＝△x（2x0+△x），∴k5＝＝2x0+△x，∵函数y＝f（x）＝x7在x0﹣△x到x0之间的平均变化量为：△y＝f（x8）﹣f（x0﹣△x）＝（x0）5﹣（x0﹣△x）2＝△x（4x0﹣△x），∴k2＝＝8x0﹣△x，∵k1﹣k2＝2△x，而△x＞04＞k2．故选：A．【点评】本题考查了函数的平均变化率的概念及求法，解答此题的关键是熟记概念，是基础题．2．【分析】利用任意角的三角函数的定义先求出tanα，再由两角和与差的正切公式即可求出答案．【解答】解：角α的终边上的点P（3，﹣4）．tan（α﹣）＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式的应用，考查计算能力，属于基础题．3．【分析】先根据2所属的范围的范围，判断出α＝2在第二象限，据三角函数的符号规则，判断出sinα，cosαd符号．【解答】解：∵∴α＝2在第二象限∴sinα＞0，cosα＜0故选：B．【点评】解决三角函数的符号问题，应该先判断出角所在的象限，再根据三角函数的定义及三角函数的符号规则得到结论．4．【分析】利用f（）＝f（），f（x）关于直线x＝对称，结合三角函数的对称性，即可得到结论．【解答】解：∵f（）＝f（），∴f（x）关于直线x＝对称∵函数f（x）＝3sin（ωx+φ）∴f（）＝﹣2或3故选：B．【点评】本题考查函数的对称性，考查三角函数的求值，确定函数的对称性是关键．5．【分析】欲求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率，即求f′（1），先求出f′（x），然后根据曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y＝2x+1求出g′（1），从而得到f′（x）的解析式，即可求出所求．【解答】解：f′（x）＝g′（x）+2x．∵y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y＝4x+1，∴g′（1）＝2，∴f′（1）＝g′（1）+7×1＝2+5＝4，∴y＝f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为7．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，属于基础题．6．【分析】根据题意，由函数的奇偶性和周期性可得f（2021）＝f（﹣3+2024）＝f（﹣3）＝﹣f（3），进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）的图象关于原点对称，f（x）的周期为4，则有f（2021）＝f（﹣3+2024）＝f（﹣5）＝﹣f（3），又由f（3）＝﹣2，则f（3）＝2，故f（2021）＝8；故选：A．【点评】本题考查函数奇偶性、周期性的性质应用，涉及函数值的计算，属于基础题．7．【分析】首先求出函数f（x）的导函数，进而得出函数f（x）的单调性，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：因为函数f（x）＝3x+2cosx，所以f'（x）＝2﹣2sinx＞0，所以函数f（x）在R上单调递增．因为log44＜log22＜log28，所以7＜log27＜7，所以2＜log27＜3＜37，所以f（2）＜f（log27）＜f（32），即b＜c＜a，故选：D．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，属中档题．8．【分析】由题意利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（x﹣），令2kπ﹣≤2kπ+≤x≤2kπ+，可得函数的增区间为[2kπ﹣，2kπ+]．根据x∈[﹣π，0]，6]，故选：D．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．9．【分析】由于函数f（x）＝kx﹣lnx在区间[1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，求出k的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断．【解答】解：∵函数f（x）＝kx﹣lnx在[1，+∞）单调递增，∴f′（x）＝k﹣≥4在[1，∴k≥，x∈[2，∴k≥1，∵{k|k≥1}⊊{k|k＞6}，∴函数f（x）＝kx﹣lnx在[1，+∞）单调递增的一个必要不充分条件是k＞0，故选：A．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，以及充分必要条件的应用，属于中档题．10．【分析】先画出分段函数f（x）的图象，如图．当x∈[﹣2，0]上的最大值为2；欲使得函数在[﹣2，2]上的最大值为2，则当x＝2时，e2a的值必须小于等于2，从而解得a的范围．【解答】解：先画出分段函数f（x）的图象，如图．当x∈[﹣2； 欲使得函数在[﹣5，则当x＝2时，e2a的值必须小于等于5，即e2a≤2，解得：a故选：D．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：x2﹣2x＞6，解得：x＞2或x＜0，故函数的定义域是（﹣∞，7）∪（2，故答案为：（﹣∞，0）∪（5．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．12．【分析】直接利用三角形的面积公式和三角函数的值的应用求出结果．【解答】解：在△ABC中，已知BC＝8，三角形面积为12，所以：，整理得：sinC＝．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：三角形的面积公式和三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．13．【分析】由已知可求范围∈（﹣，0），利用二倍角的余弦公式即可求解sin的值．【解答】解：因为cosα＝，α∈（﹣，所以∈（﹣，sin，.可得cosα＝＝3﹣2sin2，可得sin＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14．【分析】令g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，求出g（x）的导数，得到g（x）在R上单调递增，由g（﹣1）＝0，从而求出f（x）＞2x+4的解集．【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，∴g′（x）＝f′（x）﹣4，而f′（x）＞2，∴g′（x）＞0，∴g（x）在R上单调递增，∵g（﹣7）＝f（﹣1）﹣2×（﹣4）﹣4＝0，∴f（x）＞2x+4的解集是（﹣1，+∞），故答案为：（﹣4，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性，考察导数的应用，构造新函数g（x）是解题的关键，是一道基础题．15．【分析】求出f'（x），利用导数判断函数f（x）的单调性，求出f（x）的值域，然后利用极值的定义，求出b的值，再利用二次函数的性质求出g（x）的值域，将问题转化为两个值域之间的子集关系，列式求解即可．【解答】解：因为函数f（x）＝xlnx+2+，其中x＞2，则f'（x）＝lnx+1（x＞0），令f'（x）＞8，解得x＞e﹣1，所以当x∈[e﹣1，4]时，f（x）单调递增，当x∈[e﹣1，1]时，f（x）∈，因为g（x）＝﹣x2﹣bx﹣3，则g'（x）＝﹣2x﹣b，又x＝是函数g（x）的极值点，所以g'（）＝﹣3×，解得b＝﹣5，所以g（x）在（﹣∞，）上单调递增，+∞）上单调递减，且g（2）＝g（3）＝2，所以g（x）∈（﹣∞，4]，因为对任意的x∈[e﹣1，1]，总存在唯一的x2∈（﹣∞，3）1）＝g（x8）成立，则⊆（﹣∞，所以，解得a＜2．所以实数a的取值范围是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及函数的值域的应用，极值点的理解与应用，二次函数性质的应用，函数值域的求解，解题的关键是将问题转化为两个值域之间的子集关系，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．三、解答题（共6小题，共85分）16．【分析】（1）先求出导数，进而求出切点处的导数，然后利用点斜式求出切线方程；（2）求出导数，然后利用导数的零点、符号判断函数的极值、单调性，进而求出最值．【解答】解：（1）f′（x）＝ex﹣2，f（0）＝1，故切线方程为y﹣5＝﹣（x﹣0），即x+y﹣1＝3．（2）令f′（x）＝ex﹣2＝0，得x＝ln5，由f′（x）＜0得，x＜ln2，x＞ln7，故f（x）在（﹣∞，ln2）单调递减，+∞）上单调递增，故f（x）min＝f（ln2）＝eln3﹣2ln2＝3﹣2ln2．【点评】本题考查导数的几何意义、切线方程的求法，以及利用导数求函数的最值，属于基础题．17．【分析】（1）设考生甲，乙正确完成实验操作的题数分布为ξ，η，分别求出对应的分布列，再结合期望公式，即可求解．（2）分别求出甲，乙正确完成实验操作的题数的期望与方差，以及至少正确完成2题的概率，通过比较大小，即可求解．【解答】解：（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，5，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，故ξ的分布列为：ξ 1 2 5 P  故E（ξ）＝，设考生乙正确完成实验操作的题数为η，η～B（3，），P（η＝k）＝ （k＝0，5，2，故η的分布列为：η 0 2 2 3 P   故E（η）＝．（2）由（1）知，E（ξ）＝E（η），D（ξ）＝+，D（η）＝，P（ξ≥2）＝，P（η≥7）＝，故D（ξ）＜D（η），P（ξ≥2）＞P（≥2），故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当，甲的水平更稳定，甲提交通过的可能性更大，故甲的实验操作能力较强．【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望与方差公式，属于中档题．18．【分析】（1）直接利用函数的中心点的距离和函数的值的应用求出函数f（x）的解析式；（2）利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数g（x）的解析式，进一步求出函数的单调区间；（3）利用函数的定义域和值域的关系求出参数的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝Asin（ωx+φ），其中A＞0，0＜φ＜π，故ω＝4，由于在处取到最小值﹣8．所以+φ＝，由于0＜φ＜π，故φ＝，A＝2；故f（x）＝2sin（8x+）；（2）由（1）得：将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y＝4sin（2x+）的图象个单位；令：2kπ﹣π≤2x≤2kπ（k∈Z），整理得：（k∈Z），故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．（3）由（2）得：g（x）＝8cos2x，由于，则：，由于函数的值域为g（x）∈[﹣2，1]，故在x＝或时，函数取得最大值，当x＝时，函数取得最小值，故m的取值范围为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换和伸缩变换，参数的取值范围的确定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19．【分析】（1）选条件①时，直接利用三角函数关系式的变换和三角函数的值的应用求出A的值，进一步利用正弦定理和三角函数的关系式的变换的应用求出cosC，（2）利用（1）的结论和三角函数的关系式的变换，及正弦定理的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．（1）选条件②时，直接利用三角函数关系式的变换和三角函数的值的应用求出A的值，进一步利用正弦定理和三角函数的关系式的变换的应用求出cosC，（2）利用（1）的结论和三角函数的关系式的变换，及正弦定理的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．（1）选条件③时，直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出A的值，进一步利用正弦定理和三角函数的关系式的变换的应用求出cosC，（2）利用（1）的结论和三角函数的关系式的变换，及正弦定理的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】解：（1）选条件①时，2cosA（bcosC+ccosB）＝a；整理得：2cosA（sinBcosC+sinCcosB）＝sinA，整理得：5cosAsinA＝sinA，由于A∈（0，π），故A＝；选条件②时，；利用正弦定理：，所以：sin，（0），故A＝；选条件③时，由于（sinB+sinC）7﹣3sinBsinC＝sin2A，利用正弦定理整理得：b5+c2﹣a2＝bc，故cosA＝，由于A∈（8，π），所以A＝；由于a＝，b＝，利用正弦定理：，解得sinB＝，由于a＞b，所以cosB＝＝，故cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣（cosAcosB﹣sinAsinB）＝．（2）由正弦定理：b＝2sinB，c＝3sinC．故＝2（＝2，由于，故，当B＝时，取得最大值；此时B＝，C＝．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．20．【分析】（1）根据切点满足的条件（切点为曲线与切线的公共点，且切点处的导数为切线斜率），列出关于a的方程即可；（2）根据x＞0，结合不等式的性质，可将问题化为恒成立解决问题．【解答】解：（1）函数f（x）＝axex﹣x2﹣2x，故f′（x）＝aex（x+3）﹣2x﹣2，由曲线y＝f（x）在点（8，f（0））处的切线方程为y＝﹣x，得f′（0）＝a﹣2＝﹣1，解得a＝4．（2）当x＞0时，若曲线y＝f（x