(完整版)上海交通大学2008年振动力学期末考试试题

上海交通大学2008年振动力学期末考试试题第一题（20分）1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量m,匀质杆AB的质量m,长为L,12匀质轮0的质量m，弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为系统的静平衡位3置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标,在静平衡位置时y=0,此时系统的势能为零。AB转角：P=系统动能：11爲二存抵二舅"只詳二舅网）资在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：3系统势能:上式求导，得系统的微分方程为:

在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：3系统势能:上式求导，得系统的微分方程为:固有频率和周期为:2、质量为m的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A连在质量为m的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平弹簧相连；不计滑轮A,绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x=0,此时系统的势能为零。物体B动能：評轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为，角速度为，转0=——JC过的角度为。轮子动能:系统势能:在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有:=E上式求导得系统的运动微分方程：

固有频率为:固有频率为:第二题（20分）1、在图示振动系统中，重物质量为m,外壳质量为2m,每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x和x为广义12坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。解:解:系统为二自由度系统。当x1系统为二自由度系统。当x1=1,x2=0时，有：当x2=1,x2=1时，有：因此系统刚度矩阵为：k11=2k,k21=—2kk22=4k,k12=-2k系统质量矩阵为:系统动力学方程为:频率方程为:解出系统2个固有频率:

系统质量矩阵为:系统动力学方程为:频率方程为:解出系统2个固有频率:2、在图示振动系统中，物体A、B的质量均为m,弹簧的刚度系数均为k,刚杆AD的质量忽略不计，杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求：（1）以x和x为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；（2）系统的固有频率方程。12解:系统可以简化为二自由度振动系统，以物体A和B在铅垂方向的位移x和x为系统的广义坐标。12txl可求得:txl可求得:当X1=1,x2=0时，AD转角为B，两个弹簧处的弹性力分别为宓和2趣。对D点取力矩平衡，有：^1=另外有耳二-肚。同理，当x2=1,x2=1时,昌二！£，1^^-kL因此，系统刚度矩阵为：系统质量矩阵为:系统动力学方程为:频率方程为:即:=1,12解:(1)系统可以简化为二自由度振动系统。第三题(20分)在图示振动系统中，已知：物体的质量m、m及弹簧的刚度系数为k、k、气、气。(1)采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；(2)若k=k3=k=k,又k=2k,求系统固有频率；(3)取k=1,m=8/9,m=1,系统初始位移条件为x(6)=9和x(0)=0,初始速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。当x1=1,x2=0当x1=1,x2=0时,k11=k1+k2+k4,当x2=1,x2=1时,系统刚度矩阵为:有：k21=-k2有：k22=k2+k3,k12=-k2。因此,系统质量矩阵为:系统动力学方程为:⑵当％二禺二忑二垢，召=叫时，运动微分方程用矩阵表示为:频率方程为:主模态矩阵为:系统刚度阵:固有频率为:主质量阵:主刚度阵:模态空间初始条件:模态响应:因此有:第四题（20分）一匀质杆质量为m,长度为L,两端用弹簧支承，弹簧的刚度系数为k和k。12杆质心C上沿x方向作用有简谐外部激励金砒。图示水平位置为静平衡位置。（1）以x和旧为广义坐标，采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）取参数值为m=12,L=1，k=1，k=3,求出系统固有频率；（2）系统参数仍取12前值，试问当外部激励的频率❹为多少时，能够使得杆件只有旧方向的角振动,而无X方向的振动？解：（1）系统可以简化为二自由度振动系统，选X、q为广义坐标，X为质心的纵向位移，q为刚杆的角位移，如图示。当工二1、甘二0时：^1=11+^，当s时:\比*.1L2430*HoHhL12」(2)底昂129L=skhl1「12酋*^®^“s“欝“(3)4>尸糸*—£+笛—£eS+EZHI4—g-No-Ig*IBS鼻書Ho“4±令s=H(6)7）(6)7）4-1滴1一1l-o301-02由第二行方程，解得「1-1-02(4-12o5)-1,=-[(4-12ffi3)-g要使得杆件只有日方向的角振动，而无X方向的振动，则需元“，因此倍=1。第五题（20分）如图所示等截面悬臂梁，梁长度为L，弹性模量为E，横截面对中性轴的惯性矩为I，梁材料密度为化在梁的曲位置作用有集中载荷讯幻。已知梁的初始条件为：血❾二£（耳，砥可二焉（为。（1）推导梁的正交性条件；⑵写出求解梁的响应验◎的详细过程。（假定已知第i阶固有频率为％相应的模态函数为軌耳，心1~巧提示：梁的动力学方程为：M刖=zuo,其中码，百为函数。提示：梁的动力学方程为：M刖=zuo,其中码，百为函数。（1）梁的弯曲振动的动力学方程为:血◎可写为:jUO=輒功贰0=輒功。现建阿代入梁的动力学方程，有：

设与％气对应有聘、克，有:(2)式（1）两边乘以巧并沿梁长对疋积分，有:(3)利用分部积分，上式左边可写为:（4）由于在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零，所以，上式右边第一、第二项等于零，成为：将上式代入（3）中，有:式（2）乘够并沿梁长对工积分，同样可得到:由式（5）、⑹得:如果2丿时，叫则有:（8）上式即梁的主振型关于质量的正交性。再由（3）及（6）可得:当心丿上两式即梁的主振型关于刚度的正交性。当心丿时，式（7）总能成立，令：1声無詡亶M廟、召即为第j阶主质量和第j阶主刚度。吩