(完整版)初中数学最短路径问题典型题型及解题技巧

（完整版）初中数学［最短路径问题］典型题型及解题技巧分析:解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答.解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽,・•・长为2+0°2X2=2。4米；宽为1米.于是最短路径为：池牡+1旷2.60米.占P八、、I占、、、例：如图，AB为直径，AB=2,OC为半径，0C丄占P八、、I占、、、为0C上的动点，求AP+PD的最小值。分折：作D关于0C的对称点D',于是有PA+PD'MAD'（当且仅当P运动到P处，等号成立，易求AD'二打.o六、在圆锥中，可将其侧面展开求出最短路程将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案例：如图，一直圆锥的母线长为QA=8,底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是（结果保留根式）弧所对的弦长,小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长,根据题意可得出：2nr二n.n。0A，/180则，则nXnX82XnX2=，180解得：n=90°.由勾股定理求得它的弦长AA一、题中出现一个动点.当题中只出现一个动点时，可作定点关于动点所在直线的对称点，利用两点之间线段最短，或三角形两边之和小于第三边求出最值.例：如图，在正方形ABCD中，点E为AB上一定点，且BE=10，CE=14，P为BD上一动点，求PE+PC最小值。分析：作E关于BD对称点E'E'在AB上,有PE+PC二PE'+PCME'C易求E'C=26。二、题中出现两个动点。当题中出现两个定点和两个动点时，应作两次定点关于动点所在直线的对称点。利用两点之间线段最短求出最值。例：如图，在直角坐标系中有四个点，A(—8,3),B(-4,5)C(O,n)，D(m，0)，当四边形ABCD周长最短时，求m。n分折：因AB长为定值，四边形周长最短时有BC+CD+DA最短，作B关于y轴对称点B',A关于x轴对称点A',DA+DC+BC二DA'+DC+B'CMB'A'（当D，C运动到AB和x轴2777mxy轴的交点时等号成立)，易求直线A'B'解折式y二3+3,C0(0,3)，D0(一2，0),此时n=三、题中出现三个动点时。在求解时应注意两点：(1)作定点关于动点所在直线的对称点，B(2)同时要考虑点点，点线，线线之间的最短问题.B例：如图，在菱形ABCD中，AB=2，ZBAD=60,E，F,P分别为AB，BC,AC上动点，求PE+PF最小值（完整版）初中数学［最短路径问题］典型题型及解题技巧分折：作E关于AC所直线的对称点E',于是有，PE+PF二PF+PE'ME'F,又因为E在AB上运动，故当EF和AD,BC垂直时，E0F最短，易求EOF二『3.B例：如图，ZA0B=45，角内有一动点P,PO=1O,在AO,BO上有两动点Q,R,求APOR周长的最小值。B分折：作P关于OA,OB对称点P1,P2。于是有PQ+QR+PR二QP1+QR+RP2MP1P2,由对称性易知AP1OP2为等腰RTA,OP=OP1=OP2=1O,P1P2=10"2总之，在这一类动点最值问题中，关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称点。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。1、运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同.注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问.2、利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决.解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零,转