高考文科数学一轮复习课件-第一课时-导数与函数的单调性

第11节导数在研究函数中的应用第11节导数在研究函数中的应用1.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).3.会利用导数解决实际问题.[考纲展示]极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数知识链条完善把散落的知识连起来知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y=f(x)在某个区间内可导,则(1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内

;(2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内

;(3)若f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是

.2.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值

,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧

,右侧

,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.单调递增单调递减常数函数都小f′(x)<0f′(x)>0知识链条完善把散落的知识连起来(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值

,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧

,右侧

,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.(3)求可导函数极值的步骤①求导数f′(x);②求方程f′(x)=0的根;③列表,检验f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的符号(判断y=f(x)在根左右两侧的单调性),如果左正右负(左增右减),那么f(x)在这个根处取得

.如果左负右正(左减右增),那么f(x)在这个根处取得

.如果左右两侧符号一样,那么这个根不是极值点.都大f′(x)>0f′(x)<0极大值极小值(2)函数的极大值与极大值点都大f′(x)>0f′(x)<03.函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条

的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤①求函数y=f(x)在(a,b)内的

;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中

的一个是最大值,

的一个是最小值.4.生活中的优化问题导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大、用料最省、效率最高等问题中,解决这类问题的关键是建立恰当的数学模型(函数关系),再利用导数研究其单调性和最值,解题过程中要时刻注意实际问题的意义.连续不断极值最大最小3.函数的最值与导数的关系连续不断极值最大最小【重要结论】1.函数f(x)在区间(a,b)上递增,则f′(x)≥0,“f′(x)>0在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x),“f′(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.【重要结论】1.函数y=x-ex的单调递减区间为(

)(A)(-∞,0) (B)(0,+∞)(C)[1,+∞) (D)(1,+∞)解析:y′=1-ex<0,所以x>0.对点自测B1.函数y=x-ex的单调递减区间为()解析:y′2.函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f′(x)的图象可能是(

)解析:由函数f(x)的图象可知,f(x)在(-∞,0)上单调递增,f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以在(-∞,0)上f′(x)>0,在(0,+∞)上f′(x)<0.选项D满足.D2.函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f′(x)的图象可3.(教材改编题)函数f(x)=2x-xlnx的极大值是(

)解析:因为f′(x)=2-(lnx+1)=1-lnx,当f′(x)>0时,解得0<x<e;当f′(x)<0时,解得x>e,所以x=e时,f(x)取到极大值,f(x)极大值=f(e)=e.C3.(教材改编题)函数f(x)=2x-xlnx的极大值是(答案:(-∞,0]4.若函数f(x)=lnx-ax在区间(1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是

.

答案:(-∞,0]4.若函数f(x)=lnx-ax在区间5.给出下列命题:①f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件;②函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的;③函数的极大值不一定比极小值大;④对可导函数f(x),f′(x0)=0是x=x0为极值点的充要条件;⑤函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.其中正确的是

.

答案:③⑤5.给出下列命题:答案:③⑤第一课时导数与函数的单调性第一课时导数与函数的单调性专题概述高考对此内容的考查,主要是利用导数求函数的单调区间,由函数的单调性求参数(范围),或讨论函数的单调性,既有小题,也有解答题(其中一问),难度中档偏上.专题概述考点专项突破在讲练中理解知识考点一求函数的单调区间(典例迁移)【例1】已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-处取得极值.(1)确定a的值;考点专项突破在讲练中理解知识(2)若g(x)=f(x)ex,求函数g(x)的单调减区间.(2)若g(x)=f(x)ex,求函数g(x)的单调减区间.高考文科数学一轮复习课件——第一课时-导数与函数的单调性高考文科数学一轮复习课件——第一课时-导数与函数的单调性反思归纳(1)求函数单调区间的步骤:①确定函数f(x)的定义域;②求f′(x);③在定义域内解不等式f′(x)>0,得单调递增区间;④在定义域内解不等式f′(x)<0,得单调递减区间.(2)若所求函数的单调区间不止一个时,这些区间不能用“∪”及“或”连接,只能用“,”“和”隔开.反思归纳高考文科数学一轮复习课件——第一课时-导数与函数的单调性(2)求函数f(x)的单调区间.(2)求函数f(x)的单调区间.考点二证明(判断)函数的单调性【例2】

已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x其中参数a≤0.讨论f(x)的单调性.解:函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),且a≤0.f′(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)上单调递增.考点二证明(判断)函数的单调性解:函数f(x)的定义域为(反思归纳(1)①研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.②划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.(2)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如f(x)=x3,f′(x)=3x2≥0(f′(x)=0在x=0时取到),f(x)在R上是增函数.反思归纳【跟踪训练2】

已知函数f(x)=lnx+a(1-x),讨论f(x)的单调性.【跟踪训练2】已知函数f(x)=lnx+a(1-x),讨考点三导数在函数单调性中的应用(多维探究)考查角度1:由单调性理解导函数图象【例3】

(2017·江西临川模拟)如果函数y=f(x)的图象如图所示,那么导函数y=f′(x)的图象可能是(

)考点三导数在函数单调性中的应用(多维探究)解析:如图,由y=f(x)图象知,当x<x1时,f(x)单调递增,故f′(x)>0;当x1<x<0时,y=f(x)单调递减,故f′(x)<0;在x=0处,y=f(x)的切线与x轴平行,故f′(0)=0;在0<x<x2时,y=f(x)单调递增,故f′(x)>0;当x>x2时,y=f(x)单调递减,故f′(x)<0.综上可知,A项符合题意.故选A.解析:如图,由y=f(x)图象知,反思归纳导函数f′(x)图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象上升部分对应的区间(递增区间),导函数f′(x)图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象下降部分对应的区间(递减区间).反思归纳【跟踪训练3】(2017·浙江卷)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(

)【跟踪训练3】(2017·浙江卷)函数y=f(x)的导函数解析:观察导函数f′(x)的图象可知,f′(x)的函数值从左到右依次为小于0,大于0,小于0,大于0,所以对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增.观察选项可知,排除A,C.如图所示,f′(x)有3个零点,从左到右依次设为x1,x2,x3,且x1,x3是f(x)的极小值点,x2是极大值点,且x2>0,故选项D正确.故选D.解析:观察导函数f′(x)的图象可知,f′(x)的函数值从左高考文科数学一轮复习课件——第一课时-导数与函数的单调性高考文科数学一轮复习课件——第一课时-导数与函数的单调性(2)(2018·沈阳质检)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(

)(A)(-1,1) (B)(-1,+∞)(C)(-∞,-1) (D)(-∞,+∞)(2)(2018·沈阳质检)函数f(x)的定义域为R,f(-反思归纳(1)利用导数比较大小,其关键在于利用题目条件构造辅助函数,把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,进而根据单调性比较大小.(2)某些不等式的求解,常构造函数,利用导数研究函数的单调性,再由单调性解不等式.反思归纳高考文科数学一轮复习课件——第一课时-导数与函数的单调性高考文科数学一轮复习课件——第一课时-导数与函数的单调性(2)是否存在实数a,使函数g(x)=f(x)-ax在(0,+∞)上单调递增?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.(2)是否存在实数a,使函数g(x)=f(x)-ax在(0,高考文科数学一轮复习课件——第一课时-导数与函数的单调性反思归纳(1)已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0),x∈(a,b)恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f′(x)=0在(a,b)上有解.反思归纳高考文科数学一轮复习课件——第一课时-导数与函数的单调性高考文科数学一轮复习课件——第一课时-导数与函数的单调性(2)(2018·龙泉二中)若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是(

)(A)(-∞,-3]∪[-1,1]∪[3,+∞) (B)不存在这样的实数k(C)(-2,2) (D)(-3,-1)∪(1,3)解析:(2)因为f(x)=x3-12x,所以f′(x)=3x2-12,令f′(x)=0,解得x=-2或x=2,即函数f(x)=x3-12x的极值点为±2,若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则-2∈(k-1,k+1)或2∈(k-1,k+1),解得-3<k<-1或1<k<3.故选D.(2)(2018·龙泉二中)若函数f(x)=x3-12x在区备选例题备选例题高考文科数学一轮复习课件——第一课时-导数与函数的单调性高考文科数学一轮复习课件——第一课时-导数与函数的单调性高考文科数学一轮复习课件——第一课时-导数与函数的单调性高考文科数学一轮复习课件——第一课时-导数与函数的单调性高考文科数学一轮复习课件——第一课时-导数与函数的单调性高考文科数学一轮复习课件——第一课时-导数与函数的单调性(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围.(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递高考文科数学一轮复习课件——第一课时-导数与函数的单调性点击进入应用能力提升点击进入应用能力提升第11节导数在研究函数中的应用第11节导数在研究函数中的应用1.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).3.会利用导数解决实际问题.[考纲展示]极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数知识链条完善把散落的知识连起来知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y=f(x)在某个区间内可导,则(1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内

;(2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内

;(3)若f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是

.2.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值

,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧

,右侧

,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.单调递增单调递减常数函数都小f′(x)<0f′(x)>0知识链条完善把散落的知识连起来(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值

,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧

,右侧

,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.(3)求可导函数极值的步骤①求导数f′(x);②求方程f′(x)=0的根;③列表,检验f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的符号(判断y=f(x)在根左右两侧的单调性),如果左正右负(左增右减),那么f(x)在这个根处取得

.如果左负右正(左减右增),那么f(x)在这个根处取得

.如果左右两侧符号一样,那么这个根不是极值点.都大f′(x)>0f′(x)<0极大值极小值(2)函数的极大值与极大值点都大f′(x)>0f′(x)<03.函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条

的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤①求函数y=f(x)在(a,b)内的

;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中

的一个是最大值,

的一个是最小值.4.生活中的优化问题导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大、用料最省、效率最高等问题中,解决这类问题的关键是建立恰当的数学模型(函数关系),再利用导数研究其单调性和最值,解题过程中要时刻注意实际问题的意义.连续不断极值最大最小3.函数的最值与导数的关系连续不断极值最大最小【重要结论】1.函数f(x)在区间(a,b)上递增,则f′(x)≥0,“f′(x)>0在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x),“f′(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.【重要结论】1.函数y=x-ex的单调递减区间为(

)(A)(-∞,0) (B)(0,+∞)(C)[1,+∞) (D)(1,+∞)解析:y′=1-ex<0,所以x>0.对点自测B1.函数y=x-ex的单调递减区间为()解析:y′2.函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f′(x)的图象可能是(

)解析:由函数f(x)的图象可知,f(x)在(-∞,0)上单调递增,f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以在(-∞,0)上f′(x)>0,在(0,+∞)上f′(x)<0.选项D满足.D2.函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f′(x)的图象可3.(教材改编题)函数f(x)=2x-xlnx的极大值是(

)解析:因为f′(x)=2-(lnx+1)=1-lnx,当f′(x)>0时,解得0<x<e;当f′(x)<0时,解得x>e,所以x=e时,f(x)取到极大值,f(x)极大值=f(e)=e.C3.(教材改编题)函数f(x)=2x-xlnx的极大值是(答案:(-∞,0]4.若函数f(x)=lnx-ax在区间(1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是

.

答案:(-∞,0]4.若函数f(x)=lnx-ax在区间5.给出下列命题:①f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件;②函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的;③函数的极大值不一定比极小值大;④对可导函数f(x),f′(x0)=0是x=x0为极值点的充要条件;⑤函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.其中正确的是

.

答案:③⑤5.给出下列命题:答案:③⑤第一课时导数与函数的单调性第一课时导数与函数的单调性专题概述高考对此内容的考查,主要是利用导数求函数的单调区间,由函数的单调性求参数(范围),或讨论函数的单调性,既有小题,也有解答题(其中一问),难度中档偏上.专题概述考点专项突破在讲练中理解知识考点一求函数的单调区间(典例迁移)【例1】已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-处取得极值.(1)确定a的值;考点专项突破在讲练中理解知识(2)若g(x)=f(x)ex,求函数g(x)的单调减区间.(2)若g(x)=f(x)ex,求函数g(x)的单调减区间.高考文科数学一轮复习课件——第一课时-导数与函数的单调性高考文科数学一轮复习课件——第一课时-导数与函数的单调性反思归纳(1)求函数单调区间的步骤:①确定函数f(x)的定义域;②求f′(x);③在定义域内解不等式f′(x)>0,得单调递增区间;④在定义域内解不等式f′(x)<0,得单调递减区间.(2)若所求函数的单调区间不止一个时,这些区间不能用“∪”及“或”连接,只能用“,”“和”隔开.反思归纳高考文科数学一轮复习课件——第一课时-导数与函数的单调性(2)求函数f(x)的单调区间.(2)求函数f(x)的单调区间.考点二证明(判断)函数的单调性【例2】

已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x其中参数a≤0.讨论f(x)的单调性.解:函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),且a≤0.f′(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)上单调递增.考点二证明(判断)函数的单调性解:函数f(x)的定义域为(反思归纳(1)①研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.②划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.(2)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如f(x)=x3,f′(x)=3x2≥0(f′(x)=0在x=0时取到),f(x)在R上是增函数.反思归纳【跟踪训练2】

已知函数f(x)=lnx+a(1-x),讨论f(x)的单调性.【跟踪训练2】已知函数f(x)=lnx+a(1-x),讨考点三导数在函数单调性中的应用(多维探究)考查角度1:由单调性理解导函数图象【例3】

(2017·江西临川模拟)如果函数y=f(x)的图象如图所示,那么导函数y=f′(x)的图象可能是(

)考点三导数在函数单调性中的应用(多维探究)解析:如图,由y=f(x)图象知,当x<x1时,f(x)单调递增,故f′(x)>0;当x1<x<0时,y=f(x)单调递减,故f′(x)<0;在x=0处,y=f(x)的切线与x轴平行,故f′(0)=0;在0<x<x2时,y=f(x)单调递增,故f′(x)>0;当x>x2时,y=f(x)单调递减,故f′(x)<0.综上可知,A项符合题意.故选A.解析:如图,由y=f(x)图象知,反思归纳导函数f′(x)图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象上升部分对应的区间(递增区间),导函数f′(x)图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象下降部分对应的区间(递减区间).反思归纳【跟踪训练3】(2017·浙江卷)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(

)【跟踪训练3】(2017·浙江卷)函数y=f(x)的导函数解析:观察导函数f′(x)的图象可知,f′(x)的函数值从左到右依次为小于0,大于0,小于0,大于0,所以对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增.观察选项可知,排除A,C.如图所示,f′(x)有3个零点,从左到右依次设为x1,x2,x3,且x1,x3是f(x)的极小值点,x2是极大值点,且x2>0,故选项D正确.故选D.解析:观察导函数f′(x)的图象可知,f′(x)的函数值从左高考文科数学一轮复习课件——第一课时-导数与函数的单调性高考文科数学一轮复习课件——第一课时-导数与函数的单调性(2)(2018·沈阳质检)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(

)(A)(-1,1) (B)(-1,+∞)(C)(-∞,-1) (D)(-∞,+∞)(2)(2018·沈阳质检)函数f(x)的定义域为R,f(-反思归纳(1)利用导数比较大小,其关键在于利用题目条件构造辅助函数,把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,进而根据单调性比较大小.(2)