(精选)高等代数与解析几何第七章(1-3习题) 线性变换与相似矩阵答案

第七章线性变换与相似矩阵习题7.1习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？（1）设0是线性空间/中的一个固定向量，（I）b（型=戸+4,灯①迂厂，解：当"。时，口〔出二戸+◎二①显然是厂的线性变换；当£hO时，有口〔斫+二0+坷十碍，口〔马）+卫叩二20+仗］+马，则口（％+町疋皿对+E：隔），即此时b不是匕的线性变换。（II）匸（氐）二0，可①丘厂；解：当0=0时，"型=0=0显然是厂的线性变换；当0hO时，有£（珂+%）=0，匸〔畸+匸血）二20，则Tg+虬）HT（%）+T（町，即此时書不是厂的线性变换。（2）在芒中，（I）丸忌也內）=（兀1內亠並內），解：b不是臣的线性变换。因对于g=（1Q0疋疋，有*⑵二（屯恥），迥⑵二（2Q0），所以久加）工归㈤。（［［）优珂心宀）『=（绍一珂）丁；解：是疋的线性变换。设廿企能芒，其中口=（心入卫/',，=佃必必）『,贝y有匸（耳）+匸（戸）=31—心心+花2珂广+（幼—戸化+比力1；/=（N珂+乃）一（心+戸），（也斗丹）4（也+忙）2（可+戸））『二讥珂十”心十必，蚣十乃）二讥①十A），£（去住）=,上毛）=一,氐吨+上亟2上珂）『=k（2込-j2?x2-I-x3?2^L）r=比丁（②。（3）在月［刘中，（I）□孑〔©）二了仗+1）,解:是F［刘的线性变换：设Wgg哂，贝I」□1丁（工）+呂（工）〕二子（卄1）+呂（工+»二疋（功+龙S）,口财（©〕二好（工+1）二畑/（©）,y仁F。（［［）〔对）二了（心），其中呵是F中的固定数；解：口是鬥兀］的线性变换：设即®已恥］，贝I」口GV）十沙））二了（咖十期）二％了（工））十应或对），口（呼⑴二VK）二ka（J（M，论訂。（4）把复数域0看作复数域上的线性空间，久方二z，其中臣是£的共轭复数；解：b不是线性变换。因为取直=匸，—1时，有％呦=加・，加®）=臣凉=』，即H更口®）。（5）在陆（巧中，设尸与0是其中的两个固定的矩阵，口㈤二E电，解：口是陆（眄的线性变换。对州兀丘陆国），赧訂，有站+兀）二代禺+兀疋二刊&+啓衣二吨+吟，cKfiX）=PCJ^）Q=饥PX0=遇虬。习题7.1.2在臣中，取直角坐标系◎-今0以宛表示空间绕6轴由③轴向化方向旋转900的变换，以月表示空间绕0轴由化轴向处方向旋转900的变换，以尽表示空间绕％轴由处轴向內方向旋转900的变换。证明RH"（表示恒等变换），啕二翠；并说明迟歸=疋用是否成立。证明：在矿中任取一个向量。二（兀”刃，则根据览，耳及&的定义可知：兔◎二（兀w），R尸二匕*7），Rsa=（-y,Xr2）；R^=（x-y-2'），氏診二（一兀，氏:—（-.-”£）；疋吐（兀”毋，瑁吐（兀”工），氏；密二（兀乳工），即氏严二&民二氏二a，故念二鸟二尽二凸。因为（乞綽盘=瓦鸟唐戶R左小—对=〔號旳，鶴即皆&毘閒二Ry（x-z,y）=S-F），所以尺尽H去禺。因为（疋璋旭二冷用②二应;（-兀二刃，（此陣疋二代农②二二〔-兀-》②，所以代鳶二用尿。因为（尽缔）％二&尽X〔丘尽）©二（広號（乙工J）二4比町，（疋幼心=用代②=疋〔-凡儿-刃=（-『-y,刃，所以（&R诊毛昭首。习题7.1.3在刃［工〕中，灯（切二八工），心（力〉二灯（工），证明阿-何二E。证明：在鬥工］中任取一多项式丁（幼，有5-◎㈣=（ot）/（x）-（w）/S=（啲（劝-frtqfW）二贰灯⑺-二阿+龙①-#（©二畑。所以阿-何=E。习题7.1.4设^，£是*上的线性变换。若仇-be，证明扌兀一習出二（比n1）证明：用数学归纳法证明。当血=2时，有亍£一&二戌眄-心二CT（TCT+F）-TCS2-（E7-诃口+口二D二b+iT二2a命题成立。假设等式对丘成立，即氏-心=*'。下面证明等式对疋+1也成立。因有=£7（十巧-伉*+1=口（归丁I+Tb》-心+1=kh+（口T-TCrjh=心+2=冲0，即等式对上+1也成立，从而对任意自然数都成立。习题7.1.5证明（1）若b是/上的可逆线性变换，则b的逆变换唯一；（2）若b，石是/上的可逆线性变换，则兀也是可逆线性变换,且（呦丿二广灯"。证明：（1）设近厲都是b的逆变换，则有叭二昭二J吒卡”耳。进而珂二可&二爲（匹）二（來^用二孑込二可。即b的逆变换唯一。（2）因石都是/上的可逆线性变换，则有（曲（戶于1）二erfTr1）^--1二二£■，同理有（尸丁［）（旳二T_L（Cr_1£T）T二t~、£二E由定义知兀是可逆线性变换，Lb"为兀逆变换，有唯一性得（吋1二LG"。习题7.1.6设b是茁上的线性变换，向量心，且盘，b（Q，只②,…，严閃都不是零向量，但出㈣二0。证明盘，EQ，只②，■-严②线性无关。证明：设址+匚叽②+…+如尸㈡二。，依次用出巴R巳…o可得十1（胆+匚6閃+…+珀才1（閒2产1（02。，得I】十T⑵二o,而产Y②工o,故占二。；同理有：十弋匚叽②+…+4产@））二产述）二o,得/2^-\^=0,即得^=0；依次类推可得―…二S，即得^_1（^=0，进而得心二。。有定义知盘，EQ,Kg,•「占-弋②线性无关。习题7.1.7设b是*上的线性变换，证明b是可逆线性变换的充要条件为口既是单射线性变换又是满射线性变换，即b是一一变换。证明：（二〉已知b是可逆线性变换，即存在于】。若氓对二6丐），则两端用丁】作用即得说二码，因此L是单射线性变换。若任取毗卩，则存在丁乜t，使得贸m，即b是满射线性变换。（=〉已知既是单射线性变换又是满射线性变换，即双射。现定义新的变换：科已^，定有⑴丘矿，且有疔（的二0，规定吒◎二比，有氐脚二昭二p，同时有心劝二式为二厘，即有皿二何二e。由定义知B是可逆线性变换。习题7.1.8设L是厂上的线性变换，证明（1）l是单射线性变换的充要条件为血2二何；（2）B是单射线性变换的充要条件为L把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。证明：（1）（二〉已知b是单射线性变换，对V^ekera，则有EM=O=E。〕，由单射得or=0，即展2=｛0｝。已知二｛0｝，若S珀二氏、竝，则有口（％-说）二°，得还-岂巨也p二｛0｝，即得遹二说，故是单射。（2）（二〉已知口是单射线性变换。设陰①…心线性无关，现证…,CT（屯）也线性无关。令俎口（％）十焉卫屯”…十5筈）二°,整理有卫验爲十妨％十…十兀匹）二0,而b是单射，有俎场十魁禺十…十忍％二0,已知两'％….％线性无关，所以禺二忍二…乂二0，故WE%），…,EA）也线性无关。（=〉已知"把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。若g）二心灼，则有^-^）=0,并一定有％-喝二0。否则若场-隔H0，则说明向量丐-也线性无关，而b協-岂）二0表示口把线性无关的向量组变为线性相关的向量组，与条件矛盾。而由％-出二0可得遹二岂，即b是单射线性变换。习题7.1.9设也©是£0們中全体可逆线性变换所成的子集，证明点巧关于线性变换的乘法构成一个群。（超范围略）习题7.1.10设巧，6是厂上的线性变换，且于二叶曲二6证明（1）若⑷+二巧+6，则巧玉二°；（2）若巧込二巧巧，贝y〔还+还一还听『二込+6—込听。证明：（1）因为卅二叶曲二巧，締+6『二听+6。所以卬+5二（巧十丐『二&!+巧壬+壬巧十房二q+巧円+・河+巧，从而巧6+6斫二0或巧6二-6巧。又因为龙还円=巧口2+巧5二—円巧=于212曲=于5+硏5巧二巧（还5+五巧）二”0二0。故叽二0。（2）因为b二叶E二円，巧込二5巧，所以〔还+还—伍口2）'=（巧+£-巧壬）（斫+込-巧巧）—于+巧5—巧巧巧+5巧+曲一6巧巧-56巧-巧66+56巧£二斫+壬巧+巧—巧壬—口2巧—口1口2+巧口2二巧+込—巧巧。习题7.1.11设茁与册分别是数域F上的母维与陀维线性空间，爲,禺,…心是厂的一个有序基，对于阳中任意幵个向量久禺…虫，证明存在唯一的线性映射吓T瞬，使碗⑧#，」二12…化证明：先证明存在性。对任意的REF，盘有唯一的线性表达式◎=眄说+盹说兀％我们定义曲田二工1A十兀屁…十％0*显然有e（堆）=0，1二12…严。现验证卩为*到陪的一个线性映射。（1）对任意的向量"戸场十兀％…十冷耳E产，因为o■十0二（可十冋）场十兀十丹）禺…十（耳十几）岂，由定义得碗o■十罚二（珂十乃）A十（心十乃怡…十（耳十兀）轴=（X煜十心爲…十耳A）十Ch煜十兀易…十片A）二咖+贰Q。（2）对任意的疋訂，因为也二（X）%十（S）%…十QJ%，由定义得血也）二矩站十（陇）厲…十仕皿二肌朋十冷禺…十％滋）二切S）。所以卩为厂到网的一个线性映射。再证唯一性：若另有*到陪的一个线性映射附，也使得则对任意向量氐二工a十心屯…十耳％，—定有0（閃=比肛斶）十矶呎笑）…+耳肌％）=兀煜十兀禺％戌=眞②。由盘在厂中的任意性，可得卩=0。习题7.1.12设*与呼分别是数域F上的母维与陀维线性空间，瞬是线性映射。证明血呻是*的子空间，厉是陪的子空间。又若伽卩有限，证明dimkM甲+dim沖）二dimF。这时称dimker^为卩的零度，称心口沖）为卩的秩。证明：（1）先证展叩与佩◎分别为卩与呼的子空间，对氓/eF，W碍0巨険广毋，有贰七二必讽②十』庶历二机+血二0，所以也+塑巨血吓，故血呻为厂的子空间；同理，对和已F，v碍*沖），贝则九;#羽，使期）二任，能XE，所以七口■+坯二女P（出）+/卩（尸）二於出+!0）亡卩（P）所以侃◎为險的子空间.（2）再证dimker^+dim^xj7）=diml^因血厂有限，不妨设血卩=起，dimk廿卩二r，在也甲中取一个基遹心…心，再把它扩充为厂的一个基还心，…伴珀…心，则J帆碍J…g）是像空间詆◎的一个基.事实上，对加已巧，存在曲刃，使得―沁门。设出二珂马十心屯十…十心丐十為角+］十…+xA，则有◎二卩⑥）二航可遍十心禺十…十心碍十昭1碍十1十…十心丐）=兀就斶）十显理）十…十曲©十為］疑务十］）十…十曲心二心1喷鷄G+…+忌喷碍）即贰巾中的任意向量都可由酬碍丿…皿阳线性表示。现证向量组贰碍丿…曲弘）线性无关：设J夙省+1）十…十心殒曲二0,有就J角+1十…十总丐）二0，即匕+1碍+1十…十此毎丘庇!■©，所以向量&+G+1十…十妇聲可由向量组兀％…心线性表示，进而有&十1碍十1"I'十&您=妬羽+鸟遹+…+此碍，整理有俎还+焉说+…+匕舛■-初十1碍十1&%=0，又因比备…心心川…心线性无关，所以必有^=0e=^l-^），因此凤g…g）线性无关，即曲丐J…皿务）为贰◎的一个基，故dimk盯卩+dim-pj7）二问二diml^。习题7.1.13证明以只叫关于定义7.1.12中所定义的线性映射的加法与数量乘法构成F上的一个线性空间。证明：现证明定义7.1.12中所定义的线性映射的加法严归与数量乘法力卩都是从厂到网的线性映射。事实上，对血/羽，讹訂，有（卩+0）⑥+Q二且住+0）十虹氐+Q二奴氐）+奴向+汎氐）+虹罚（卩+0）（畑）-疏上⑵+呎点⑵-走炉⑵+巩住））二七（卩+0）@）故严归为卩到宵的线性映射。同理，对血川刃，机迂月，有仗妙Q二如＜住+®二忒翻+队芮）二念轲£+诙卩）3））,（七②（加）二片卩（加）二hlg^o）二Ikq^a）二/破卩）（氐）,故直労为厂到阳的线性映射。另外线性映射的加法严少与数量乘法绅显然满足：（1）结合律：矽+3+Q=（＞+0）+q；（2）交换律：卩+0=0+©；（3）存在零线性映射£,对弋仟谭阿），有卩+6■二化（4）对如"亿巧，有负线性映射-产谭阿），使得严+（-卩）二&；（5）如二卩；（6）（尿妙二双S）；（7）（上+0卩二切+坤；（8）帆炉+妙=加+占0。其中族丿丘戸，V^0,qe丄亿眄所以上（几巧关于定义7.1.12中所定义的线性映射的加法与数量乘法构成F上的一个线性空间。习题7.1.14证明：岀m丄亿巧二（clinny）（出mJT）。证明：设厂为璋维线性空间，草为陀维线性空间，即航卩二旳，血炉=喘。取定卩的一组基耳吟…耳和取的一组基环傢…总。令护为＜承7叭）到M祝曲（月）的如下映射:贰①二人，其中卫为b在基比巴厂与基久伐'…‘厲下的矩阵。这样定义的卩是%亿眄到M如（月）的同构映射。事实上，（1）若贰巧）-A，酬込）二&,且△二均，则有卬（吆禺'…'駕）二（爲'缶…‘必）且1，円〔理屯（煜'念…‘必）赳。由于4=A，对每一个碍都有兀⑥二6（碍）。二12…同，故有巧二円,即沪是单射。⑵g心S令则存在唯一的线性映射b使得…同，并且CT協丐…,％）=厲』釘：爲）二（傢禺…以圧由此可见，7是满射。（3）对廿巧七岸亿眄，％侯厅，有沁珀二虫1，帆还）二&，其中毎地已陆®国）即有巧（理屯，…心）二（侏傢….煽）卫1，円〔理屯，…心）二（毘，爲，…，AJ&，所以（炖i+kjjc%说,…，碍）=伙坷）（碍，说，…，碍）+卩远）〔咳斶，…，碍〕二竝玳％勺,…，毎）十心?（％,%,…,毎）二上（久傢…，垃）均十』（件，总）九二俑偲，…傀）（心1十地）,故有佩则+任）二倒+他,所以沪是£0眄到M窗（月）的同构映射。进而有dim20昭）二dim叽谊（月）二胃朋二（dim^（dim/F）。习题7.2习题7.2.1求下列线性变换在所指定的一个基下的矩阵（1）甌何的线性变换巧（蛊）二如，琢罔二山"，其中（ab\A=\cd）为固定矩阵。求巧，6在乳氐也1也彳这个基下的矩阵；

(2)设n</(x)>y(r+l)-/(x)是线性空间凤叫的线性变换，求b在基乩=1厲严兀戸二肘(—I)…(一订卯=2,…严下的矩阵;(3)6个函数：X二严g必「矗二严血氐，必二亦％閃加，n12fly1』12ox■1“血氐，龙=尹®，^=2XS狈加的所有实系数线性组合构成实数域上一个6维线性空间。求微分变换在基区几下的矩阵。解：(1)由巧，壬的定义直接可得:pracad'€叭<oo>卬(码1)二=abEn+b^EuadE2Y-\-bdE227护50>7%bQbyedd2}0bd)=尿Em+bdEu+ud禺］+沪禺$巧〔耳2)—所以巧在^11^12^21^22这个基下的矩阵为5P2dj40」■.0G0夕5『lCd」J0」&0」所以6在总11厨“场"爲2这个基下的矩阵为广02「0护1己441」lO/(2)由疋(◎二了(工+1)-/(0直接可得:^0)=^1)=1-1=0,卫巩)二口(对二花十1—工二1二為,卫吧)二忒兀T))=#x+l)x—£恥—1)f*1所以口在基劭十产"十AD也)二碍讼-1)…［兀-1+1卄如所以口在基劭十产"十AD下的矩阵为:TOC\o"1-5"\h\zP1Q…L001-■0000-■100--■0;3)由微分运算性质直接可得：D(X)=(^co£M=^-%!D说十沁二坊+筋,

□（広）-（疋产皿3珂二齐十城-顷

g=w沁肚y二龙十堀十硏所以微分变换在基（如紅下的矩阵为:所以微分变换在基（如紅下的矩阵为:-石口0-石口0100ai00-ba0000000000^001001&b-h叭习题7.2.2习题7.2.2设W化是厂的一个基,已知耳禺•…心线性无关。证明：（1）存在唯一的线性变换「使咲碍）#,—2…宀（2）（1）中的石在基%%…心下的矩阵为才化（3）（1）中的百在基W島下的矩阵为削-】。证明：（1）因为还灼…心线性无关，所以g•…心也是厂的一个基。故对/的一个基及母个向量乩色…念，定存在唯一的线性变换石，使讥碍）*，】二12…卫。（2）由已知条件有（理屯，…，禺）二（％旳,…气加，（久爲，…,咸）二@］笔，…气）月，

其中弘％…咼与％屯，…心都是厂的基，所以£可逆，且有佃忌，…咼）二（珥耳，…鸟）屮，进而有（久傢…虫）=（理购，…耳期勺。再由（1）得讥理％，…,％）二（久傢….咸）=（%禺八工门由呃，所以£在基弘％•…•碍下的矩阵为/七。3）类似有论1,旳,…，片）二讥斶，务…，毎）占二（州，爲，…，咸）川二（削,备…竝）血1，所以百在基弘％…島下的矩阵为劇-1。习题7.2.3在疋中，定义线性变换b为<-5>卫羽）二0<-5>卫羽）二0bJeE：心）二TId广-宁皿）二-1其中其中（1）求b在基旬疋沁下的矩阵;（2）求b在基叽恥距下的矩阵。解：（1）由定义知r-50-宁0-1-1卫场桃①）二QI0TOC\o"1-5"\h\z阿赴趕）01孙"J二I21所以有广-10$、-1J0-宁01-1=使1，日2,钗J0-1-16>1，%，%）=6（%,%,和）<210；<369,TOC\o"1-5"\h\zJio3y101-1I210,故L在基町禺忌下的矩阵为:(-520-旳-4-5-2〔27181（2）类似有(-50_巧Ji03、-1广-50-宁0-1-101-10-1-1=(%，%，%)<210><569,刀』二广23S'-10-1故口在基恥也厲下的矩阵为：I"10>习题7.2.4在硏中，线性变换b在基的矩阵是。求b在基勺宀，@3下的矩阵。5”巧观）1]i1」解:已（勺,环勺）1（珀观用）二；'则有广-11I■1广1orJi13101=〔班刀‘％）110101<1_1b厂12b<1_1b2即L在基町禺忌下的矩阵为:习题7.2.5设数域F上3维线性空间P的线性变换b在基%"下的矩阵为宓1%^21旳2^23也1如“33丿（1）求b在基函下的矩阵；（2）求b在基率下的矩阵；（3）求口在基还十％%©下的矩阵。解：（1）由已知可得CH（隅）二十爲3%十也3隅二爲3屯十爲3禺十门□场%禺）=牝两十十％隅=靭隅十“胡电十^12逝口（两）=区口口■］_十勺十巧1碣=也1碍十勺1%十口口场所以口在基理恥下的矩阵为：'%所以口在基理恥下的矩阵为：'%2）由已知可得cn（%j二阿］场十还十色］碍二昭］%+址」◎応说+碍］隔，口（归兀）=划曲十力知岂-I-竝妆碣=比（如珂十盘能上％十此碍?碣口（碣）=口13嗚十％3屯十碍3隔=^15^1+上□茁上碍+碍了鸯。所以B在基说北务驹下的矩阵为:—如皎丿。（3）由已知可得%%十屯）二讥％）十口（禺）=C^IL十如）％十（宓1十^22）^-2十（色1十如）磅二（°L1十％）〔还十屯）十厲1十％2—住11—盘卫）屯十（碍1十。卫）碣,口（屯）=口］［斫十％》碍十爲【碣=如（还十世）十（％?—1312）屯十^32^3%函）=门13场十％3%十冬岂=的3（%十碍）十（叫3_门□）%十込灼所以口在基还十屯耳心下的矩阵为：习题7.2.6在母维线性空间*中，设有线性变换b与向量盘使H-】（g）hO,但中②二0。证明：在厂中存在一个基，使口在该基下的矩阵为证明：由习题7.1.6知：用维线性空间厂的向量组盘，b9）,Eg,■■■-严②线性无关，且有丹个向量，即构成/的一组基，而线性变换b作用此基有：口⑥）二EM，故口在基or.故口在基or.只②，下的矩阵为:TOC\o"1-5"\h\z巾0-■00^10-■00oi-■oopo-■io丿习题7.2.7设附的是数域F上用维线性空间茁的全体线性变换组成的数域F上的线性空间，试求出尬丄了①，并找出妙小中的一个基。求证：任取/的一组基•…心，令护为附卩）到陆（巧的映射：贰刀二月，其中禺,…心）二（理禺占。由引理7.2.6及定理7.2.7知护为同构映射，即附，灯兰陆（町。所以它们的维数相同，而dimM^F"）=，故亿厂二母°。现取叫E£0①，口二12，使得％©心「「噱1二側灼…心爲，即吠®叫，S箝。已知爲，⑺二1Z••异是陆（眄的一组基，故叫，j=l,2,…，門为丄的一组基。习题7.2.8证明：与母维线性空间严的全体线性变换都可交换的线性变换是数乘变换。证明：在某组确定的基下，数域F上的母维线性空间P的线性变换与数域打上的愆阶方阵间建立了一个双射，因为与一切愆阶方阵可交换的方阵为数量矩阵疋占，所以与一切线性变换可交换的线性变换必是数乘变换加。习题7.2.9设b是理维线性空间*的一个线性变换，如果b在厂的任意一个基下的矩阵都相同，则b是数乘变换。证明：设口在基•…心下的矩阵为」二吗）咖，只要证明占为数量矩阵即可。设0为任意可逆矩阵，令（你血■…虑）=（%答…G）P，则环念…虫也是卩的一组基，且l在这组基下的矩阵为护肋，依题意有汕二K4。特别地,时，计算可得当取再取]QQ]001■■0000■■■11100■■■0」，由/£二P/可得。1］二如二数量矩阵，所以B是数乘变换。习题7.2.10证明：I心丿与I必」相似，其中—…凡是1Z…川的一个排列。证明：用依次表示这两个矩阵，取一个母维线性空间卩及其一组基g•…心，对于矩阵卫，存在/的线性变换旷，使得

00由此可得因为£与序是B在不同基下的矩阵，所以貝与序相似。习题7.2.11如果艮可逆，证明宓与&4相似。证明：因为屮(曲)卫二(屮&削二削，所以肋与血相似。习题7.2.12如果占与巧相似，0与门相似，试判断下列叙述是否正确？如果不正确，请举反例，否则给出证明。(1)SO](1)SO](B0^<°7与〔°°丿相似;(2)(3)答:正确。证明：由于丄与&相似，C与Q相似，因此存在可答:D二和阴，从而有即丿,其中I°£丿0相似。与逆阵丘，塌，使得B=^APi，所以1°广12£■=D二和阴，从而有即丿,其中I°£丿0相似。与逆阵丘，塌，使得B=^APi，所以1°广12£■=(2)不正确。反例:P=则有AP=与巧相似;AC={1oY-i02;PB=P1、2°丿1°，即曲=已5,故卫再取7(-10>00」BD=丿，则U与门显然相似。但OoV-io<01L「-2『I『01L「-2『I『0h<00><05广-加a计算得［-旣0；即得也=b=c=0,故0>町不可逆。所以血与磁不相似。（3）不正确。反例：取同（2），有02丿,B^D=02丿,B^D=1°1两矩阵秩不同。显然，加U与序+Q不相似。习题7.3习题7.3.1设厂是数域F上线性空间，b是卩的线性变换。如果珀是b的特征值，贝I」对任意多项式/⑷巨川划，了（给）是了（刀的特征值，且b的属于入的特征向量也是了9〕的属于了凤）的特征向量。证明：设工芒0为b的属于给的特征向量，即旳=恥，则对任意自然数称，有3^）9）二氐〔蹲②。事实上，当帑=1时，显然成立。假设称-1时，有b伽仝揖S成立。现证瞅时也成立，即（上口了②二咙^［%閃］=鋼「•易叹二。故由数学归纳法得Tg=疋凤②式对任意自然数陀均成立。设/（对二珂卩+阿/」+…+叫「低+令，贝y有了（①⑺二仗府+鬥<7^+…+务_产+空）〔②=兔(¥©))+礙产沧))+…+孤1(卫②)+%£◎))=(州州+13=(州州+13屈I-^n-lAj+碍aX②伦)U,即了9）g）二了凤沟。习题7.3.2对复数域上线性空间*上的下述线性变换口，求出它的特征值与特征向量，判断b是否可以对角化，在b可对角化时，求出过度矩阵F，并计算旷咕卩。已知口在厂的一个基下的矩阵为-1310、-1-4-10（1）W丄丿；（2）曰。丿；（3）1°Y2J；（4）-1一11解：（1）设b在基弘习下的矩阵为卫，矩阵卫的特征多项式为A-3-4A-3-4-5A-2护一庁丸一14二（入—7）（a+2）所以口的特征值为7，-2。先求b的属于特征值7的特征向量。解齐次线性方程组（7£-4^=0,求得基础解系为⑴）『，所以b的属于特征值？的全部特征向量为冷+朋旳；再求b的属于特征值-2的特征向量。解齐次线性方程组（-2E-A）Z=0,求得基础解系为（4-V，所以b的属于特征值—2■的全部特征向量为上（4近-辺伉"）。口可以对角化。取b的两个线性无关的特征向量肌二爲+花，fl41Z西叽』其中仃4Jfl41Z西叽』其中仃4J-5为由基耳习到严1甘尸-基巧也的过渡矩阵。且有34I52714、丿I_5>0?<0~2)O（2）设b在基马£下的矩阵为艮，且当^=0时，有』=0,于是|AE-A\=|AE-A\=矩阵£的特征多项式为_护一，所以口的特征值为。°¥讷求b的属于特征值0的特征向量。解齐次线性方程组卫丿，求得基础解系为3几©1几因为b的属于特征值o的两个线性无关的特征向量为勺叵，所以b以/中任意非零向量为其特征向量。°¥讷当"0时，矩阵£的特征多项式为/I—H”、&|AS~A\==穿+X=（卫+创）（几一加）0兄，所以b的特征值为此一俄。先求b的属于特征值次的特征向量。解齐次线性方程组（ciiE-A）X=0，求得基础解系为㈠」）『，所以b的属于特征值的全部特征向量为罔十6）技工0）；再求b的属于特征值-⑵的特征向量。解齐次线性方程组"S，求得基础解系为。时，所以b的属于特征值-加的全部特征向量为叽。口可以对角化。取b的两个线性无关的特征向量叭二S,即也(-ii\P—dS,即也(-ii\P—d1」，其中一Js为由基勺叵到基P-'AP=巧厲的过渡矩阵。且有-riJu1ai00-ai^-3|AS-A\=4-4（3）^-3|AS-A\=4-4兄+10=(A-2)(^-l)33>1-2所以口的特征值为"2。先求b的属于特征值1的特征向量。解齐次线性方程组（H-囲疋二0,求得基础解系为（1-2-20/，所以b的属于特征值1的全部特征向量为上启-迢-2陀）伉汇0）；再求b的属于特征值2的特征向量。解齐次线性方程组〔2EFI0，求得基础解系为（叽1）『，所以L的属于特征值2的全部特征向量为隔（3。）。由于找不到B的三个线性无关的特征向量，故B不可对角化。（4）设b（4）设b在基了％各环下的矩阵为灵，矩阵灵的特征多项式为所以口的特征值为先求b的属于特征值2的特征向量。解齐次线性方程组Nmo,求得基础解系为①炉，所以b的属于特征值2的全部特征向量为

（対十扁十禺）十牯鸟十妬包十怠阳（其中尙，焉念不全为零）；再求b的属于特征值-2的特征向量。解齐次线性方程组（-匹-如X=Q,求得基础解系为（―厅，所以er的属于特征值—2的全部特征向量为上侣-叼-巧-坏）诙芒0）。口可以对角化。取b的四个线性无关的特征向量班二勺+勺，&二勺十勺，色二師十％，丹二石一6一巨一耳，即卩「1111100-1（和列刚執）=（勺局皋竝）010-1701—1其中为由基5忌尼，忌到基巧也用刚的过渡矩阵。且有其中为由基5忌尼，忌到基巧也用刚的过渡矩阵。且有P~lAP二11P-1qiir100-1ii-i-i010-1i-ii-i.001—1」j-i-ii」「111P100-1010-1201_1」习题7.3.3证明：久是矩阵£的特征值的充要条件是矩阵屈-卫为奇异阵。证明：设非零向量忑为矩阵貝的属于特征值兄的特征向量，则有込益,整理得（鉅-回疋二0，因蛊芒0，所以齐次线性方程组（^-A）X=O有非零解，故系数行列式1^-^1=00反之亦然。515154戈'0-34<0已>A=习题7.3.4设解：矩阵貝的特征多项式为，求才。X-1-4-20A+3-4=(^-l)(^a-25)0-4入_3所以£的特征值为兔二也二5凡二-5(胡_A)X=对兔二1,解齐次线性方程组基础解系遹二①①厅；5-4-P©04-404-4—Zi兀」，得(^-A)X=对爲二二解齐次线性方程组得基础解系也=化丄可；<4-4-砧0S_404-42」O对為=一5,解齐次线性方程组-4-»0-2-40i0-4-8.ia」o得基础解系碣mM。广121、01-2K肿=5421」，进=FriJ^P=而有T21T、T21、01-2501-2.021」i—51.021,<121'<10-5>『14x5*3x54-?01-25510120-3x544x5421/-九52-24x5*3x54这个基下的矩阵为求b在一个基久広仪点下的矩阵，其中(1)求b的特征值与特征向量;(2)习题这个基下的矩阵为求b在一个基久広仪点下的矩阵，其中(1)求b的特征值与特征向量;(2)求一可逆阵F，使戸乜尸为对角阵。o'1(A?A)—(%喝，碍，斶)(1)由条件有解:

(1)由条件有解:B0B00100bTOC\o"1-5"\h\zSo6-5、00-5400--221^005-2)（2）因为线性变换b的特征多项式为2兄+22-32兄+22-300所以线性变换b的特征值为叽护。先求b的属于特征值Q的特征向量。解齐次线性方程组（旳八,求得基础解系为（1皿厅，（畀丽『，所以b的属于特征值0的线性无关的特征向量为打二禽二刊十禺十函十刍，空二爲二加1十迴!十岂。全部特征向量为（掛十2焉）％十（?召十孜2）屯十（対十怠）屯十比］省（其中召"扁不全为零）；1再求b的属于特征值㊁的特征向量。解齐次线性方程组（护-QI0,求得基础解系为（-8.6X2/，所以L的属于特征值㊁的线性无关的特征向量为着=一E：着=一E：倉十&爲十爲十2轴二一8（嗚十？屯十函十函）十石住场十？％十碍）十函十2码全部特征向量为僦％十肚屯-上磅-鉄丐伉芒0）。最后求b的属于特征值1的特征向量。解齐次线性方程组(£-5X=0,求得基础解系为，所以b的属于特征值1的线性无关的特征向量为十碍）十？隅十庁用全部特征向量为戏羽十上岂+上屯-2比些诙疋0）。十碍）十？隅十庁用全部特征向量为戏羽十上岂+上屯-2比些诙疋0）。,所以所求的可逆矩广0000>00000010<00b习题7.3.6（1）设无易是线性变换b的两个不同特征值，兀说是分别属于凡堤的特征向量。证明：碣+也不是b的特征向量；（2）证明：如果线性变换以厂中每个非零向量作为它的特征向量,则b是数乘变换。证明：（1）因为g）卡］,=g，所以eA+遹）二（隔）二咎还+理说。假设碣+碍是线性变换b的属于特征值乂的特征向量，即EA+觀二丸（珂+逼），且有現还+屯）二几站+易说，整理可得（咎一卫）％十晁—玄）屯二0。由