数学模型种群动力学

(Population单物种模••(Population单物种模••两物种竞争模•捕食食模•带结构的人口模种群动力•••种群：在某个种群动力•••种群：在某个地区物种的全人口统计学（Demography）–•分布模式种群建Nt+1=Nt+gains-pop.size种群建Nt+1=Nt+gains-pop.sizeonetimeunitpast“t”pop.sizeattimenewN=previousN+births–deaths+immigration–Nt+1=Nt+B-D+I-exchange种群建Nt+1=Nt+gains-tosimplify种群建Nt+1=Nt+gains-tosimplifywe’llfocusonthepop.sizeonetimeunitpast“t”pop.sizeattimenewN=previousN+births–Nt+1=Nt+B-单物种种群单物种种群增长模•Malthus模•Logistic模Malthus模•英RobertMalthusMalthus模•英RobertMalthusEssayOnHumanpopulationhasthepotentialtogrow••ntheMalthus模•假设生长率率是常数，则Malthus模•假设生长率率是常数，则人口存一个内禀增长率r=生产率微分方率•dN=rN(t)•如果给定t0时刻人口数目为N0那么方程解N(t)=N0exp[r(t¡Malthus模•照此模型Malthus模•照此模型，可以计算人口翻番所需要的间人口增长率为2%用上述模型对比1700－可以计算大约35年人口翻番，那么到••年人口将达到240亿，地球重负人口能够永人口能够永远指数增长吗••••食物、空间匮疾种群内部竞•Logistic模•考虑成员之间为有限的空间、Logistic模•考虑成员之间为有限的空间、资和食物而展开的竞争，在方程中增加一“竞争项•竞争项时间内两个成员发的次数与群体个数平方成正比dNLogistics模•可变量分离方ZZt=dt=t¡ax¡Logistics模•可变量分离方ZZt=dt=t¡ax¡Z1ZNt1b ]dx a¡dt=t¡a•方程的N(t)bN0+(a¡bN0)x[(t¡Logistic模型－解的性•Logistic模型－解的性•aN(t) t!b•单调a<;bN(t)increasea>;bN(t)decreaseMalthus模Malthus模型与Logistic模Logistic模•数学生物学家ii前Gause(1910-1986)对草履虫Logistic模•数学生物学家ii前Gause(1910-1986)对草履虫进行了观测：5只草履放在试管内N(t)•这个公式与实际观测异常符合ogistic模型相图•考虑导数的符dNogistic模型相图•考虑导数的符dN•N=0N=a/b时，导数•N>a/b时，导数为负斜向下箭头•togistic模型相图•考虑二阶导数的符号，解曲线在N=a/2bogistic模型相图•考虑二阶导数的符号，解曲线在N=a/2b有拐d2N(t)aa2=bN(t)[ ¡ —N•数为负，图形向上凸单调上升曲线••线性稳定•线性稳定•系统在平衡点附近作小扰动后是否保持定•渐近稳线性稳定•方=f(x;•线性稳定•方=f(x;•设有平衡点x0,即f(x0,t)=0，考虑充分小扰xx=x0x.那么扰动项满足的方程@f(x;=f(x0+±x;t)±x@x线性稳定性(Logistic模型Logistic•dNN(t)=rN(t线性稳定性(Logistic模型Logistic•dNN(t)=rN(t)(1)K•½rN=N==¸±N=(±N0)exp•竞争(Competition)竞争(Competition)模•设有两个物种生活在同样的环境里，两长率分别为r1,r2,极限容量分别为K1,K2.存比，设系数分别为b12,竞争(Competition)模•微分方8竞争(Competition)模•微分方8N1(t)+b12N2(t)=r1N1(t)(1N2(t)+b21N1(t)=rN(t)(1 •你能猜猜竞争的结果是什么无量纲化方•变r2N1N2¿=r½u=u=112rKK112K2K1无量纲化方•变r2N1N2¿=r½u=u=112rKK112K2K1a=a=122112•方8<:=u1(1¡—a12u2)=f1(u1;=½u2(1¡u2¡a21u1)=f2(u1;平衡•求解方8<:f1(u1;u2)=u1(1¡u平衡•求解方8<:f1(u1;u2)=u1(1¡u1¡a12u2)=f2(u1;u2)=½u2(1¡u2¡a21u1)=•求得平衡0@1010101A 2010A;A;A; 2001稳定性分•二维系统稳定性与下面的稳定性分•二维系统稳定性与下面的矩阵（Jacobi矩阵有0A=1A;;0=1A1¡2u1¡212½(1¡2u2¡稳定性分•平衡点(0,0)μ稳定性分•平衡点(0,0)μ¶0½A•不稳定平衡=(±u1)0exp=(±u2)0exp相图方•四条“零”线将平面划分，可以相图方•四条“零”线将平面划分，可以分别确各区域的符u1=u2=1¡u1¡a12u2=1);(1;1¡u2¡a21u1=1(0;1);;相图方相图方•当a12<1,a21<1时,第四个平衡点是渐近稳的，即两物种友好共存相图方•当a相图方•当a12>1,a21>1时,第四个平衡点是鞍点，两物种在进行“你死我活。相图方•当相图方•当a12<1,a21>1时u1竞争过u2。相图方•当相图方•当a12>1,a21<1时u2竞争过u1。经典的物种竞争经典的物种竞争实twospeciesofac=ca=Gause意大利生物学家Umberto意大利数学家Vito意大利生物学家Umberto意大利数学家Vito••••捕食关系建•食者（Prey）：捕食者杀捕食关系建•食者（Prey）：捕食者杀食者引食率增dNprey/dt=changeinprey–deathsduetopercapitarateofwithoutModified捕食关系建•食者（Prey）：捕食者杀捕食关系建•食者（Prey）：捕食者杀食者引食率增dNprey/dt=–PreypopulationsizedependsonnumberofWithfewpredators,preypopulationWithmanypredators,preypopulation捕食关系建•捕食者(Predator)捕食关系建•捕食者(Predator)：捕食者捕获猎物引起出生率增加dNpredator/dt=cpNpreyNpredator–deathchangeinpredatorpopulationbirthsdueto捕食关系建•捕食者(Predator)捕食关系建•捕食者(Predator)：捕食者捕获猎物引起出生率增加dNpredator/dt=cpNpreyNpredator–ofpreytobabyPredatorpopulationsizedependsonnumberofWithmanyprey,predatorpopulationWithfewprey,predatorpopulation捕食关系建微分方程捕食关系建微分方程模型(D’Ancona-Volterra模型或Lotka-Volterra模型•dNprey/dt=–dNpredator/dt=cpNpreyNpredator–Withfewpredators,preypopulationWithmanyprey,predatorpopulationWithmanypredators,preypopulationWithfewprey,predatorpopulationNLotka-Volterra模Lotka-Volterra方•½=axLotka-Volterra模Lotka-Volterra方•½=ax¡=y+•轨道方y+=x(a¡相图方•四条“零”线将平相图方•四条“零”线将平面划分，可以分别确各区域的符x=y=aydx相图方相图方•看起来轨道围绕(c/d,a/b)转圈(周期轨道Lotka-Volterra模•轨道方程变量可分离a¡¡+Lotka-Volterra模•轨道方程变量可分离a¡¡+dyyx•积分得到X-Y平面上的闭轨道£=expexpLotka-Volterra模•sLotka-Volterra模•sdescribeandpreypopulationRealworldpredatorandpreypopulationscancycleinsize.•带结构的种群动力学模•结构问题：不的带结构的种群动力学模•结构问题：不的增长率率不一样，有必要考虑结构••率带结构的种群动力•最早由SirPaul给出相应的模带结构的种群动力•最早由SirPaul给出相应的模型称之为模•分成了n个组，每组的人群设种群xi表示.同时也说明。的极限是n个时•率为di,则该组以si=1-di的设每个组例进入下一个组•设每个组的出生率为bi新出生的进结构模123n结构模123n矩矩模模可达性和不可约•可达性和不可约•则称节点可达性：如果矩阵元可达记•不可约矩阵：矩阵称为不可约的，如果意两个节点i,j之间存在路径，使得i,j通过路径可达，即存在一串矩阵可约•矩阵可约•可以证明，可约性有如下的代数描述•矩阵可约的充分必要条件是存在某个行置换(即存在某个置换矩阵P)，使得矩阵以化为如下分块矩阵形素矩•素矩•如果存在某个足够大的整数k,使得矩阵的全部元素都是正的，即所谓的正矩阵•正矩阵有很好的性质，OscarPerron1907Perron-Frobenius定PF定理：设APerron-Frobenius定PF定理：设A是非负不可约n阶方阵，•(1A有唯一的单重正特征值对应于小其它特征值的绝对值都正矩阵的特征值和特征向•正矩阵的特征值和特征向•引理1：如果A为正矩阵，v是A的非负特向量证明则v的所有项严格大于0要使等式成立，则v的所假若某分量都为0，与特征向量非.正矩阵的特征值和特征向正矩阵的特征值和特征向•的最大特征值相等(即最大特征值是单重的证明：设v是A的正特征向量则因此可假设特征向量为(1,…,1)T,于另一方面正矩阵的特征值和特征向正矩阵的特征值和特征向所如则于和最大征值相等。注意到上式取等号只有Z=(1,1,…,1)时成立模•矩阵是不可约素矩阵，故模•矩阵是不可约素矩阵，故满足Frobenius定理的条件，设其唯一的正特,对应的特征向量为习题模型的解满值••其中c是有bi,si和初值x(0)决定的常数模•所以模型解的性质完全由矩决定.模•所以模型解的性质完全由矩决定.大于1时数量递增的唯一正特征小于1时数量递减•=1时，由，矩阵的特征方程(见当题这个R有明确的物理意义：表示一个雌性体在整个存活期类繁殖的平均数量补充指数矩阵(Matrix•设A是n补充指数矩阵(Matrix•设A是n阶