圆的概念及性质题库教师版

圆的概念和性质中考要求例题精讲一、垂径定理【例1】如果两条弦相等，那么（C．这两条弦的弦心距相等【考点】垂径定理【难度】1星【题型】选择）B．这两条弦所对的圆心角相等D．以上都不对【【【】】 角定理，关键是这些条件成立的前提是在同圆或等圆中．所以选D．】D【例2】下列中正确的是（）A．平分弦的直线垂直于弦B圆的概念和性质中考要求例题精讲一、垂径定理【例1】如果两条弦相等，那么（C．这两条弦的弦心距相等【考点】垂径定理【难度】1星【题型】选择）B．这两条弦所对的圆心角相等D．以上都不对【【【】】 角定理，关键是这些条件成立的前提是在同圆或等圆中．所以选D．】D【例2】下列中正确的是（）A．平分弦的直线垂直于弦B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧【考点】垂径定理【难度】1星【题型】选择【【【】】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦，因此平分弦所对的两条弧，】CC．【例3】如图，将圆沿AB折叠后，圆弧恰好经过圆心，则AmB等于 ．A．60°B．90°C．120°D．150°内容基本要求略高要求较高要求垂径定理会在相应的图中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题OABm【考点】垂径定理【难度】2星【题型】填空【【【】】略】C【例4】如图，O的直径CDEF的中点GEOD40，则DCF等于（）A．80B．50C．OABm【考点】垂径定理【难度】2星【题型】填空【【【】】略】C【例4】如图，O的直径CDEF的中点GEOD40，则DCF等于（）A．80B．50C．40D．20COGEFD【考点】圆周角定理，垂径定理【难度】2星【题型】选择【【【】2006年，重庆市中考题】略】DOD是CA延长线上一点，若BOC120，则BAD等于（【例5△ABC内接于）A．30B．60C．75D．90OBCDA【考点】圆周角定理【难度】2星【题型】选择【【【】】略】B．，AB是O的直径，ADDE，AEBD交于点CBCE（【例6】）EDCBAOA．2个B．3个C．4个D．5个【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理，垂径定理【难度】2星【题型】选择】2008年，山东滨州【【【】】B同弧，等弧所对圆周角相等，所以选B．【例7】⊙O的半径为1，AB是⊙OEDCBAOA．2个B．3个C．4个D．5个【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理，垂径定理【难度】2星【题型】选择】2008年，山东滨州【【【】】B同弧，等弧所对圆周角相等，所以选B．【例7】⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦且AB3则弦AB所对圆周角的度数为 ．【考点】圆周角定理，垂径定理【难度】2星【题型】填空【【【】2009年，山东泰安，分类讨论思想】略】60或120【例8】已知：如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是AN的中点，P是MN上一动点，⊙O的半径为1，则PAPB的最小值是 ．AABBNNMMOPOPB'【考点】垂径定理，轴对称与线段和差最值问题【难度】3星【题型】填空【【】BMNBABMNP，PAPB取得最小值．B点在ONBN，A是半圆的三等分点，AN1MAN，AON60，3BN的中点，N1N，N，2∴NN，∵O半径为1，A1，∴A2，PAPB的最小值为2．】2【【例9AE，CD是OABCDBC，DEFOFAB．DOEACBF【考点】垂径定理【难度】3星【题型】解答【【【】】略【例9AE，CD是OABCDBC，DEFOFAB．DOEACBF【考点】垂径定理【难度】3星【题型】解答【【【】】略BE，AE是直径，BEAB．BCDE，CBEDEB，CD．又O为CD中点，∴OFCO，∴OF∥AB．【例10AB，CD是O的直径，弦CFAPBF，PDEOEPA．DDOOABABEECCPPF【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理，垂径定理【难度】4星【题型】解答F【【【】(平行弦所夹的弧相等)以及相等的弧所对的圆周角相等．∵PA∥CF，∴ACPF，∵AOCBOD，∴BDAC，∴PFBD，PBEBPE，BEPE．∴BOE≌POE．1BOP，∵A1BOP，2∴BOEA，∴OE∥PA．2【例11ABCDABDCPBDAC相交于QPQ并APABADRARDR DPDCAANBRBRMQQOODDCCPP【考点】圆周角定理，相似三角形的性质及判定【难度】4星【题型】解答【【【】】】PACPDBABQDCQ∴ABQ∽DCQ，ABAQ，∴ DC DQAPABAPAQSAPQ∴，DPDC DPDQSDPQAMPRDNPR，SAPQ则AMDNSDPQ∵AMPR，DNPR，∴AM∥DN，∴AMR∽DNR，∴AM ARAANBRBRMQQOODDCCPP【考点】圆周角定理，相似三角形的性质及判定【难度】4星【题型】解答【【【】】】PACPDBABQDCQ∴ABQ∽DCQ，ABAQ，∴ DC DQAPABAPAQSAPQ∴，DPDC DPDQSDPQAMPRDNPR，SAPQ则AMDNSDPQ∵AMPR，DNPR，∴AM∥DN，∴AMR∽DNR，∴AM ARDN DRSAPQAPABARARAPAB.∴DPDCDR DPDCSDPQDR【例12AD是⊙O的直径．圆周4等分，则B1的度数是 ，B2的度数是 ；2D23把圆周6等分，分别求123的度数；3Dn1223nn把圆周2nn的代数式表示Bn的度数(只需直接写出A)．AAB1CB1C11BBC21C12B3C3O……C2B2OBn-2Bn-1BC22B3C3BnCnDD图2D图1图3【考点】垂径定理【难度】3星【题型】解答【】2009年，浙江衢州O【 ⑵∵圆周被6等分，．1BC30，1 1123060【 ⑵∵圆周被6等分，．1BC30，1 11230606075．2211360n136090n45(或B3609045)⑶B2nnn2nn90n45n8nn【 （）（2）753）【例13】如图，在O的内接△ABCABAC12ADBCDAD3，设ABx．yx的函数关系式．AB的长为多少时，O的面积最大？并求出O最大面积．Oy，AABCBCDDOOE【考点】圆周角定理，垂径定理【难度】4星【题型】解答】2006年，兰州市中考题【【 （1）作直径AE，连CE，由△ABD∽△AEC，得 ，即xABAE2y，∴y1x22x；63 12xAD AC（2）x6y6，O的最大面积为36．【 （）y1x22x（2）36【例14】如图，OAB15cm，有一条定长为9cm的动弦CDAmB上滑动（点CAD与B不重合，且CECDBEFDBF．AEBF．在动弦CD滑动的过程中，四边形CDFE的面积是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由．BFBFEEAADCDCG【考点】垂径定理，梯形的中位线【难度】4星【题型】解答OO【【【】】略（1）作OD交CD于GOEOFOAOBAEBF．（1）四边形CDFEOG为其中位线，152 9212CDOGCD9 54cm2，为定值．S 22【【【】】略（1）作OD交CD于GOEOFOAOBAEBF．（1）四边形CDFEOG为其中位线，152 9212CDOGCD9 54cm2，为定值．S 22【例15】圆内接四边形两条对角线互相垂直，则一边的弦心距等于它的对边的一半．DDDDHEECCCCAAAAOOOGOEFFFFBBBB【考点】垂径定理，全等三角形的性质及判定【题型】解答【难度】3星【【【】】略ABCD内接距OE，连接OB、OC．OACBDOFAB之弦心距．作CD的弦心显然OCE90EOC901DC的度数．2∵ACBD，∴ABDC180，1m∴ AB．21m又BOF AB，2∴OCEBOF．∵OCBO，∴RtOCE≌RtBOF．CEOF，即OF1DC．2AEBE、CE．OFBE2OF．∵CEAC，BDAC，∴CE∥BD，∴BEDC，∴BEDC．2OFDCOF1DC．2ACBDPEDCEPAB于GFP延DCH．连接OE．∵OEDC，FHDC，∴FH∥OE，EG∥OFPFOEOFEP．EP1DC(EP是RtCDP斜边上的中线)，2∴OF1DC．2【例16AB是⊙OODABD交⊙OE，则下列说法的是（）A．ADBDB．ACBAOE C．AEBE D【例16AB是⊙OODABD交⊙OE，则下列说法的是（）A．ADBDB．ACBAOE C．AEBE D．ODDECODABE【考点】垂径定理【题型】选择【难度】1星【【【】2009年，湖南娄底】略】D【例17】如图，⊙O是ABC的外接圆，ODABD，交⊙OE，C60，如果⊙O的半径为2，则结论错误的是（）A．ADDBB．AEEBC．OD1D．AB3COABDE【考点】垂径定理【题型】选择【难度】1星【【【】2007年，广州中考】略D【例183cm5cmABCAB的长为（）A．4cmC．6cmB．5cmD．8cm·OABC【考点】切线的性质及判定，垂径定理【难度】2星【题型】选择】2009年，常德市】根据相切的性质结合垂径定理，勾股定理求得】Ｄ【【【D【例19】如图，⊙POOAB切⊙P于点CABOP．若阴影部分的面积为9，则AB的长为（A．3C．6）B．4D．9OPACB【考点】切线的性质及判定，垂径定理【难度】【例19】如图，⊙POOAB切⊙P于点CABOP．若阴影部分的面积为9，则AB的长为（A．3C．6）B．4D．9OPACB【考点】切线的性质及判定，垂径定理【难度】3星【题型】选择】2009年，嘉兴】设⊙OR⊙Pr，则阴影部分面积为πR2r29π，R2r29，【【1ABR2r23，AB6．2】C【【例20】在半径为4cm的圆中，垂直平分半径的弦长是 ．【考点】垂径定理【题型】填空【难度】1星【【【】】略43．【例21】OAB的长为6cm，圆心OAB的距离为4cm，则O的半径长为（）A.3cm【考点】垂径定理【题型】选择【难度】1星B.4cmC.5cmD.6cm【【【】福州中考】略】C【例22】若⊙O中等于120的劣弧所对的弦长为123，则⊙O的半径是 ．【考点】垂径定理【题型】填空【难度】1星【【【】】略】12【例23ABCDAB上的⊙O交于点G、B、F、E，GB8cm，AG1cm，DE2cm，则EF ．HEFEFDCDCBABAGOGO【考点】垂径定理【题型】填空【难度】2星【【】】过O点作OHCDH．OG4，AG5EH3，∵OH则EF ．HEFEFDCDCBABAGOGO【考点】垂径定理【题型】填空【难度】2星【【】】过O点作OHCDH．OG4，AG5EH3，∵OHEF，∴EH1EF，∴EF6．2】6cm【【例24AB是⊙OBCODBCEBCD．BC8ED2，求⊙O的半径．AOCBED【考点】垂径定理【题型】解答【难度】2星】2007年，枣庄中考（1）不同类型的正确结论有：①BECE；②BDCD；③BED90；④BODA；⑤AC∥OD，⑥ACBC；⑦OE2BE2OB2；【【BCOE；BOD是等腰三角形；BOEBAC等⑧SABC（2）∵ODBC，∴BECE1BC4．2设⊙OR，则OEODDER2．在RtOEB中，由勾股定理得OE2BE2OB2，即(R2)242R2，R5．（1）BECE；BDCD；BED90；BODA；AC∥OD，ACBC；E2E2B2；S CE；BOD是等腰三角形；E∽C2）5ABC【【例25是O的直径，弦D于B3cm，则弦CD的长为（）A．3cmB．3cm2C．23cmD．9cmCEABOD【考点】垂径定理【题型】选择【难度】2星【【】2009年，广西南宁】同弧所对圆心角是圆周角的2倍，结合垂径定理求解．本题可用三角函数，也可用直角三角形中30°所对直角边斜边一半结合勾股定理 如若学习了三角函数，还是它较简单．答案选B】B【】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．AB16cm4cmCEABOD【考点】垂径定理【题型】选择【难度】2星【【】2009年，广西南宁】同弧所对圆心角是圆周角的2倍，结合垂径定理求解．本题可用三角函数，也可用直角三角形中30°所对直角边斜边一半结合勾股定理 如若学习了三角函数，还是它较简单．答案选B】B【】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．AB16cm4cm，求这个圆形截面的半径．A B【考点】垂径定理【题型】解答【难度】2星【【】2006年，青岛市（1）正确作出图形，并做答．（2）过O作OCABDAB于C，∵OCAB，∴BD1AB1168cm．22CD4cm．xcm，则ODx4cm．RtBOD中，由勾股定理得：D2D2B2，∴x4282x2．∴x10．1c．（）（2）10cm【，在RtABC中C90AC2BC1，若以C为圆心、CB的长为半径的圆交AB于P，则AP ．【例27】CCBBA PAP【考点】垂径定理【题型】填空【难度】3星【【】】过C作CMPBMMPMBMBx，RtABC中，有AB AC2BC23，ABC∽BMC，CCBBA PAP【考点】垂径定理【题型】填空【难度】3星【【】】过C作CMPBMMPMBMBx，RtABC中，有AB AC2BC23，ABC∽BMC，得BC2BMAB33∴123x ∴x3．3APAB2x33【】，在⊙OOAOBACBD．【例28】OOACDBAECDB【考点】垂径定理【题型】解答【难度】2星【【【】】略】过O作OEABE因为OAOB，所以RtOAERtOBE，AEBE又根据垂径定理可知CEEDAECEBEEDACBD．AB交小圆于CDACBD．【例29】OOABABCDCDM【考点】垂径定理【题型】解答【难度】2星【【】】略M【 】作OMAB，垂足为M，大圆中，OMAB，AMBM小圆中，OMCD，CMDMCMBM【 】作OMAB，垂足为M，大圆中，OMAB，AMBM小圆中，OMCD，CMDMCMBMDMACBD．【例1】如图，M、N分别是⊙OAB、CDAMNCNM．AACCMNMNOODBDB【考点】垂径定理【题型】解答【难度】2星【【【】】略】连结OM、ONM、NAB、CD的中点，∵ABCD，∴OMON∴AMNCNM．⊙OAB和弦CDE，AE6cm，EB2cm，BED30CD【例30】的长．CCFEEBDBAAOOD【考点】垂径定理【题型】解答【难度】3星【【】】过O作OFCDF，连结CO，∵AE6cm，EB2cm，∴AB8cm，∴OA1AB4cm，OEAEOA2cm，2在RtOCF中，30∴OF1OE1．2又OFCDCD2CF215cm，故CD的长为215cm．要充分利用条件BED30，构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形，通过直角三角形求得未知量．【215cm【例31】已知⊙O的直径是50cm，⊙OAB40cm，CD48cm，AB与CD间的距离．AABBFEFCDOOCDE【考点】垂径定理【题型】解答【难度】3星【【】】本题有两种情况：（1）ABCD在圆心O的同侧，ABCD在圆心O的同侧时，作OFAB于F，交CDE如右图所示．∵AB∥CD，∴OECDAF【215cm【例31】已知⊙O的直径是50cm，⊙OAB40cm，CD48cm，AB与CD间的距离．AABBFEFCDOOCDE【考点】垂径定理【题型】解答【难度】3星【【】】本题有两种情况：（1）ABCD在圆心O的同侧，ABCD在圆心O的同侧时，作OFAB于F，交CDE如右图所示．∵AB∥CD，∴OECDAF1AB20cmCE1CD24cm．2连结OA与OCOAOC25cm．2AB与CDEF1578cm（2）ABCD在圆心OAB与CDEF15722cm．】8cm22cm【【例32】已知在⊙Or5AB、CDAB8，CD6AC的长．FFFFCDDDCDCCABABEOEOAB ABEE图(1)图(2)图(3)图(4)【考点】垂径定理【题型】解答【难度】4星】2008年，郴州】此题要分四种情况讨论：AB、CDA、C两点在两弦垂直平分线的同、异侧．【【如图，连结半径，作出垂径，求解是不的．图⑴AC2；图⑵AC52；图⑶AC52；图⑷AC7AC的长为2或52或72．2】2或52或72【【例33】在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为3和2，则BAC的度数为 ．OOAAEOEBODDCCB【考点】垂径定理【题型】填空【难度】3星【【】】此题分两种情况讨论：（1）AB、AC在圆心O的同侧，如图连结OA，过O点分别作ODAB，OEACD、EAAEOEBODDCCB【考点】垂径定理【题型】填空【难度】3星【【】】此题分两种情况讨论：（1）AB、AC在圆心O的同侧，如图连结OA，过O点分别作ODAB，OEACD、E2，2245，．（2）AB、AC在圆心O的异侧，如图BAC75BAC的度数为15或75．】15或75【【例34】如图，已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离为3，求过点A的所有弦中最短弦的长度．EOBOABCAADC【考点】垂径定理【题型】解答【难度】2星【【】】连结OAA点作OA的垂线交⊙OB、CBC即为所求．连结OBAB1BC．2在RtAOBOAB90OB5，OA3，∴ABOB2OA24，∴BC2AB8．ABCDE，过O点作OHDEH．在RtAOC和RtBOH中，显然OEOC，又AOH是直角三角形，OHOA，则OE2OH2EH2AC2OC2OA2∴DEBC．】8【【例35⊙O的半径为5PP点到圆心O4P点的弦长的最小值是OH ．【考点】垂径定理【题型】填空【难度】2星【【【】】略】6【例36】如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（ ）A．5B．4C．3D．2OABM【考点】垂径定理【题型】选择【难度】2 ．【考点】垂径定理【题型】填空【难度】2星【【【】】略】6【例36】如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（ ）A．5B．4C．3D．2OABM【考点】垂径定理【题型】选择【难度】2星【【】2009年，白银】点到直线的最短距离是垂线段的长度，所以选A】A【【例37】若⊙O中等于120的劣弧所对的弦长为123，则⊙O的半径是 ．【考点】垂径定理【题型】填空【难度】2星【【【】】略】12【例38】在半径为4cm的圆中，垂直平分半径的弦长是 ．【考点】垂径定理【题型】填空【难度】2星【【【】】略43【例39AB交小圆于C、DAB4，CD2AB的弦心距等于1，那么，大圆半径与小圆半径之比是 ．AC DODCEABO【考点】垂径定理【题型】填空【难度】2星【【【】】略】5:2【例40ABC是OABOC．AC平分OAB；过点O作OEABEACPAB2，AOE【难度】2星【【【】】略】5:2【例40ABC是OABOC．AC平分OAB；过点O作OEABEACPAB2，AOE30PE的长．CBPEAO【考点】垂径定理【题型】解答【难度】3星【【】（）∵ABOC，CC，∵OAOC，∴OACC，BACOAC，AC平分OAB．（2）∵OEAB，∴AE1AB1，2RtAOEOEA90，AOE30，∴AO2AE2，OE3．解法一：ABOC，EPE1OC OP 2∴PE1OE3．33解法二：由⑴AC平分OAB，∴OAOP2，AE PE∴PE1OE33．333【】⑴略；⑵【例41AB是⊙OODAB，垂足为C，交⊙ODE在⊙O上．若AOD52，求DEB的度数；若OC3OA5AB的长．EOABCD【考点】垂径定理【题型】解答【难度】3星【【】2008年，沈阳】ODAB，∴ADBD，26，2⑵∵在RtAOCACOA2OC252【难度】3星【【】2008年，沈阳】ODAB，∴ADBD，26，2⑵∵在RtAOCACOA2OC252324，∵OCAB，∴AB2AC8．】26；8【B为OCDABCDECCC．【例42】ACOBCD．EB8cm，CD24cm，求⊙O的直径．AOCDEB【考点】垂径定理【题型】解答【难度】3星【【】2008年，湛江】AB为⊙OCDABCDE，∴CEED，CBDB，∴BCDBAC，∵OAOC，∴OACOCA，∴ACOBCD．⑵设⊙Or，则OEOBEBr8，CE1CD12，2在tO中，由勾股定理可得C2E2E2r2r82122，r13，∴2r26，∴⊙O的直径为26cm．】⑴略；26cm【【例43】如图，⊙OAB是直径，弦GEEF，HFEF，GE、HFAB于C、DACBD．HGGHBBDDCCAAFEEFM【考点】垂径定理【题型】解答【难度】3星【【】】略OO【 】过O点作OMEF于M点，MEF中点，EFFF，GEHF，又MF，GEOMHF，【 】过O点作OMEF于M点，MEF中点，EFFF，GEHF，又MF，GEOMHF，O是CD中点，∵OAOB，∴ACBD．为M，NAB，CD的中点，连ABCDE，FPEF为等腰三角形．PPCCAANNFHOFEEMMGODDBB【考点】垂径定理，等腰三角形的性质及判定【题型】解答【难度】3星【【【】】略OMABONCD，即MGENHF90．又OMON，MN，由此得MEGNFH，即PEFPFE，PEPF，即PEF为等腰三角形．【例45】把正ABC的外接圆对折，使点A落在BC的中点A'上，若BC5，则折痕在ABC内的部分长为（ ）A．53B．10C．103D．53332【考点】垂径定理，等边三角形的性质及判定【题型】选择【难度】3星【【【】】略】BABCABAC10BC12，求其外接圆的半径．【例46】AAOCBDCB【考点】垂径定理，三角形的外接圆及外心【题型】解答【难度】3星】2005年，镇江中考【【 】作高AD，设点O是ABC的外心，则点O在AD上，连结OB∵ABAC，ADBC，∴BD1BC62在RtABD【题型】解答【难度】3星】2005年，镇江中考【【 】作高AD，设点O是ABC的外心，则点O在AD上，连结OB∵ABAC，ADBC，∴BD1BC62在RtABDAD2AB2BD21026282，AD8设⊙OR，则OBAOROD8R．在RtOBD中，OB2BD2OD2R2628R)2， R25，∴25．44垂线上．254【【例47】如图，OABC的外接圆，O2ABC的边长为（）A．3B．5C．23D．25AOBC【考点】垂径定理，三角形的外接圆及外心【题型】选择【难度】3星【【【】2008年，江苏南京】 特殊的等边三角形边长与其外接圆半径的关系．所以选C】C【例48（劣弧2413（）A5米B8米C7米D53米CABD【考点】垂径定理【题型】选择【难度】2星【【【】2009年，】略】B兰州【例49OAB是河CD是水位线，CDAB，CD24mOECDE．已测得sinDOE12．13求半径OD；根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？ECDAB【考点】垂径定理，解直角三角形的应用【题型】解答【难度】3星【】2009年，河北（1）∵OECD，DE1CD12m，【2，∴OD13DE13m．OD 1312（2）由⑴可知OEECDAB【考点】垂径定理，解直角三角形的应用【题型】解答【难度】3星【】2009年，河北（1）∵OECD，DE1CD12m，【2，∴OD13DE13m．OD 1312（2）由⑴可知OE5m50.510，∴10小时才能将水排干．（）1m（2）10【【例50MMNOOMN的距离；求∠ACM的度数．3cm．AAOONNCDCMMBB【考点】垂径定理【题型】解答【难度】3星【【】（1）连结OM．∵MAB的中点，OMAB．过点O作ODMND，MD1MN23．2在RtODMOM4，MD23ODOM2MD22．故圆心OMN的距离为2cm．（2）cosOMDMD3，OM 2∴DM．（）2cm（2）60【【例51OBCC23m（1求BAC（2求长．O的周AEDOBC【考点】垂径定理【题型】解答【难度】3星】2009年，广州中考【【 （1）∵BCBC，（2）∵BACACB60，∴ABC60．ABC是等边三角形．求⊙O的半径给出以下四种方法：1AOBCAEDOBC【考点】垂径定理【题型】解答【难度】3星】2009年，广州中考【【 （1）∵BCBC，（2）∵BACACB60，∴ABC60．ABC是等边三角形．求⊙O的半径给出以下四种方法：1AOBCE(1)．ABC是等边三角形，∴圆心O既是ABC的外心又是重心，还是垂心．在RtAECAC23cmCE3cm，∴AEAC2CE23cm．AO2AE2cm，即O的半径为2cm．32：连结OC、OA，作OEACACE(2)．OAOC,OEAC,∵∴CEEA．233cm．22AOC2ABC120,OEAC，RtAOE中AOE60．在RtAOEsinAOEAE，sin60OA2cm，即O的半径为2cm．3：连结OC、OA，作OEACACE(2)．∵OABC的外心，也是ABC的角平分线的交点，AE，即3 3．OAOA2 OA∴OAE30，AE1AC1233cm．22在RtAEO中，cosOAEAE，即cos30 3．∴3 3．2 OAOAOA2cm，即O的半径为2cm．OA4：连结OC、OA，作OEACACE(2)．∵O是等边三角形的外心，也是ABC的角平分线的交点，∴OAE30，AE1AC1233cm．22在RtAEO中，设OExcm，则OA2xcm，∵AE2OE2OA2．∴32x2(2x)2．x1．OA2cm，即O的半径为2cm．4cm．∴O的【 （）60（2）cm【例52AB是半圆O的直径，C为半圆周上一点，MAC的中点，MNABNMN与AC的关系是 ．CCMMDBABANNOO【考点】垂径定理，全等三角形的性质及判定【题型】填空【难度】3星【【】【例52AB是半圆O的直径，C为半圆周上一点，MAC的中点，MNABNMN与AC的关系是 ．CCMMDBABANNOO【考点】垂径定理，全等三角形的性质及判定【题型】填空【难度】3星【【】】连结OMACDMAC的中点，OMAC，即ADO90AD1AC，2∵OAOM，AODMON，∴AOD≌MON，∴ADMN，∴MN1AC．2MN1AC2【【例53O5CDB，求D2D2的值．OCABD【考点】垂径定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【题型】解答【难度】3星【【】】ODABDAB的中点，由RtACB知：CD1ABAD，在RtADOOD2DA2OA225，OD2CD2252【25BD、CDBC．CBNCDB；DC是ADB的平分线，且DAB15DC的长．MMDOBBAANNCC【考点】切线的性质及判定，垂径定理【题型】解答【难度】3星【【【】2008年，江苏宿迁】略证明：AB是O的直径CDB90MN切OMMDOBBAANNCC【考点】切线的性质及判定，垂径定理【题型】解答【难度】3星【【【】2008年，江苏宿迁】略证明：AB是O的直径CDB90MN切OBCBN90ABCCBN（2）如右图，连接OD,OC，过点O作OECDE．CD平分ADBADCBDC∴ACBCAB是O的直径又DAB15DOB30∵DCED，∴E3∵OD2∴OE1，DE3∴CD2DE23．【例55】如图，半径为25的⊙OAB、CDP点．PAPBPCPD；BCFFPADEEFAD；AB8，CD6，求OP的长．CCFFPPAABBMEEOOND【考点】相似三角形的性质及判定，垂径定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【题型】解答【难度】3星D【【【】2009年，】略荆门，∴APD∽CPB，∴APPD，CP PB∴PAPBPCPD．⑵∵ABCD，∴BPDBPC90，DOEFBC中点，PF1BCBF，2∴BPFPBF，∵ADCPBC，∴ADPBPF∵DPEBPF90，∴ADPDPE90，DEP90EFAD．过O点作OMAB，ONFBC中点，PF1BCBF，2∴BPFPBF，∵ADCPBC，∴ADPBPF∵DPEBPF90，∴ADPDPE90，DEP90EFAD．过O点作OMAB，ONCDM、NAM4，CN3，11，易证得四边形OMPN是矩形，⑶∴OPOM2ON215．【例56AB是⊙OAB10MN的长为8MN的两端在圆上滑动时，始终与BABMN1212等于（D．8M）A．5B．6C．7MFFPHh2h2AABBOOh1ENh1EN【考点】相似三角形的性质及判定，垂径定理【题型】解答【难度】3星】2009年，【【黄石AB、MNP，过O点作OHMNHNO．NH1MN4，NO1AB5，OH3，22∵FNENHN，∴FHE，AF APBP∴ ，OH OP OH OP3 OP 3 OP3OPAOOPBOOP2OPP点在OAPBP，P点在OAPBP，APBPAPBPAOOPBOOP2OP解法二：6．假设法⑴NAAFh10BEh2BM，此时ABM是直角三角形，BM AB2MN26，∴hh6．1 2⑵MNABAFh1AP，BEh2BP，MN8MPNP4，OP3，∴AP532，BP538，】B6．【【例57】如图，已知：在O4E是OAE作弦CDABFBCF交CEHCFDD．△ACH∽△AFC；AHAFAEAB的数量关系，并说明你的猜想；（3）ESAECS△BOD14？并加以说明．AACCDDFFBB【考点】相似三角形的性质及判定，垂径定理【题型】解答【难度】3星【【【】】略（1）∵ABCDACADFACHCAFFAC∴△ACH∽△AFC（2）答：AHAFAEABFBAB是直径，（3）ESAECS△BOD14？并加以说明．AACCDDFFBB【考点】相似三角形的性质及判定，垂径定理【题型】解答【难度】3星【【【】】略（1）∵ABCDACADFACHCAFFAC∴△ACH∽△AFC（2）答：AHAFAEABFBAB是直径，AFBAEH90EAHFAB∴Rt△AEH∽Rt△AFB∴AEAHAF AB（3）当OE3（AE1）S:S 1:4△AEC △BOD22∵ABCDCEED∵S 1ECS1OBED2△AEC△BOD2AE1∴S△AECS△BODOB 4∵O2，2OE1OE32 42【例58】（1）1，圆心接△ABCABBCCAOD、OE为⊙OODBCF，OEAC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC1．3（2），若E保持角度不变，求证：当DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是△ABC1．3AAEEGGOOBBCFCFDDHOEHOEAAAEEEG3223OKGGOO451F1BBBCCCFDFHDD【考点】垂径定理，旋转类全等问题【题型】解答【难度】3星】2009年，中山市中考】略（1）1，连结OA，OC，因为点OABC的外心，AAAEEEG3223OKGGOO451F1BBBCCCFDFHDD【考点】垂径定理，旋转类全等问题【题型】解答【难度】3星】2009年，中山市中考】略（1）1，连结OA，OC，因为点OABC的外心，S△OAC，【【【因为S 1S，所以S 1S．△OAC△ABCOFCG △ABC33（2）解法一：连结和，则不妨设ODBCFOEAC于点G，C34E540，∴35．2，35，CCC，∴SS 1S．OFCG △AOC△ABC3解法二：不妨设ODBCFOEAC于点G，作OHBC，OKACH、KCCCC，∴K-?即12．F23，13．∴S S 1SOFCG OHCK△ABC3【例59AM是⊙O的直径，过⊙OBBNAMN，其延长线交⊙O于点C，弦CDAME．⑴如果CDABENNM；⑵如果弦CDABF，且CDABCE2EFED．AADDGFFOOEEBCBCNNM【考点】垂径定理，全等三角形的性质及判定，相似三角形的性质及判定【题型】解答【难度】3星M【【【】】略】⑴MC，AMBC，ANC90AADDGFFOOEEBCBCNNM【考点】垂径定理，全等三角形的性质及判定，相似三角形的性质及判定【题型】解答【难度】3星M【【【】】略】⑴MC，AMBC，ANC90，则CCEN90，CDAB，AFE90，则AAEF90，又AEFCEN，AC，∵ABCM，∴CBCM，∴CEN≌CMN，∴ENNM．⑵BE并延长交⊙O于GBD．∵AMBC，∴BECE，ABAC，∴EBCECB，∴BDCG，∴ADAG，∴ABEABD，∵ABCD，∴ABCD，∴ADBC，∴ABDBDC，∴ABEBDC又BEF