线性代数矩阵第2节行列式

第二章矩阵与行列式§2.2行列式1阶方阵A=[a11]的行列式|A|定义为a11.a11a12a21a222阶方阵A=的行列式|A|定义为a11a12a21a22|A|==a11a22

a12a21.a11a12a21a22a11(1)1+1a22+a12

(1)1+2a21

a11a12a21a22一.行列式(determinant)的定义a11

a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33第二章矩阵与行列式§2.2行列式a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33a11的余子式:a22a23

a32a33M11=代数余子式:A11=(1)1+1M11

a12的余子式:a21a23a31a33M12=代数余子式:A12=(1)1+2M12

a13的余子式:M13=代数余子式:A13=(1)1+3M13

a21a22a31a32a11

a12

a13

a21a22

a23a31

a32

a33第二章矩阵与行列式§2.2行列式3阶方阵A=的行列式|A|定义为a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33|A|=a11

a12

a13

a21a22

a23a31

a32

a33=a11A11

+a12A12

+

a13A13

=a11a22a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32a12

a21

a33a13a22a31.第二章矩阵与行列式§2.2行列式一般地,在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列划去,留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式(minor),记作Mij,令Aij

=(1)i+jMij,并称之为aij的代数余子式(cofactor).例如,四阶阶行列式中a32的余子式为a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34a41

a42

a43

a44a11

a13

a14

a21

a23

a24

a41

a43

a44M32=,代数余子式A32

=(1)3+2M32=M32.第二章矩阵与行列式§2.2行列式补充.

数学归纳法(Principleofmathematicalinduction)

1.第一数学归纳法原理:则P对于任意的自然数nn0成立.设P是一个关于自然数n的命题,若①P对于n=n0成立.②当nn0时,由“n=k时P成立”可推出“n=k+1时P成立”,第二章矩阵与行列式§2.2行列式2.

第二数学归纳法原理:设P为一个关于自然数n的命题,若①P对于n=n0成立,②由“n0

n

k时P成立”可推出“n=k+1时P成立”,则P对于任意的自然数nn0成立.第二章矩阵与行列式§2.2行列式a11

a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann=a11A11+a12A12+…+a1nA1n

假设n1阶行列式已经定义,=a11(1)1+1M11

+a12(1)1+2M12

+…+

a1n(1)1+nM1n

n1阶行列式(LaplaceExpansionofDeterminants)P.-S.Laplace[法](1749.3.23~1827.3.5)

则定义n阶行列式第二章矩阵与行列式§2.2行列式注:二阶行列式和三阶行列式的对角线法则:a11a12a21a22=a11a22

a12a21

a11

a12

a13

a21

a22

a23a31

a32

a33=a11a22a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32a12

a21

a33a13

a22

a31

.第二章矩阵与行列式§2.2行列式例1.下三角形(lowertriangular)行列式a11

0

…0a21

a22

…0…………an1

an2…ann=a11a22…ann

.例2.上三角形(uppertriangular)行列式a11a12…a1n

0

a22…a2n…………0

0

…ann=a11a22…ann

.第二章矩阵与行列式§2.2行列式二.行列式的性质性质1.互换行列式中的两列,行列式变号.推论.若行列式D中有两列完全相同,则

D=0.a11a12a21a22例如=a11a22

a12a21,a12

a11

a22

a21=a12a21a11a22.1

1

2

2D==1

1

2

2

=D

D=0.第二章矩阵与行列式§2.2行列式性质2.(线性性质)(1)det(1,…,kj,…,n)=kdet(1,…,j,…,n);(2)det(1,…,j+j,…,n)=det(1,…,j,…,n)+det(1,…,j,…,n).

现学现用

(1)设A为n阶方阵,则det(A)=____det(A).(1)n

(2)a+b

c+d

u+v

x+y

=[].①a

c

u

x

+b

d

v

y

,②a

c

u

x

+a

d

u

y

+b

c

v

x

+b

d

v

y

.第二章矩阵与行列式§2.2行列式推论.若行列式D中有两列元素成比例,则D=0.a11…a1i…ka1i…a1n

a21

…a2i…ka2i

…a2n…………………an1…ani…kani…ann=k0=0.=ka11…a1i…a1i…a1n

a21

…a2i…a2i

…a2n…………………an1…ani…ani…ann第二章矩阵与行列式§2.2行列式性质3.把行列式的某一列的k倍加到另一列上去,行列式的值不变.a11…(a1i+ka1j)…a1j…a1n

a21

…(a2i+ka2j)…a2j

…a2n…an1…(ani+kanj)…anj…ann=a11…a1i…a1j…a1n

a21

…a2i…a2j

…a2n…an1…ani…anj…ann+a11…ka1j…a1j…a1n

a21

…ka2j…a2j

…a2n…an1…kanj…anj…ann第二章矩阵与行列式§2.2行列式例3.124221342(2)104=261310210

0

=2(7)

2

3

1

35

21

0

0=1420

1

31

2

1

0

0=1421

0

32

1=14.4100=26731014(3)注:本题也可以用定义或对角线法则计算.第二章矩阵与行列式§2.2行列式例4.设D=a11…a1m

am1…amm

D1

=……,证明:D=D1D2.证明:对D1施行ci+kcj这类运算,把D1化为下三角形行列式:=p11

pm1

…

pmm

…...=p11…

pmm

,b11…

b1nbn1…

bnnD2

=,……a11…

a1m0…0……………………,am1

…amm

0…0c11…

c1mb11…

b1ncn1…

cnmbn1…

bnna11…a1m

am1…amm

D1

=……第二章矩阵与行列式§2.2行列式对D2施行ci+kcj

这类运算,把D2化为下三角形行列式:b11…

b1nbn1…

bnnD2

=……=q11

qn1

…

qnn

…...=

q11…

qnn

,于是对D的前m列施行上述ci+kcj运算,再对D的后n列施行上述施行ci+kcj

运算,可得:=

p11…

pmm

q11…

qnn

=D1D2.a11…

a1m0…0……………………D=am1

…amm

0…0c11…

c1mb11…

b1ncn1…

cnmbn1…

bnn.p11

pm1

…

pmm

…………=..0dn1

…

dnm

qn1

…

qnnd11

…

d1m

q11

...第二章矩阵与行列式§2.2行列式性质4.设A,B为同阶方阵,则|AB|=|A||B|.性质5.|AT|=|A|.注:根据方阵的性质5,前面几条关于列的性质可以翻译到行

的情形.例如:性质1’.互换行列式中的两行,行列式变号.A.L.Cauchy[法](1789.8.21~1857.5.23)

第二章矩阵与行列式§2.2行列式定理1.n阶行列式D等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.即

D

=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a21A21+a22A22+…+a2nA2n

=…=an1An1+an2An2+…+annAnn

=a11A11+a21A21+…+an1An1

=a12A12+a22A22+…+an2An2

=…=a1nA1n+a2nA2n+…+annAnn.第二章矩阵与行列式§2.2行列式性质6.ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(ij)a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(ij).定理2.设D=|[aij]|,则aikAjk=Dij,k=1nakiAkj=Dij.k=1n注:克罗内克记号ij=1,i=j,0,ij.L.Kronecker[德](1823.12.7~1891.12.29)第二章矩阵与行列式§2.2行列式三.行列式的计算1.二,三阶行列式—对角线法则.2.利用初等变换化为三角形.(其中n

2,x

a).Dn=x

a…aa

x…a………a

a…x例5.计算n阶行列式第二章矩阵与行列式§2.2行列式Dn=x

a…aa

x…a………a

a…xx+(n1)a

a…ax+(n1)a

x…a………x+(n1)a

a…x=解:…×(1)…x+(n1)a

a

a…a

a0xa0…0000xa…00………………000…xa0000…0xa

==[x+(n1)a](xa)n1.第二章矩阵与行列式§2.2行列式3.按某一行(列)展开—降阶.4.递推/归纳.(未写出的元素都是0).例6.计算2n阶行列式D2n=a

ba

bc

dc

d…………第二章矩阵与行列式§2.2行列式解:D2n==a............aabb0cc0dd00d

...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b............a00aabcdd00d

...…0bb00cc0….........……第二章矩阵与行列式§2.2行列式=a............aabb0cc0dd00d

...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b=adD2(n1)bcD2(n1)=(adbc)D2(n1)=(adbc)2D2(n2)=(adbc)3D2(n3)=…=(adbc)n1

D2=(adbc)n.第二章矩阵与行列式§2.2行列式例7.证明n阶(n2)范德蒙行列式Dn=11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-1

a2n-1…ann-1=(aiaj).ni>j1Alexandre-ThéophileVandermondeBorn:28Feb1735inParis,FranceDied:1Jan1796inParis,France第二章矩阵与行列式§2.2行列式=111…10a2a1

a3a1…an

a10a2(a2a1)a3(a3a1)…an2(ana1)……………0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)现设等式对于(n1)阶范德蒙行列式成立,则证明:当n=2时,D2=(a2a1).Dn=11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-1

a2n-1…ann-1(a1)(a1)(a1)…第二章矩阵与行列式§2.2行列式=(a2a1)(a3a1)…(ana1)11…1a2

a3…an

…………a2n-2

a3n-2…ann-2=111…10a2a1

a3a1…an

a10a2(a2a1)a3(a3a1)…an2(ana1)……………0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)