结构力学-动力学10-6多自由度体系振动

§10-6振动，柔性较大的高耸的结构在作用下的§10-6m1、m2的位移y1(t)y2(t)m1、m2的位移y1(t)y2(t).ym.y1(t)m1y1(t)11m2y2 22 m2y2 m2

m

y1(t)Y1sin(t

1y(t)m. m.1

1 2 Y(m

)Y

振型t)

Y

动微分方D

次 (11m1(11m122m2122

211 11

主振型(normalmodeshape)

Y1，Y2D

不能由振型方程求出Y1，Y2的解，Y1

2m

2m 11m1

2m 22

Y22 11m12

1

1 例求简支梁的自振解：1）

21

7l3

1 2 (2 2 1 122

15ml3

ml31

12m486

4861

ml3

2

Y12

11m1

例求简支梁的自振 故可取半边结构计算：

15l311162EI

EIml

1

l22

EIml1

m

2M1

M M1, M1,MM,M 2相乘:22 M M2M1相乘或M1，M2相 EI

11

1

m

21

1.6875) 21

2EI2.8125m/

EIm

2

m 1.125m/ Y11

1.125m/

2.5m/EI2.825m/ Y12

1.125m/

21 21112、刚度法：

r2r2m

m2y2r2m. y 即 22m22

k22y2设:y1(t)Y1sin(ty2(t)Y2sin(trr2

111

D

k112m1

m1y1k11ym1y1k11y1k12y2 y1(t)Y1sin(tm2y2k21y1k22y2m)Y2 k Yk21Y1(k222m2)Y2Y2应使列式数行

k221

k k

11

2

m 2

2 Y−Y− Y121

1

2

112

22m2k2k k11 22 m2

2

112

22m2k2k 11 22 m2

k12y1

y

y k12y1

2

2

k22y2

2

y2kijyiyjy1r1y2r2

故矩阵[k]

k11k22-ω2Y11 Y12 k11 k11 几点注意①ρ1ρ2必具有相反的符号②多自由度体系自振频率的个数=其自由度数，自④自振频率和主振型是体系本身的固

y1(t)A1Y11sin(1t1)A2Y12sin(2t2y2(t)A1Y21sin(1t1)A2Y22sin(2t2 12Y11 Y12 12

k11

k2k2k1122 m21

2

112

2222 11 k2k1m(2

11)m

k11

m

1

2211 k2k1m

11)m 2211

>

1

m

1

1

k22

k22

k11k22

2

m2

m2

k21=－k2 k22=k2

(k1k222m1)(k22m2)k20k11

当m=m=m,k=k=

2

5k0.38197k 2 k 5 22 2

2 k

Y11-

ω1→

-2m

2k -

1ω2→

-2m

2k 第二主振第二主振23-5k0.38197 2 5k2.61803 第一主振2特征方程：(k1k22m1)(k22m2k202当m1=nm2

[(n1)k22nm2](k22m2)k202

2

1

1

2n 2n

n4n4n22

2m1 (n1)k

2nm2

(n1)(n 2Y21

14nn)14nn2Y21

114Y22 第二振型 当上部质量和刚当上部质量和刚k位移很 22112kk 1m2 1m2 m k

m m..ri

(i ,n)iiiri应满足刚度方程riki1y1ki2y2...kin (iiiiym..r (iy ..riki1y1ki2y2...kin

(im1y1k11y12m1y1k11y12 m2y2k21y122y2mnynkn1y1n2y2k1nyn.k2nyn.knnyn11

y

..

k2n

...

mn

kn knn

[M]{.}[K]{y}{0}

{y}={Y}sin(ωt+}([K]－ω2[M]┃[K]－ω2 ｉ (ｉｉ定

mk5kmk5k3kmk21=-1

k32=-1k12=-

解：1）求刚度系数 刚度矩阵[K]和质量矩阵

0 [M]m0

3

0求频率[K]－ω220 8 30 20 8 30 其中 3 3

15m

2i

3i1解得：η1=1.293，η2=6.680，120.08621kmkm

20.4453km2mkm2

20.8685km3mkm31

2

求主振型：振型方程：（[K]－ω2[M]）{Y}＝0（令Y3i=1）5Y1i(8i)Y2i30

) m

Yiji

1i1i(8i 30

(2)3Y2i(3i)0

5.027Y23

1 1

([K]－ω2[M]([I]－ω2[δ][M]([δ][M]－λ[I]┃[δ][M]－λ[I]

(11m1

22

2n

...

m （）刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架） ([δ][M]－λi[I]){Y(i)}=｛0｝（）刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）

mk5k3mk5k3km

解：1）求柔度系数 柔度矩阵[δ]和质量矩阵1 []4 [M]m0 4 0[][M][I]

0

1

3152

111111

2

求主振型：（令Y3i=1）将λ1（[δM]－λ1[I]）{Y}＝02Y117.60Y2140

Y 1 1

求频率[K]－ω220 8 30 20 8 30 其中 3 3

15m

2i

3i1解得：η1=1.293，η2=6.680，120.08621kmkm

20.4453km2mkm2

20.8685km3mkm31

2

求主振型：振型方程：（[K]－ω2[M]）{Y}＝0（令Y3i=1）5Y1i(8i)Y2i30

)

mmmm 1

mm Y(2m (2m ((2m (2m (2m (2 121 0

22m 2 111 21

一般说来，设ωi≠ωj相应的振型分别为：{y（i）} ([ ([K]－ω2[M][K]{Y（i）}=ω2[M][K]{Y（j）}=ω2[M][K]{Y}=ω2[M]j{Y（i）}T[K]{Y（j）}=ω2{Y（i）}T[M]i{Y（j）}T[K]{Y（i）}=ω2{Y（j）}T[M]{Y（j）}T[K]{Y（i）}=ω2{Y（j）}T[M]i{Y（i）}T[K]{Y（j）}=ω2{Y（i）}T[M]j{Y（j）}T[K]T{Y（i）}=ω2 j

jj

{Y(j)}T[K]{Y(j)}2{Y(j)}T[M]{Y(j)}

KMKM

②利用正交性来检查主振型是否正确 {y}n{Y

{Y(j)}T[M]{y}n{Y(j)}T[M]{Y(i)}j{Y(j)}T[M]{Y(j)}jM nn{Y(j)}T[nn j {y}n{Y kmk[K5

kk15

0 20 [M]m0

3

0m m

3

{Y(1)}T[M]{Y(2)}

1

0.0006m {Y(1)}T[M]{Y(3)}0.002m{Y(2)}T[M]{Y(3)}0.0002m{Y(1)}T[K]{Y(2)}

k

0

15

3

0.0003k{Y(1)}T[K]{Y(3)}0.001k{Y(2)}T[K]{Y(3)}0.00001k

荷载频率在区之外，阻尼影响很小；在区之内时，大，但都能反映ttsint

m

PsinPsin m P 设纯强迫振动解答为：y1(t)Y1sint,y2t)Y2sin (m

1)Ym2Y

解得振幅：Y1

Y2m2Y(m

1)Y

21

2P(m

m

D m

(m

D1

(m

D2

(m m

2 4,D2,D2,Y0,Y0, n个自由度体系，存在n个可能

由Y1，Y2y1(t)Y1sin y2(t)Y2sinm.m2Ysin m m2Ysin

P(t)Psin 惯性力的幅值为：Im2Y m (m

1)Ym2Y

121 m121

Y(m

2P

(11

)I112I21P21I1

2m2

)I22P荷载荷载位移、、、。位移达到最。加公式求：MtmaxM1I1M2I2MP

Psin

21

)m

2

12

)m

1

ml

2

0.75 MP

256EI,2P

11

1

256EI,2P

P(m m

0得振1幅10.025212,Y m2

− m− m PlD ：2 m2Y (m PlD m2Y.00 m 5)计算动内力2 yYy

有1

统2.458

MP yy2

自

解1d

Y

1.4P

P

力由

M

系度

Md

2MM2M2

数

I 11 Qd

M2dM21I1M22I2M2P22如2

y

P(t)P

y .. y

y

P2(t)

m2

在平稳阶段,各质点也作简谐振动:y1(ty2(t)Y2(k112m1)Y1k12Y2k21Y1(k222m2)Y2

D

D

2

mP2(P2(t)

k22

求得位移幅值Y1、Y2,计算惯性力幅值I1=m1θ2Y1I2=m求得位移幅值Y1、Y2,计算惯性力幅值I1=m1θ2Y1I2=m2θ2Y2。将惯性力2 2hmhm11解：1）

48EI2k,

24EI

D

D

Y1 1DY2Y1 1DY2220.1 m2

3 13

0

33

24P Y1Y1 1D D20.1

Im2Ym

位移幅A

m

m

解：荷载幅值Pk 2m P0k11=k1+k2 k21=－Pk 2m P0 21 P(k 21

P(k2m)kPY

12

2Y12 DD21 DD21m20 1 kDk2m20 1 k Pk Pk−2m222 21

22k22Y1122

22

Y12

D0

m( Y

2

222211k ) 2 k21 2 2 k21 2 25km

Pk

0 2

2

2k2

Y1 Y

12m2 2m

k1

2Y1

1mk

k k

22 22

k

22 223.0k0

3.0k ---

---

和

时,Y和Y 也有例外情况k11k22,k12与ω2

Y12-

=－1k222mk 2mk k22

k11-2m

当θ=ω2，D0=0，也

2 2 P k k DP m P2振频相等时12发

211211 。同理可知： DP

P

主振

1 1

称体系

,Y2

不

共振时才发 yst1=yst2=P/k 层间剪力:Qst1=P

Pk1mkPk1mk)12Pk22Pk222)122

PPkk1 Q1

1 (121

P(1k

2 k11=k1+k2 k21=－k2,k22=k2 Y Y 1

D0(k1

2m

2m2)k 2km2

,Y0,Dk2,Y 可以消除m1的振动（动力吸振器原理）

设计吸振器时,先根据m 振幅 2选定 P,再确定m

k222 22 解：1）

st

9.8131.31

2n230031.4 频率比 区 22）由YP选弹簧系数 1000105N/2k2 k2m2

31.4

(m/s

)m1y1k11y1k12y2...k1nynP1(t)m2y2k21y1k22y2...k2nyn P2(t)........................................................mnynkn1y1kn2y2...knnyn Pn(t)写成矩阵型[M]{.}[K]{y}{P(t)}

可解得振幅

([K]2[MD0[K]2[M]0

例:质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图。 0 [K]98MN/

1

[K]2[M]98MN/m

1 {P} ([K]2[M])1

1m/

0.195 ([K][M

{Y}([{Y}([K]2[M])1{P} 1.130T

1.107

1.107tg21

0时如,0位移和荷载同向

m2Y315438.48(0.143) m 270438.48(0.220) m2Y180438.48(1.130)负号表示干扰力向负号表示干扰力