(完整版)线性代数复习-计算或应用题

一21.设α1,α2,α3线性无关，证明β112，β2α2α3，β3α3α1也线性无关。111022.计算行列式1101。1011011123.11012利用逆矩阵解矩阵方程011X-11。1011-124.1a12已知A01a2，求a的值，使得r(A)2。101225.求向量组α110111，α21，α32，α40的秩和一个极大线性无关组，并0111把其余向量用此极大线性无关组线性表示。求矩阵A=21的特征值与特征向量。12x14x23x3027.讨论当取何值时，齐次线性方程组2x13x2x30有非零解，并在有非零解时求其x1x22x30通解。参考答案：21.如果k11k22k33O，k1(12)k2(23)k3(31)O，于是(k1k3)1(k1k2)2(k2k3)3O，由1,2,k1k30,3线性无关知k1k20,k2k30,此方程组只有零解k10,k20,k30，因此1,2,3线性无关。111011100110111011101001122.==101=101=-0113101101010111011111100300311011-11123.01111-1故1012-111110121-1112301X011-11111-1-111-141011-12-1111-12-1-21a120a00101224.A01a201a201a2101210120a00当a=0时，r(A)2。25.记A1,2,3,4A10111011，1120011101110000向量组的秩r(1,2,3,4)r(A)2．所以1,2是向量组的一个极大线性无关组，且3=1,+2，4=1,－2。26.由特征方程|EA|21（-3）（1）=012得A的特征值11，23。对于特征值11，解方程组（1EA)XO，求得一个基础解系11，故A的属于11的全部特征向量为k11，k1为任意非零数。1对于特征值23，解方程组（2EA)XO，即x1x20，求得一个基础解系21，故A的属于23的全部特征向量为k22，k2为任意非零1数。对增广矩阵作初等行变换得143143101A231011011当3时r(A)23方程组有12003003x1x30kX1，非零解。此时对应方程组为x3，基础解系为X1=(111)T，所求通解为Xx20k为任意常数。二21.设12为n阶方阵A的两个互不相等的特征值与之对应的特征向量分别为X1X2证明X12不是矩阵A的特征向量。X22.11x22设函数f(x)1x212求方程f(x)0的根。21123.解矩阵方程14X2031121101。24.若向量组α(111)Tα(123)Tα(13t)T线性相关求（1）t的值；（2）将α1233表示为 α1和α2的线性组合。x1 3x2 2x3 0,求方程组x15x2x30,的一个基础解系和通解。3x1 5x2 8x3 0.26.已知二次型f2x1x22x2x32x3x1(1)求出二次型f的矩阵A的特征值(2)写出二次型f的标准形。x1x2x3127.当取何值时方程组2x2x32有唯一解，并求解。x33(1)x3(3)(1)参考答案:21.假设X1X2是矩阵A的属于特征向量，即1212A(XX)（XX）因为AX1=1X1，AX22X2，所以A(X1X2)AX1AX21X12X2，消减（-1）X1（-2）X2=O因为属于不同特征值的特征向量线性无关，所以X1，X2线性无关，得-1=-2=0既=1=2，矛盾。11211211222.f(x)11x2200x2400x242121232x12x10x1x20x24(x24)(x21)，13得方程f(x)0的根为x1x2。14112420111023.因为12611,11212,所以14131201X120111124311011212=11011212301211124.(1)记A1,2,3，因为|A|123t5因为向量组1,2,3线性相关充分必13t要条件是A0，所以当t5时向量组1,2,3线性相关)111101（2）由x11x223因为增广矩阵1,2,3=123012135000得方程组的解为x11x22从而3122。132132132107/225.A151021011/2011/2方程组的一358042000000个基础解系为X1(-7/21/21)T方程组的通解XkX1(k为任意常数)。26.(1)二次型f的矩阵为A011101110因为|A112E|11(2)1)(11所以A的特征值为12132。(2)二次型f化为标准形为fy12y222y32对增广矩阵进行初等行变换得1111111102120212(A,b)01300130001(3)(1)0002(3)(1)当3或1时r(Ab)r(A)3方程组有唯一解；3,1,0T7,T当3时，解为；当1时，解为3,2。2222三21.若AkO(k是正整数)求证(EA)1EAA2Ak1。22.计算行列式xyxyyxyx。xyxy23.111121。X01101100124.已知(123)β(111设AT求An2)及A325.求向量组α21234，α1，α3，α5的秩和一个极大线性无关组，并把12342012其余向量用此极大线性无关组线性表示。x1x2526.求解线性方程组2x1x2x32x41的通解。5x13x22x32x4327.判断矩阵A21是否可对角化？若可对角化，求可逆矩阵使之对角化。12参考答案:21.由AkO得EAkEOE而EAk(EA)(EAA2Ak1)所以(EA)(EAA2Ak1)E因此(EA)可逆且(EA)1EAA2Ak1xyxy2(xy)yxy1yxy22.yxyx=2(xy)xyx2(xy)1xyxxyxy2(xy)xy1xy1yxyxy2(x3y3)=2(xy)0xy=2(xy)xyx=-0xyx111111011123.1211011=011X011011001001001121110133X011=01100101224.T3(T是个数)An(T)(T)(T)TT)(T(TT(Tn1()))11112311)23n1T3n12(1213233331225.记A1,2,3,4，A21232123212320124135011101110111201201110000000010112记01111,2,3,4=C，0000所以向量组的秩r(1,2,3,4)r(A)r(C)2；因为1,2是列向量组1,2,3,4的一个极大线性无关组，所以1,2是向量组1,2,3,4的一个极大线性无关组，(2分)并且12，42。3112对增广矩阵作初等行变换得1100510108(Ab)211210110135322300012x1x38对应的方程组为x2x313x42取x30，得方程组的一个特解为X0(81302)Tx1x30取x31，得导出组x2x30的一个基础解系X1(1110)T，x40所求方程组的通解为 X X0 k1X1，其中k1为任意常数。27.由|EA|121(2)21=0，2得A的特征值11，23。对11，解方程组（EA)XO，得其一个基础解系11；1对23，解方程组（3EA)XO，得其一个基础解系21；1因为矩阵A有两个线性无关的特征向量，所以A可相似对角化．取P(1,2)11，则P1AP==10。1103四21.设方程组：x1x2a1，x2x3a2，x3x4a3，x4x5a4，x5x1a5．5证明方程组有解的充分必要条件是ai0。i1123422.计算行列式2341。3412412323.30036设A011B11满足AX=2X+B求X。0142324.1103α,α,α设α11，α20，α30，β1，(1)验证线性无关；（2）将β用1230124α,α,α123线性表示。26.求矩阵A100252的特征值和特征向量。241123k27.设A12k3,试讨论k为何值时,（1））r(A)1；（2）r(A)2；（3）r(A)3。k23参考答案:21.方程组的增广矩阵11000a111000a101100a201100a2前四行都加到第五行00110a3(A,b)00110a300011a400011a4510001a500000aii1因为方程组有解的充分必要条件是r(Ab)r(A)。所以方程组有解的充分必要条件是5i1ai0。123410234123422.23411034113413412=10412=1014124123101231123123412341234011301130113=100222=200111=20002216001110111000423.(A2E)XB,因为1001100A2E011,(A2E)021,0120111001636所以X(A2E)1B30111141012233224.记A110，1,2,3100012因为r(A)3，或者AXO只有零解，所以1,2,3线性无关。或因为A0，所以1,2,3线性无关。由x11x22x33，即110x1=3，10021x012x34得惟一解：x11,x22,x31．故1223。25.A1110111011101001/221830363012101002101012100210011/2方程组的一个基础解系为X1(1/2,0,-1/2,1)T方程组的通解XkX1(k为任意常数)。26.由1001)2(|EA|252(3)=0，241得A的特征值11（二重），23。对11，将方程组（EA)XO化简为2x14x22x30，21它的一个基础解系为11，20。01A的属于11的全部特征向量为k11+k22(k1,k2不全为零)。2x10,对23，解方程组（3EA)XO，即2x12x22x30,2x14x24x30,0它的一个基础解系为31。1A的属于23的全部特征向量为k3(k0)。27.A123k123k123k=B。12k302k23k302k23k3k2302k233k20063k3k2123126(1)当k=1时，B=000,r(A)1(2)当k=-2时，B=069,r(A)2;000000123k，r(A)3。(3)当K1.2时，023001五21.如果方阵A满足A2A，则A的特征值只有0或者1。xyyy22.计算行列式yxyy。yyxyyyyx23.已知PAPΛ,其中P14,Λ10,求A，A11。12110224.设3阶方阵ABC满足方程C(2AB)A求矩阵A其中123124B012C012。00100125.求向量组α(114)Tα(215)Tα(4，210)Tα1)T的一个极大无1234(10关组并把其余向量用极大无关组线性表示。26.已知二次型f2224x1x24x2x3(1)求出二次型f的x12x23x3矩阵A的特征值(2)写出二次型f的标准形。27.讨论a、b为何值时非齐次线性方程组x13x2x30x14x2ax3b有无穷多解并求其通解。2x1x23x35参考答案:21.设为A的任一特征值，为A的属于的特征向量，即A，所以2A2，2，而O，故20，得=0或1，因此A的A特征值只有0或者.xyyyx3yyyy1yyy1yyy2yxyyx3yxyy(x3y)1xyy(x3y)0xy00yyxyx3yyxy1yxy00xy0yyyxx3yyyx1yyx000xy(x3y)(xy)323.1114A=P1P311，PA=PΛP=14(1)20114=1512542.2-122111031133010A11=P11P114(1)110114=011311211411

1141121342133211211=31211421110314824.(2CE)ACBCB=010，(2CE)可逆并且(2CE)1=0140010011481031411得A(2CE)1(CB)=0140100140010010011241100125.因为(1,2,3,4)11200121451010000所以向量组的秩r(1,2,3,4)2．因为1,2线性无关所以1,2是一个极大无关组并且322412。，26.二次型的矩阵为120A22223120因为|AE|222(1)(2)(5)023所以A的特征值为122531(2)二次型f的标准形为2y125y22y32对增广矩阵进行初等行变换得13101310(A,b)14ab0111213500a2b1当a2且b1时r(A)r(Ab)23方程组有无穷多组解1023x12x33此时(A,b)0111对应的方程组为x310000x2取x30，得方程组的一个特解为X0(310)T取x31，得导出组x12x3011)T，x2x3的一个基础解系X1(20所求方程组的通解为XX0k1X1，其中k1为任意常数。六21.设方阵A满足A23AEO证明(A2E)可逆并求(A2E)1。a11L122.计算n阶行列式Dn1a1L1。11aL1LLLLL111La23.解矩阵方程AXBX其中A01011111B20。1015324.求一个非零向量α，使得α与向量α1Tα21，11，T1，21，，都正交。3325.确定a的值，使方程组x1x2x3aax1x2x31有无穷多个解，求出它的通解。x1x2ax3126.求矩阵A11的特征值及特征向量。2227.1，21，30，3，能否用α,α,α设100β1线性表示？若能，表α1ααβ1230131示法是否惟一？参考答案:21. 由A23AEO可知A23A2EE即 (A2E)(AE)E 所以(A 2E)可逆 且(A 2E)1AE把第二列加到第一列，再把第三列加到第一列一直到把第n列加到第一列，得an111L1111L1an1a1L11a1L1Dnan11aL1(an1)11aL1LLLLLLLLLLan111La111La111L10a10L0=(an1)(a1)n1=(an1)00a1L0LLLLL000La123.由AXBX得(EA)XB因为11011021EA101(EA)3321102011X(EA)1B10211131所以32120203011531124.设3=x1,x2,x3TT0T30，，由题意13，2x12x2x3，即0x1x2x3，0T．(2分)取1,0,1T方程组的基础解系为1,0,13即可。111a111a25.(A,b)a11101a1a12a11a100a11a当a=1时，R(A)R(A,b)1<3方程组有无穷多解。1111当a=1时，(A,b)00000000取x2x30，得方程组的一个特解为X0(100)T分别取x21，x30，和x20，x31，得导出组的一个基础解系X1(-110)T，X2(-101)T.方程组的通解为XX0k1X1k2X2，其中k1,k2为任意常数。26.由特征方程|EA|11（1）=022得A的特征值10，21．对于特征值10，解方程组（1EA)XO，即-x1x20求得一个基础解系11，故A的属于10的全部特征向量为k11，k1为任意非零数。1对于特征值21，解方程组（2EA)XO，即-2x1x20，求得一个基础解系21/2，故A的属于21的全部特征向量为k22，k2为任意非零1数。27.由x11x22x33，即110x13，100x2=1013x31得惟一解：x11,x22,x31．故1223，(1分)且表示法惟一。七21.如果向量组a1a2as线性无关证明向量组a1a1a2a1a2as线性无关。22.x11设1x10求x。11x23.101，且ABEA2设A020B，求B。10124.设向量组α1(1131)Tα2(3124)T并问向量组α,α,α是线性相关还是线性无关？1 2 3

α3(2271)T求向量组α,α,α的秩，123α3能否由向量组α1α2线性表示?25.a取何值时，齐次线性方程组2xyz0有非零解，并求其通解。axz0x3z026.a取何值时矩阵1112的秩r(A)2？A351253a627.判断矩阵A712是否可对角化？若可对角化，求可逆矩阵使之对角化。47参考答案:21.设x1a1x2(a1a2)xs(a1a2as)o则(x1x2xs)a1(x2xs)a2xsaso因为a1a2as线性无关所以x1x2xs0x2xs0xs0显然此方程只有零解故向量组a1a1a2a1a2as线性无关。22.x11x2111111x1x2x1(x2)1x111xx21x11x111(x2)(x1)20得x2或x1。(x2)0x1000x123.ABEA2BABBA2E(AE)B(AE)(AE)因为AE可逆，所以(AE)1(AE)B(AE)1(AE)(AE)201BAE03010224.记A1,2,3，对A施行初等变换得132132A112010327001141000r(1,2,3)=r(A)=3(2分)向量组1,2,3是线性无关，3不能由向量组12线性表示。25.A211103103a01211017103a010013a当a=1时，r(A)23，方程组有非零解或由系数行列式等于0，得a=1时方程组有非零解，3T3基础解系为X1XkX1，k为任意常数。3,7,1，所求通解为对矩阵A作初等变换111211121112A35120844084453a608a5400a10当a=1时，r(A)2。27.由|EA|7122471=0，得A的特征值11，21．对11，解方程组（EA)XO，得其一个基础解系12．1对21，解方程组（-1EA)XO，得其一个基础解系23/2．1因为矩阵A有两个线性无关的特征向量，所以A可相似对角化．取P(1,2)23/2，并且P1AP==10。1101八21.TT设α为n维非零列向量，且αα1，E为n阶单位矩阵，则AE2αα为正交矩阵。234522.计算行列式D=3456。4567567823.已知P1APΛ，其中P23，Λ=10，计算A3，A2n。120124.求向量组α(101)Tα(111)Tα(011)Tα(356)T的一个极大线性无1234关组；并将其他向量表示为极大线性无关组的线性组合。x12x3x4025.求方程组x1x23x32x40的一个基础解系和通解。2x1x25x33x40求矩阵A=11的特