数形结合思想方法的应用

课题：数形结合思想方法的应用—以形助数怀化市三中骆秀金一、教学设计1．教学内容解析内容：（1）数形结合思想方法的意义；（2）数形结合的形式；（3）数形结合在应用上的三个层次及其方法。内容解析：（1）高考《考试说明》中明确指出“试题必须注重通性通法，强调考查数学思想和方法”，数形结合的思想方法是历次高考考查的重点；（2）数形结合的思想方法贯穿于整个高中数学的始终，说它是一种思想是因为在数学学习中和数学问题的解决过程中它无时无刻不在指导我们思考；说它是方法是因为它在问题解决过程中的有效性和灵活性。基于这一点在高三的专题复习中很有必要组织数形结合思想方法的专题复习，本课是该专题复习的第一课时。（3）由于课本中对数形结合思想方法没有明确的定义，更没有理论方面的说明，所以本节课首先必须弄清思想方法的意义，探讨数与形结合的主要点以及它们结合的方式用以探清这种思想方法在应用上的三个层次。教学重点：根据以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握数形结合思想方法的三种形式，灵活应用这种思想方法解题。2．教学目标设置目标：了解数形结合的思想方法的意义；通过回顾课本，进一步加深学生对中学数学中主要的数形结合点的认识；通过课本题的梳理，理解数与形的三种结合方式，初步感受数形结合思想方法在应用上的三个层次；通过高考题的探究，使学生初步掌握以形助数的方法；通过经历解题思路的探究过程，初步感受数形结合思想方法的有效性和灵活性。3．学生学情分析数形结合的思想方法是附着在相应的知识点上的，在整个的数学学习和问题解决过程中，学生已经有了一些基本的认识，但不够系统，缺乏理论层面的了解，因此还没有形成指导思考和解题的自然习惯，所以发掘数或式背后的形的特征以及变式造形自然成为了本节课的教学难点。教师通过引导观察数和式的结构特征，捕捉信息是突破难点的关键手段。4．教学策略分析本节课是一节平时教学中容易忽视的比较系统的思想方法专题复习课思想方法的根在课本，它不是从天上掉下来的，不能讲的悬浮，让学生只是一种欣赏，要让学生感受到这种思想方法就在我们的身边，实用、方便。教学中采用从课本出发最后到达高考。开放探究解题思路的过程，让学生感受到数形结合思想方法的魅力。教学中充分应用多媒体辅助手段，展示图象的直观，帮助学生以形助数，实现教学目的。教学流程：5．教学过程设计1．导入课题，解析思想的意义引言：同学们，在数学思想方法的体系中，有一种重要的思想方法，这种思想方法一直在指导我们思考，帮助我们解决数学问题，给我们提供了很多的方便，它就是数形结合！什么叫数形结合呢简单的说就是以“形”助“数”和以“数”辅“形”本节课，我们着重探讨前者板书课题数学大师华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数和形有哪些结合点是用什么方式结合的在什么条件下可以结合带着这些问题，我们走进今天的课堂2．回顾课本，梳理思想的层次数形结合的思想方法贯穿了整个高中数学，我们先一起来回顾课本上的几道小题（一，二组做第1、2两题；三，四组做第3、4两题）比一比看谁做的又对又快！1（必修一，P25，B组1改编）已知函数的图象如图一所示，当方程有两个根时，常数c的取值范围是_________图一图一2（必修四，P108，B组2）证明：对于任意的实数,恒有不等式成立3（必修一，P45第五题改编）已知，设，则对任意,A，B的大小关系为_______4．（必修四，P104练习改编）若，满足约束条件，则QUOTE的最大值为_________;的最大值为________【评析】通过回顾课本，进一步加深学生对中学数学中主要的数形结合点的认识师生共探：师：很好，第1题给我们提供了两个方面的信息。第一，给出了函数图象，可以根据图象直接观察，属于数与形的直接结合，在中学数学中有很多数学概念和公式是直接用“形”定义的生回答后，教师归纳师（边说边展示）：绝对值，复数的模，向量的运算，向量的模，两点所在直线的斜率，两点间的距离，几何概型的概率计算公式，等等；第二，将方程的解的个数问题转化为函数图象的交点的个数，体现了转化与化归的思想，通过坐标系这座桥梁使数与形结合起来想一想，在中学数学中由坐标系而产生的数与形的结合常用的还有哪些生回答后，教师再整理函数函数图象曲线向量方程坐标图二师：1函数图象的最高点，最低点，反映了函数的最大值,最小值，图象的上升下降反映了函数的单调性，还可从图象中观察出对称性，奇偶性等等；2如二元一次方程对应直线，不同的圆锥曲线，对应不同的二元二次方程；3向量有了坐标表示，就架起了代数，几何，三角函数的桥梁有了坐标系代数和几何就可以实现有效的转化，有了坐标系数和形就能实现有效的结合！（点同学回答第二题）生1：展开化简，通过基本不等式可以证明生2：还可以通过构造向量!设向量，则由，得师：回答的很好！这一道题给我们这样一种启示，即有些数学关系式，表面看起来与形没有联系，但是经过改造以后，使其结构特征具备几何意义这是通过构造的方法实现数与形的结合（点同学起来回答第3题）生：通过一元二次函数的图象，结合在图象中的意义，可以发现师：很好！第3题发现数的几何特征是解决本题的关键，借助二次函数的图象，我们就能很直观地比较出的大小了，如果变式为开口向下的抛物线，的大小又如何存不存在一种函数，能让的值恒相等这里也体现了数形结合的一种方法，即“数比大小，形比高低”！生：第4题，我们联想到斜率的几何意义和两点间的距离公式师：非常好！通过构造代数式的几何意义，直观解题，体现了大家见数思形的思维品质像第2、3、4这三题我们都是通过转化，构造以后使其具有了几何特征，这是数形结合的最高层次——通过转化构造变式造形，我们梳理一下，哪些数与形可以相互转化方程的根方程的根，函数的零点图象的交点不等关系：“数”比大小形比高低几何意义代数式图三概括起来，数形结合一般有三种结合方式：1直接定义：用“形”直接定义的概念和公式；2桥梁沟通：通过数轴或坐标系的联结而产生的结合；3变式造形：通过转化与构造产生几何意义三种结合方式从简单到复杂，确定了数形结合思想方法在以形助数上的三个层次在下面的环节中，我们来进一步感受数形结合思想的魅力【评析】通过课本题的梳理，理解数与形的三种结合方式，初步感受数形结合思想方法在应用上的三个层次3．例题探法，感受思想的魅力1．（最新湖北卷12）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为（）．．．．生：用图象解题师：本题中的代数特征，哪一点触发了你想到以形助数生：，师：很好，数比大小，形比高低！从代数上讲，是函数值的大小关系，从几何上讲是什么意思生：的图象恒在的图象的下方师：的图象如何得到生：将的图象向右平移一个单位得到师：的图象如何作出生：分类讨论，写出的分段函数表达式师：很好，大家的思路非常清晰了，下面请大家画出的图象……（可以让学生展示所作的图象）师：（点评）本题的关键点是抓住不等式的实质就是数比大小，形比高低，解题时要时刻抓住数背后的几何特征实现以形助数有了以形助数的意识后，如何快速准确的确定函数图象呢下面我们看第二题2．（最新课标全国卷Ⅰ12）已知函数,其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（）师：大家先思考一下哪位同学能说说生1：师：他是构造函数的方法，将不等式转化为比较两个函数图象的位置关系，还有不同的构造方法吗生2：师：这两种方法都是构造函数，那么你会选择哪一种请大家自由选择，作出函数图象，再相互之间比较一下学生分组研究讨论后，由学生起来交流分析生1：我选择方案1，可以先求出函数的单调性，在上单调递减，在上单调递增，当时，，故这部分图象在轴下方，且当越来越小时，越来越接近于0，所以轴作为函数图象的渐近线，另一方面，随着值的增加，指数函数的值增加的越来越快，所以的函数值增加的速度越来越快，图象向下凹再以数辅形得故师：这位同学是借助导数工具分析函数的单调性，极值等，画出函数的图象，再分析图象定量计算，我们动画演示一下（打开几何画板）结合图象的位置，在处满足条件，只需将处两个函数图象上点的位置高低，转化为不小于即可师：第二种方法谁能说一下生2：我选方案2，根据导数可以研究出的单调性，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故的极大值为1，极小值为；当或时，大于0，当时，小于0；当的值接近于无穷小时，的值接近于0，当的值从1左边接近1时，的值越来越接近于，当的值从1的右边接近于1时，的值越来越接近于，当的值接近于时，的值也越来越接近于，从而可以做出的图象再分析与的位置关系（生讲解完后，老师演示幻灯片）师：大家觉得哪一种构造更简单生：第一种！师：不错，第一种便于分析函数关系，不用分类讨论，作图也相对简单同学们，如何合理构造函数，大家明白了吗例1，例2都是对函数先进行定性分析，再根据函数性质确定函数图象和图象间的位置关系即定形，最后进行定量计算这两个例子充分体现了数形结合思想在我们解决问题的过程中具有实用性和有效性【评析】通过高考题的探究，使学生初步掌握以形助数的方法，通过经历解题思路的探究过程，初步感受数形结合思想方法的有效性和灵活性4课堂小结，提炼思想的精华师：同学们，通过本节课的学习，你对以形助数有哪些体会和认识，我们交流一下生：……师：利用以形助数解题时要注意什么问题生：……师：大家总结的很好，老师也为今天的内容总结了一个口诀：心中有形，见数想形有形用形，无形画形捕捉信息，变式造形如有误差，数来辅形以形助数，说行就行5．课后练习，巩固思想与方法1最新年新课标全国卷第10题已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题其中真命题是ABCD2．（必修一P99例题改编）函数有_____个零点3（最新新课标全国卷改编）设点P在曲线上，点Q在曲线上，求的最小值二、课后反思数形结合包括两个方面，一是以形助数，二是以数辅形。一节课是不能面面俱到的，因此，作为第一课时只能选择第一个方面，以突出教学重点。可取之处：在本节课教学中，一是教师对本节课要解决的三个问题：数形结合点和数形结合的方式的梳理以及数形结合思想方法在应用上的三个层次处理的较好；二是从课本到高考由浅入深，从知识到思想方法再到具体应用，五个环节环环相扣；三是课堂教学模式做了大胆地尝试即变过去思想方法专题复习只讲好题，以让学生欣赏感悟为主改为知识方法应用并举，实践证明这种模式效果不错。改进之处：（1）教学容量偏大，时间不太够，学生思考和做题时间比较仓足（2）课堂中，教师放的不开。三、教学点评本节课采用从课本到高考的方法展开教学，探索了数学思想方法专题复习课的有效教学模式，是一种创新。其特点突出表现在如下两个方面：一．教学内容逻辑关系明确。本节课涉及两个方面的内容：从知识方面来讲有数形结合的思想方法的意义、结合点以及数形结合的结合方式；从应用方面来讲有思想方法的应用层次。从回顾课本开始，逐步展开，由简到繁、由浅入深，层次分明。二．教学方法特点鲜明。教学中，将有效创设学生探究活动线、与系统建构知识线、和思想方法蕴涵线以及问题解决的应用线贯通融合成为“四线交